[工学]3：Matlab的符号运算功能.ppt

符号运算的基本概念 符号运算功能 符号函数及运算 符号矩阵及运算 符号微积分 符号微分方程求解 符号代数方程求解 MatLab的符号运算工具箱（symbolic Toolbox），可以提供150多个函数，基本 上可以实现常用的各种符号计算功能;同时 具有与Maple的接口，以实现更多的功能 。（Matlab的 符号运算功能是从Maple引 入的。） 符号运算的基本概念 字符串和字符串函数 一、字符串的约定 以单引号设定输入或赋值； 例：s=matrix laboratory 注：每个字符都是矩阵s的一个元素，包括空格。 字符串和字符矩阵基本等价。 试比较： A1=a b;c d A2=a b; c d 字符串函数 字符数组的生成函数 char 例：s3=char(s,y,m,b,l,i,c); s3 ans = symbolic double(s3) 字符串转数值代码。 比较： s2=char(symbolic) s1=symbolic cellstr 字符数组转为字符串。 数值数组和字符串之间的转换函数表 函数名可实现功能函数名可实现功能 Num2str数字转字符串 Str2num字符串转 数字 Int2str整数转字符串Springf将格式数据 写为字符串 Mat2str矩阵转字符 串 sscanf在格式控制 下读字符串 试比较： a=1:5; b=num2str(a); a*2; b*2 字符串操作函数 函数名 可实现功能函数名 可实现功能 Strcat链结串strrep以其他串代替此串 Strvcat垂直链结串strtok寻找串中记号 Strcmp 比较串upper转换为 大写 Strncmp 比较串的前N个 字符 lower转换串为小写 Findstr在其它串中找此 串 blank生成空串 Strjust验证字符数组deblank 移去串内空格 strmath 查找可能匹配的 字符串 执行字符串功能的函数eval 例：n=4; t=1/(i+j-1); a=zeros(n); for i=1:n for j=1:n a(i,j)=eval(t); end end a = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 符号表达式的生成 符号表达式包括符号函数（不包括等号） 和符号方程（必须带有等号）。 符号函数符号方程符号微分方 程 F=log(x)Equation=a*x2+ b*x+c=0 Diffeq=Dy-y=x F=sym(sin(x) Syms x F=sin(x)+cos(x) 符号和数值之间的转换 digits(D) 设置返回有效个数为D的近似解精度。 R=vpa(S) 返回符号表达式在其前的digits设置下的精度 的数值解。 vpa(S,D) 返回符号表达式的digits（D）精度的数值解。 例：求方程的精确解和各种精度的近似解。 解： s=solve(3*x2-exp(x)=0) s = -2*lambertw(-1/6*3(1/2) -2*lambertw(-1,-1/6*3(1/2) -2*lambertw(1/6*3(1/2) vpa(s) ans = .91000757248870906068 3.7330790286328142006 -.45896226753694851460 vpa(s,6) ans = .910008 3.73308 -.458962 W = LAMBERTW(X) is the solution to w*exp(w) = x 符号函数的运算 复合函数的运算 compose 复合函数运算函数； compose (f , g ) 返回当和时的复合函数，这里是syms 定义的符号变量，为syms定义的符号变量； compose (f , g , z ) 返回自变量为复合函数； Compose(f , g , x , z ) 返回复合函数且使得 为的独立变量。即若，则compose (f , g , x , z)返回，而compose (f , g , t , z )返回； Compose (f , g , x , y , z ) 返回复合函数并使 得为的独立变量，为的独立变量。即若， 则compose (f , g , x , y , z)返回，而 compose (f , g , x , u , z )返回； 例：复合函数的运算。 syms x y z t u; f=1/(1+x2); g=sin(y); h=xt; p=exp(-y/u); compose(f,g) ans =1/(1+sin(y)2) compose(f,g,t) ans =1/(1+sin(t)2) compose(h,g,x,z) ans =sin(z)t compose(h,g,t,z) ans =xsin(z) compose(h,p,x,y,z) ans =exp(-z/u)t compose(h,p,t,u,z) ans =xexp(-y/z) 反函数的运算 finverse 反函数运算函数 g=finverse(f) 符号函数的反函数。仅一个变量时可用。 g=finverse(f,v) 符号函数的反函数，为自变量。有多个变量 时建议使用。 