工程弹塑性力学题库及答案.pdf

第一章第一章 弹塑性力学基础弹塑性力学基础 1.1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力 状态中扣除静水压力后剩下的部分。 1.2 对照应力张量与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之 间的关系？ 解：解：两者主方向相同。 1.3 简述应力和应变 Lode 参数定义及物理意义： 解：解：的定义、物理意义：； 1) 表征 Sij的形式；2) 相等，应力莫尔圆相似，Sij形式相同；3) 由可确定 S1：S2：S3。 1.4设某点应力张量的分量值已知， 求作用在过此点平面上的应 力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解：解：该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为： 1.5利用上题结果求应力分量为时，过平 面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解：解：求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 ， 1.6 已知应力分量为，其特征方程为 三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解：解：求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得 关系 代入数据得， 1.7已知应力分量中，求三个主应力。 解：解：在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 1.8已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解：解：先求平均应力，再求应力偏张量， ，。 由此求得： 然后求得：，解出 然后按大小次序排列得到 ， 1.9 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个 主应力所对应的方向余弦。 解：解：特征方程为记，则其解为， ，。对应于的方向余弦，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式， 11得，代入（c）式，得 ，由此求得 对，代入得 对，代入得 对，代入得 1.10当时，证明成立。 解解： 由，移项之得 证得 第五章第五章 简单应力状态的弹塑性问题简单应力状态的弹塑性问题 5.1 简述 Bauschinger 效应： 解：解：拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象 5.2 在拉杆中，如果和为试件的原始截面积和原长，而和 为拉伸后的截 面积和长度。则截面收缩率为，而应变，试证明当体积不变 时，有这样的关系： 证明证明：体积不变，则有 证毕！ 5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若，试求 （1） 、已知给定应力路径为，求对应的应变值。 （2） 、已知给定应变路径为，求对应的应力值。 （1）解）解：、，；、， 、，； 、， 、， （2）解）解：、，；、， 、，； 、， 、， 5.4 在拉伸试验中， 伸长率为， 截面收缩率为， 其中 和为试件的初始横截面面积和初始长度， 试证当材料体积不变时有如下关 系： 证明证明：将 和的表达式代入上式，则有 5.5 为了使幂强化应力-应变曲线在时能满足虎克定律，建议采用以下应力 -应变关系： (1)为保证及在处连续，试确定、值。 (2)如将该曲线表示成形式，试给出的表达式。 解： （解： （1 1）由在处连续，有 （a） 由在处连续，有 （b） （a） 、 （b）两式相除，有 （c） 由（a）式，有 （d） （2 2）取形式时， 当：即 当：应力相等，有 解出得， （代入值） （代入值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线如图5-1所示，并表示如下： 问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？ 图5 5- -1 1 解解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为 曲 线，这不难由原式推得 而在强化阶段，因为这时 将都移到等式左边，整理之即得答案。 