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主讲教师：经玲 教授 jingling_ 数值分析 Numerical Analysis 数值分析 李庆扬 王能超 易大义 编 清华大学出版社(第5版) 教 材 Numerical Methods for Numerical Methods for EngineeringEngineering， S Steventeven C C Chapra Chapra, , Raymond P Raymond P CanaleCanale. . McGraw- McGraw- Hill, 1998Hill, 1998 数值计算原理数值计算原理 李庆阳，关治，白峰杉编著清李庆阳，关治，白峰杉编著清 华大华大 学大学出版社学大学出版社 数值分析基础，数值分析基础， 关治，陆金甫关治，陆金甫 著著 ，高等教育出版社，高等教育出版社 科学和工程计算基础科学和工程计算基础 施妙施妙根，顾丽珍根，顾丽珍 著著 ，清华大学出，清华大学出 版社版社 参考书目 微积分微积分 线性代数线性代数 常微分方程常微分方程 算法语言算法语言 预备知识 00作业：作业：3030分分 书后作业、提问、考试书后作业、提问、考试 成 绩 00考试：考试：7 70 0分分 闭卷考试闭卷考试 一 为什么要学习数值分析？课课 程程 简简 介介 n n现实世界的问题可以归结为各种各样的现实世界的问题可以归结为各种各样的 数学问题数学问题 方程求根问题方程求根问题 解线性方程组的问题解线性方程组的问题 定积分问题定积分问题 常微分方程初值问题常微分方程初值问题 . . 方程求根问题方程求根问题 在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如： 高次代数方程 x53x70 超越方程 高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。 解线性方程组的问题解线性方程组的问题 线性方程组的一般形式 (1)当b0时称为非齐次线性方程组， 其可能有唯一解、无解或者无穷多个 解。当b=0时称为线性齐次方程组， 必有零解。 (2)由线性代数知识可知：当系数矩阵 A非奇异(即detA0)时，方程组有唯 一解，可用克莱默法则求解，但它只 适合于n很小的情况，而完全不适合 于高次方程组。 克莱默法则 其中 例如 用克莱默法则求解一个n阶方 程组，要算n+1个n阶行列式的值， 总共需要 n!(n-1)(n+1) 次乘法。 当n充分大时，计算量是相当惊人的 。 比如一个20阶不算太大的方程组， 大约要做1021次乘法，这项计算即 使每秒1万亿次浮点数乘法计算的计 算机去做，也要连续工作2000万亿 年才能完成。当然这是完全没有实 际意义的，故需要寻找有效算法 定积分问题定积分问题 对于积分 由微积分知识可知：只要找到被积函 数f(x)的原函数F(x)，便有下列牛顿 莱布尼兹公式 为何要进行数值积分？ 原因之一：许多形式上很简单的函数， 例如 已证明它们的原函数不能用初等函数表 示成有限形式。 原因之二：有些被积函数的原函数过 于复杂，例如 的一个原函数是 要计算f(x)定积分的近似值，上式就 不见得方便。 原因之三：f (x)以离散数据点形式给 出 xix0x1xn yi = f(xi)y0y1yn 常微分方程初值问题常微分方程初值问题 一阶常微分方程的初值问题，即 例 思考：常微分方程中的未知什么？ 常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程(可分离变 量方程，一阶线性方程等等)，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。 例如 求解 解：分离变量得 dy=2xdx 积分得y=x2+c 由初值得c=0 故解为y=x2 但是对于求解 无法求出一般解！ 二、 如何学习数值分析？课课 程程 简简 介介 1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系 第一章 绪 论 数数 值值 分分 析析 11 数值数值 分析分析 研究研究 的对的对 象与象与 特点特点 一、数值分析研究的对象 二、数值分析研究的特点 1.1.数值分析研究的对象数值分析研究的对象 数值分析是计算数学的一个主要部数值分析是计算数学的一个主要部 分，计算数学是数学科学的一个分分，计算数学是数学科学的一个分 支，它研究支，它研究用计算机求解各种数学用计算机求解各种数学 问题的数值计算方法及其理论与软问题的数值计算方法及其理论与软 件实现件实现 用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程 实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计 上机计算结果 应应 用用 数数 学学 计计 算算 数数 学学 2.2.数值分析研究的内容数值分析研究的内容 函数的数值逼近函数的数值逼近( (插值与拟合插值与拟合) ) 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 非线性方程数值解非线性方程数值解 数值线性代数数值线性代数 常微和偏微数值解，常微和偏微数值解， 数值分析又称数值分析又称：计算计算数学数学 、数值方法、计算方法等、数值方法、计算方法等 。 计算方法计算方法的分枝有最优化的分枝有最优化 方法、计算几何、计算概方法、计算几何、计算概 率统计等率统计等 数值分析实质上是以数值分析实质上是以数学问题数学问题为研为研 究对象，不像纯数学那样只研究数究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。值方法及理论。 3. 3. 数值分析的特点数值分析的特点 (1)(1)面向计算机，要根据计算机特点面向计算机，要根据计算机特点 设计切实可行的有效算法设计切实可行的有效算法 (2)(2) 有可靠的理论分析，能任意逼有可靠的理论分析，能任意逼 近并达到精度要求，对近似计算近并达到精度要求，对近似计算 要保证收敛性和数值稳定性要保证收敛性和数值稳定性 (3) (3) 要有好的计算复杂性，时间复要有好的计算复杂性，时间复 杂性好是指节省时间，空间复杂杂性好是指节省时间，空间复杂 性好是指节省存贮量，这也是建性