高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题25 导数的应用1

专题25 导数的应用【标题01】没有理解“是是极值点的必要非充分条件”【习题01】处有极小值，则 .【经典错解】由题得，所以 .所以或，所以或.【详细正解】由题得，所以 .所以或. 当时，所以函数 是增函数，与题意不相符，所以舍去. 经检验，时，满足题意. 所以.【习题01针对训练】已知函数在处取得极小值，则常数的值为（ ）A2 B8 C2或8 D以上答案都不对【标题02】求函数的单调性时忽略了函数的定义域的研究【习题02】已知函数，试判断函数的单调性.【经典错解】由已知得令，得因为当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减【详细正解】）函数的定义域是由已知令，得因为当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减【习题02针对训练】已知函数求的单调区间. 【标题03】导函数及其单调性的关系理解不到位【习题03】设函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）A B CD【经典错解】根据题意在区间上恒成立，所以的最大值小于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以，解得,所以选择.【详细正解】根据题意在区间上恒成立，所以的最大值小于或等于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以，解得,所以选择.【深度剖析】（1）经典错解错在导函数及其单调性的关系理解不到位.（2）函数单调递减时，相应的导数值应该小于或等于零（等于零的点为有限个孤立点），不能写成导数小于零.错解漏掉了等号.【习题03针对训练】已知函数（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为，求实数的值【标题04】解题不规范没有严格按照教材的要求求函数的极值【习题04】设函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.【经典错解】（1） 令得： 所以的增区间是和，减区间是； 当时，取得极大值，极大值； 当时，取得极小值，极小值. （2）由（1）得，作出函数的草图如图所示：数形结合得实数的取值范围是. 【详细正解】（1） 令得： 当变化时，的变化情况如下表： 增极大减极小增所以的增区间是和，减区间是； 当时，取得极大值，极大值； 当时，取得极小值，极小值. （2）由（1）得，作出函数的草图如图所示：所以，实数的取值范围是. 【习题04针对训练】已知函数R）.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：【标题05】对于函数的图像分析不透彻推理不严谨碰巧做对了【习题05】已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；（3）是否存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.【经典错解】（1）函数的定义域是对求导得 由 ，由因此 是函数的增区间；和是函数的减区间. （2）因为所以实数的取值范围就是函数的值域 对令当时取得最大值，且因此函数的值域是 ,即实数的取值范围是. （3）结论：这样的正数不存在. 下面采用反证法来证明：假设存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，则 根据对数函数定义域知都是正数.又由（1）可知，当时，=，=，再由k0，可得由于 不妨设 ，由和可得 利用比例性质得 即 由于上的恒正增函数，且 又上的恒正减函数，且，这与（*）式矛盾.因此满足条件的正数不存在 . 【详细正解】（1）同上 （2）因为所以实数的取值范围就是函数的值域. 对令当时取得最大值，且又当无限趋近于时，无限趋近于无限趋近于，进而有无限趋近于.因此函数的值域是 ,即实数的取值范围是 （3）同上.【习题05针对训练】已知函数.直线经过点且与曲线相切.（1）求切线的方程;（2）若关于的不等式恒成立，求实数的最大值.（3）设，若函数有唯一的零点，求证.【标题06】求函数的极值时忽略了函数的定义域【习题06】已知函数（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？【经典错解】（1）由已知得， 令则当时，在上是减函数，当时或时，在，上是增函数， 故函数的极小值为 （2）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，设 ，则函数的图象与轴有三个不同交点，即在有两个不同的零点显然在上至多只有一个零点.则函数的图象与轴至多有两个不同交点，则这样的不存在.【详细正解】（1）定义域为，由已知得， 则当时，在上是减函数，当时，在上是增函数， 故函数的极小值为 （2）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，设，则函数的图象与轴有三个不同交点，即在有两个不同的零点显然在上至多只有一个零点.则函数的图象与轴至多有两个不同交点，则这样的不存在.【习题06针对训练】设，其中，曲线 在点处的切线与轴相交于点(1)确定的值；(2)求函数的单调区间与极值【标题07】审题错误把单调函数理解为单调增函数【习题07】已知，且函数在上是单调函数，求的取值范围【经典错解】又在上是单调函数，在上恒成立.