其中 5.7 已知简单拉伸时的曲线由（5.1）式给出，考虑横向应变与轴向应 变的比值 在弹性阶段，为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后值开 始增大最后趋向于。试给出的变化规律。 解：解：按题设在简单拉伸时总有 （a） 左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有 （b） 比较（a） ， （b）两式，得 将表达式代入，即可得。 5.8如图所示等截面直杆，截面积为，且。在处 作用一个逐渐增加的力。 该杆材料为线性强化弹塑性， 拉伸和压缩时性能 相同。求左端反力和力的关系。 解：解： （1）弹性阶段 基本方程：平衡方程 （a） 几何方程 （b）本构方程 （c）联立求出 显然，段先屈服，取，得 ，当时，值如上述表达式。 （2）弹塑性阶段（a 段塑性，b 段弹性）平衡方程和几何方程仍为（a） 、 （b）式。 本构方程： 且设 将本构方程代入几何方程： 即 两侧同乘面积，并利用平衡方程（a） ，得 解出 令，则得 （e） 本阶段结束时， 由几何方程 z 且 利用平衡方程 （f） 当时，为（e）式。 （3）塑性阶段 平衡方程和几何方程同上。 本构方程 （g） 与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得 5.9 如图所示等截面直杆，截面积为，且。在处作用一个逐渐增加 的力。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析 结构所处不同状态，并求力作用截面的位移与的关系。 解：解：基本方程为 平衡方程 （a） 几何方程 （b） 本构方程 （1）弹性阶段 由前题知， 因，故。 截面位移 本阶段终止时， （2）弹塑性阶段（） 此时， 截面位移由段变形控制： 且本阶段终止时， （3）塑性阶段（） 无限位移（为不定值） 。 （4）图线斜率比较： 段： 段： 5.10 如图所示三杆桁架， 若， 杆件截面积均为， 理想弹塑性材料。 加载时保持并从零开始增加，求三杆内力随的变化规律 解解：基本方程为 （a) 几何方程： （b） 协调关系： 本构方程： （1 1）弹性阶段）弹性阶段（） 利用（a） 、 （b）及（c）第一式，联立求解得 即 可看出 结构弹性极限：令 有 （2 2）弹塑性阶段）弹塑性阶段（） 取，结构成为静定，由平衡方程 解得 若取，即 此时 即当时，内力为上列值，当时，杆1和杆2 已 进入塑性阶段，当时，两杆为无线变形，结构已成为机构。 故， 此结构。 第六章第六章 屈服条件和加载条件屈服条件和加载条件 6.1 简述屈服面、屈服函数的概念： 解：解：根据不同的应力路径进行实验，可以分别从弹性阶段进入塑性阶段的各个界 限，这些界限即是屈服点。在应力空间将这些屈服应力点连接起来，就形成一个 区分弹性和塑性的分界面，成为屈服面。描述这个屈服面的数学表达式成为屈服 函数或屈服条件。 6.2 简述 Tresca 屈服条件和 Mises 屈服条件： 解：解：Tresca 条件：(1-3)/2=k，k=s/2或s； Mises 条件：J2=C，C=s2/3或s2； 6.3 设为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其 形式为： 证明证明：Mises 屈服条件为 故有 6.4 试用应力张量不变量和表示 Mises 屈服条件。 解解： Mises 屈服条件： 故有 6.5 试用 Lode 应力参数表达 Mises 屈服条件。 解：解：由定义： 即 Mises 屈服条件为 将上式代入，得： 即： 6.6 物体中某点的应力状态为，该物体在单向拉伸 时，试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性 状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号） ，则对被 研究点所处状态的判断有无变化? 解：解： （1）Mises 屈服条件判断 故该点处于弹性状态 （2）Tresca 屈服条件判断 故该点处于塑性状态 如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。 6.7 已知薄壁圆球，其半径为，厚度为，受内压的作用，如采用 Tresca 屈服条件，试求内壁开始屈服时的内压值。 解解：研究半球的静力平衡 内球面：，外球面： 由 Tresca 条件，内壁先开始屈服，此时 6.8证明下列等式： （1） 、 （2） 、 证明：证明： （1） 、右边 =左边 证毕！ （2） 、 证毕！ 6.9 设、为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其形式为 ，提示： 证明证明：Mises 屈服条件： ， 又 又 证毕！ 