例： f=x2+y f = x2+y finverse(f,y) ans = -x2+y finverse(f) Warning: finverse(x2+y) is not unique. ans = (-y+x)(1/2) finverse(f,x) Warning: finverse(x2+y) is not unique. MATLABtoolboxsymbolicsymfinve rse.m at line 43 ans = (-y+x)(1/2) 此处的Warning提示反函数是不唯一。 符号矩阵的创立 使用sym 函数: 例如： a=sym(1/s+x,sin(x) cos(x)2/(b+x);9,exp(x2+y2),log(tanh(y) ) a = 1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x) 9, exp(x2+y2), log(tanh(y) 用创建子阵的方法创建符号矩阵 ms=1/s,sin(x) ; 1 , exp(x) ms = 1/s,sin(x) 1, exp(x) b=a;exp)-i),3,x3+y9 b = 1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x) 9, exp(x2+y2), log(tanh(y) exp)-i), 3, x3+y9 本方法不用sym命令，但必须保持同列各元 素字符具有相同的长度。 将数值矩阵转化为符号矩阵 在Matlab中，数值矩阵不能直接参与符号运算 ，必须先转化为符号矩阵。 例:a=2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3) a = 0.6667 1.4142 0.2220 1.4000 4.3478 1.0986 b=sym(a) b = 2/3, sqrt(2), 111/500 7/5, 100/23, 4947709893870347*2(-52) 符号矩阵的索引和修改 可以对矩阵的某个元素进行表示或修改，例 如 b(2,3) ans= 4947709893870347*2(-52) b(2,3)=log(9) b= 2/3, sqrt(2), 111/500 7/5, 100/23, log(9) 符号矩阵的运算 符号矩阵的运算基本与数值矩阵的运算相同。 符号微积分 一、符号极限 limit limit(F,x,a) limit(F,a) limit(F) limit(F,x,a,right) 单侧极限 limit(F,x,a,left) 例： syms x a t h; limit(sin(x)/x) ans = 1 limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t) limit(1/x,x,0,right) ans = inf limit(1/x,x,0,left) ans = -inf 二、符号积分 int(S) int(S,v) int(S,a,b) int(S,v,a,b) 三、符号微分 diff(S) diff(S,v) diff(S,n) Gradient (梯度函数) 符号代数方程的求解 线性方程组的解析解法 a=sym(10 -1 0;-1 10 -2; 0 -2 10) a = 10, -1, 0 -1, 10, -2 0, -2, 10 b=(9;7;6); linsolve(a,b) ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans) ans = .99578947368421052631578947368421 .95789473684210526315789473684211 .79157894736842105263157894736842 例：用fsolve函数求解： x1-0.7sinx1-0.2cosx2=0 x2-0.7cosx1+0.2sinx2=0 解：先编制函数文件fc.m如下： %fc.m function y=fc(x) y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2); y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2); y=y(1) y(2); 在Matlab窗口中输入： x0=0.5 0.5; fsolve(fc,x0) ans = 0.5265 0.5079 符号微分方程求解 dsolve Examples: dsolve(Dx = -a*x) returns ans = exp(-a*t)*C1 x = dsolve(Dx = -a*x,x(0) = 1,s) returns x = exp(-a*s) y = dsolve(Dy)2 + y2 = 1,y(0) = 0) returns y = sin(t) -sin(t) S = dsolve(Df = f + g,Dg = -f + g,f(0) = 1,g(0) = 2) returns a structure S with fields S.f = exp(t)*cos(t)+2*exp(t)*sin(t) S.g = -exp(t)*sin(t)+2*exp(t)