即在上恒成立 ，在上恒成立即或或 解得：故在上不可能为单调函数【详细正解】 在上是单调函数(1)若在上是单调递增函数则在上恒成立，即在上恒成立在上恒成立，则有或或 解得，(2)若在上是单调递减函数，则在上恒成立在上恒成立 在上恒成立则有当时，在上是单调函数【习题07针对训练】已知函数（1）若函数在上不是单调函数，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点个数【标题08】对“任意”和“存在”问题的区别没有理解到位【习题08】已知函数（）（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围【经典错解】（1）当时，由于，所以函数的单调增区间为，当时，令，得当变化时，与变化情况如下表：单调递增极大值单调递减所以函数的单调增区间为，函数的单调减区间为（2）由已知，转化为 接下来，求函数和.【详细正解】（1）同上.（2）由已知，转化为 因为，所以=2由（）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意（或者举出反例：存在，故不符合题意） 当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，所以，解得若存在存在使得，等价于；若存在任意使得，等价于.对于这4个关于“任意”和“存在”的命题，大家要理解透彻，不要死记硬背.【习题08针对训练】已知函数，（）（1）对于函数中的任意实数x，在上总存在实数，使得成立，求实数的取值范围；（2）设函数，当在区间内变化时，（1）求函数的取值范围；（2）若函数有零点，求实数的最大值.【标题09】对命题恒成立错误理解为【习题09】已知.（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.【经典错解】（1）.当单调递减，当单调递增. ，即时，； ，即时，在上单调递增，所以. （2）对一切恒成立，等价于，接下来求，再解答.（3）问题等价于证明，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到 设，则，易知，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立. 【详细正解】（1）.当单调递减，当单调递增 ，即时，； ，即时，在上单调递增，所以. （2），则，设，则， 单调递减，单调递增，所以，对一切恒成立，所以. （3）同上. 【习题09针对训练】已知函数，（1）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；（2）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围【标题10】函数在区间（-1,1）上为减函数和减区间为（-1，1）没有区分清楚【习题10】已知函数的单调减区间为，求的取值范围.【经典错解】所以 所以的取值范围为.【详细正解】所以 所以的取值范围为.所以 所以的取值范围为.【习题10针对训练】已知函数，.（）若在处取得极值，求的值；（）若在区间上单调递增, 求的取值范围；（）讨论函数的零点个数.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第25讲：导数的应用参考答案【习题01针对训练答案】 【习题01针对训练解析】,由题意可知,解得或当时,在两侧均为正,此时不是函数的极值点,故舍,所以,故选【习题02针对训练答案】当时， 减区间为；当时，递增区间为，递减区间为.【习题03针对训练答案】（1）；（2）.【习题03针对训练解析】（1）， 在上是增函数0在上恒成立，即在上恒成立 令，则在上是增函数，所以实数的取值范围为 （2）由（1）得，【习题04针对训练答案】(1)；(2)详见解析；（3）证明见解析.【习题04针对训练解析】（1）函数所以又曲线处的切线与直线平行，所以 （2）令当x变化时，的变化情况如下表：由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是+ 极大值所以处取得极大值， （3）当由于只需证明令因为，所以上单调递增，当即成立.故当时，有 因此要使不等式成立，则，所以的最大值是.（3）由题设条件知，函数， 则时，时，所以函数有唯一的极小值，也是最小值.当时，当时，所以函数有唯一零点的充要条件是其最小值为.即，故，由于，所以设，又因为由零点存在性定理知.当或时，故在，上为增函数;当时，故在上为减函数由此可知在处取得极大值，在处取得极小值【习题07针对训练答案】（1）；（2）只有一个零点【习题07针对训练解析】（1），由题意知方程有两个不同的实数解，解得因此，实数的取值范围是（2），设，因为，所以，故在上是增函数，又，因此在内存在唯一的实数，使得，因为在上市增函数，所以在内存在唯一的实数，使得与随的变化情况如下表：极小值由上表可知，又，故的大致图象右图所示：所以函数在内只有一个零点 【习题08针对训练答案】（1）；（2）（1）；（2）当时，因为，故的值在区间上变化，此时，对于函数，存在，在单调递减，在单调递增，所以，在的最大值为，因为，所以，故的最大值是，又因为，故当函数有零点时，实数的最大值是.【习题09针对训练答案】（1）；（2）实数的取值范围是【习题09针对训练解析】（1）设切点为，由题意