第七章第七章 塑性本构关系塑性本构关系 7.1 塑性全量理论的成立条件： 解：解： （1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力 Mohr 圆与应变 Mohr 圆相 似，应力 Load 参数和应变 Load 参数相等，而且在整个加载过程中主方向 保持不变； （2）平均应力与平均应变成比例； （3）应力偏量分量与应变偏量分量成比例； （4）等效正应力是等效正应变的函数，而这个函数对每个具体材料都应通过试 验来确定。 7.2 简述简单加载定理： 解解： 简单加载就是指单元体的应力张量各分量之间的比值，在加载过程中保持不 变，按同一参数单调增长。 7.3 简述单一曲线假定： 解解：按不同应力组合所得的曲线基本上和简单拉伸时的曲线一样。 7.4 比较两种塑性本构理论的特点： 解：解：增量理论和全量理论。增量理论将整个加载历史看成是一系列的微小增量加 载过程所组成，研究每个微小增量加载过程中应变增量与应力增量之间的关系， 再沿加载路径依次积分应变增量得最终的应变。 全量理论不去考虑应力路径的影 响，直接建立应变全量与应力全量直接的关系。 7.5 已知一长封闭圆筒半径为 r,壁厚为 t，受内压 p 的作用，从而产生塑性变形， 材料是各向同性的。如果忽略弹性应变，试求轴向、周向和径向应变增量的比。 解 ：解 ： 在方向 的主应 力分别 为： ，则 ，从而求得应力偏量，再根据增量理论 ，得最终结果为（-1） ：1：0 7.6 已知薄壁圆筒受拉应力的作用， 若使用 Mises 屈服条件， 试求屈服时扭转应 力为多大，并求此时塑性应变增量的比。 解：解：设扭转剪应力，主应力为：，代 入 Mises 屈服条件，得。 7.7 证明等式： 证明：证明： 将对求偏导，可得，同理可得， ，所以；用同样的方法求得。 7.8 一泊松比为， 满足 Mises 屈服条件的单元体， 已知其受力状态为， ，x,y,z 是主方向。求： （1）当从零增加到时屈服，求； （2）当=时，继续加载，使，求此时的、。 解解：1）开始屈服时，代入 Mises 屈服准则 得； 2）屈服后对应的塑性应变增量为 由 及 屈 服 条 件 的 微 分 形 式， 联 列 可 得 ， 代 入 式子得到答案结果。 7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。 （1）单向拉伸应力状态，； （2）纯剪力状态，。 解：解： （1）单向拉伸应力状态 有 则 （2）纯剪切应力状态， 有 故 7.10 如何利用与 Tresca 屈服条件相关联的流动法则？ 第八章第八章 理想刚塑性的平面应变问题理想刚塑性的平面应变问题 8.1简述滑移线的概念： 解：解：在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移 线。 剪切应力是最大剪应力。 平衡方程沿线： 2k=C 或 =2k ； 沿线： +2k=C 或 = 2k ； 速度方程沿线：dv v d=0； 沿线：dv +v d=0。 8.2 简述 Hencky 第一定理： 解：解：如果由一条滑移线转到另一条滑移线，则沿任何一个族的滑移线而 变化的角和压力的改变值而保持常数。 8.3推导 LevyMises 关系式 证明证明：对于平面应变问题，刚塑性材料的本构关系为： 证毕！ 8.4在刚塑性平面应变条件下，用 Tresca 屈服条件下，证明公式 证明证明：Tresca 屈服条件为： 对于平面应变（在 xoy 平面内）有： 同时：，其中 k 为纯剪 屈服应力。 整理得： 是其中一个主应力，故其余两个主应力可以由以下公式确定： 整理得： 证毕！ 8.5图示的楔体，两面受压，已知，分别对 q=0.5p,q=p 两中情况，求极限荷载 p 解解： q=p 时，见图（1） ，在中： 沿线， , ， q=0.5p 时， 情况一见图（2） ，在中：， 在中： 沿线， , 情况二见图（1） ，与一样 所以 8.6 已知具有尖角为的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1） 、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2） 、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。 解：解：1） OD 边： GD 边： 沿线， 2） 沿 OB 线， 8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（）和泊松比条件下， 试导出用表示的强化规律和本构关系。 解：解：当时，在弹性阶段有 得 平均应力 因此在弹性阶段有，进入塑性后有 对平均应变 刚进入塑性时。由上式导出。因此进入塑性 后还满足。由于，得出，故实际独立变量 只是与。 在塑性应变增量方面， 由于， 而。 则有，并可得出 最后得到答案结果。 8.8 理想刚塑性材料的平面应变问题， 已知， 分别对 Mises 和 Tresca 两种屈服条件，讨论应力偏张量的值。 解：解： （1）Mises 屈服条件。由流动法则，现在，将得出。 （2）Tresca 屈服条件，在平面内求得主应力如下： (a) 由于，而，即即 (b) 由流动法则，这要求应力点处在屈服面上，即 (c） 并要求，或 (d)由 代入(d)式，得 由代入，得 第九章第九章 塑性极限分析塑性极限分析 9.1 弹性弯曲时，材料力学中对梁的两个基本假定内容： 解：解： （1）平截面假定：梁的横截面变形后仍然保持平面； （2）只有截面上的正应力是主要的，其它应力分量均可忽略。 9.2 上、下限定理的表述及应用： 解：解：上限定理：机动乘子 S*真实乘子 S； 下限定理：静力乘子 S0真实乘子 S； 综合：S0 S S*。 9.3 塑性铰的主要特征为： 解：解： （1）铰上作用弯矩，弯矩值保持为极限弯矩，M=Ms; (2)铰的转角可以任意增大，但必须同弯矩的方向一致，因而它是个单向转动的 铰，若截面上的 M 减小，也即卸载，需按弹性计算。此时铰就停止转动，保持 一个残余转角。 9.4 使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解解1： （1）静力法 首先该超静定梁（）化为静定结构（） 、 （ ） 。分别求出其弯矩图，然后叠加， 得该超静定梁的弯矩图（） 在极限情况下： 设点支反力为，则：， 由上二式得 当值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（） ，并设点挠度为，则： ， 外力功，内力功 由，可得极限载荷上限为 由于在作用下，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解解2： （1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（） 、 （ ） ，分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯 矩图（） 设点为坐标原点，此时弯矩方程为： 在极限状态时，有 ； 令得 （1） 而 （2） （3） 联立解（1） 、 （2） 、 （3）得 解得 取较大的值，可得 在以上值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。 （2）机动法 如图（g） 设在、两点形成塑性铰 内力功为： 外力功为： 由虚功原理，得： 该解与完全解的误差为 解解3： （1）静力法 设坐标原点在点，此时弯矩方程为： 段（） 段（） 在处，为极大值，设在段，由 得，则 （1） 在极限情况下：， 即： （2） （3） 联立解（1） 、 （2） 、 （3）得： 取正号 由于此时形成破坏机构，故值完全解。 （2）机动法,如图（g） 设此梁在和处形成塑性铰，则 ， 内力功为： 外力功为： 由虚功原理 得： 由极值条件得 代入的表达式，则得的极小值： 由于此结果满足，故所得的值为完全解的极限载荷。 9.5试用机动法求下列图示板的极限载荷 。 (1)四边简支，边长为的正方形板，载荷作用在板的中点； (2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用； (3)四边简支矩形板，在板上任意点()承受集中力的作用 解：解： （a）外力功 如破坏时四角可以翘起。内力功 其中 代入上式后，得 由虚功原理得 其中值由确定即 由此得 因此 （b）外力功 内力功 由得 而 故 （c）外力功 内力功 其中 由得 9.6 使用机动法求图示连续梁的极限载荷。 解解1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图（b） 、 （c） 。 若塑性铰在、处形成，此时 外力功： 内力功： 由得： 若塑性铰在、处形成，设到得距离为，此时有 外力功： 内力功： 由得： 令得： 将代入的表达式 比较以上两种可知该梁的极限荷载为 解解2：该连续梁形成破坏机构有如下三种形式： （1） 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能，图（b）、形成塑性铰 故 ， 由得 图（c）、两点形成塑性铰，此时有 故， 由得： （2） 形成三个塑性铰，产生局部破坏有三种可能： 图（d）在、三点形成塑性铰，此时有 由得： 图（e）在、三点形成塑性铰，此时