高中数学 第二章 平面向量 2_1 向量的线性运算学案 新人教b版必修4

21.1向量的概念预习课本P7779，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？(2)向量的相关概念有哪些？1向量的概念及表示概念具有大小和方向的量称为向量表示具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作 ，的长度记作|.用有向线段表示向量，读作向量 代数表示印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头点睛向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段2与向量有关的概念名称定义记法向量的长度(模)若a，则的长度为向量的长度(模)|a|零向量长度等于0的向量0相等向量两个向量a和b同向且等长ab向量的基线通过有向线段的直线向量共线或平行向量的基线互相平行或重合ab规定：零向量与任意向量都平行0a位置向量任给一定点O和向量a，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量叫做点A相对于点O的位置向量 点睛共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量能比较大小()(2)向量的模是一个正实数()(3)向量与向量是相等向量()答案：(1)(2)(3)2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速其中可以看成是向量的个数()A1 B2C3 D4答案：B3已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A也可以用表示 B方向是由M指向NC始点是M D终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有_答案：， 向量的有关概念典例有下列说法：向量和向量长度相等；方向不同的两个向量一定不平行；向量是有向线段；向量00，其中正确的序号为_解析对于，|AB，故正确；对于，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故错误；对于，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故错误；对于，0是一个向量，而0是一个数量，故错误答案(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手是否有大小；是否有方向(2)理解零向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等活学活用有下列说法：若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若向量，满足|，且与同向，则；若|a|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行其中正确说法的个数是()A1B2C3 D4解析：选A对于，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于，因为向量不能比较大小，故错误；对于，由|a|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误向量的表示典例在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：，使|4，点A在点O北偏东45；，使|4，点B在点A正东；，使| |6，点C在点B北偏东30.解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量活学活用一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点作出向量，.解：如图所示共线向量或相等向量典例如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，.(2)与a共线的向量有，.(3)与a相等的向量有，；与b相等的向量有，；与c相等的向量有，.一题多变1变设问本例条件不变，试写出与向量相等的向量解：与向量相等的向量有，.2变条件，变设问在本例中，若|a|1，求正六边形的边长解：由正六边形性质知，FOA为等边三角形，所以边长AF|a|1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线层级一学业水平达标1下列说法正确的是()A向量就是所在的直线平行于所在的直线B长度相等的向量叫做相等向量C若ab，bc，则acD共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错2.如图，在圆O中，向量，是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量解析：选C由图可知，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()A向量与向量一定同向B向量，向量，向量一定共线C向量与向量一定相等D以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知，这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C根据向量的基本概念可知与平行的向量有，共3个5已知向量a，b是两个非零向量，分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是()A B 或C1 D|解析：选D由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错又与均为模为1的向量|，故C错D对6已知| |1，| |2，若ABC90，则|_.解析：由勾股定理可知，BC，所以|.答案：7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是_解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个答案：88给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_(填序号)解析：若ab，则a与b大小相等且方向相同，所以ab；若|a|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有ab；零向量与任意向量平行，所以若|a|0或|b|0，则ab.答案：9.如图，O是正方形ABCD的中心(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与的模相等的向量解：(1)与向量相等的向量是.(2)与的模相等的向量有：，.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出，.(2)求B地相对于A地的位移解：(1)向量，如图所示(2)由题意知.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形所以，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60的方向距A地6千米”层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式成立的是()ABC D解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，与方向不同，故错误；B中，与方向不同，故错误；C中，与方向相反，故错误；D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故正确2下列说法正确的是()A若ab，bc，则acB终点相同的两个向量不共线C若ab，则a一定不与b共线D零向量的长度为0解析：选DA中，因为零向量与任意向量平行，若b0，则a与c不一定平行B中，两向量终点相同，若夹角是0或180，则共线C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线3.在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A一组 B二组C三组 D四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即.4如图，在菱形ABCD中，DAB120，则以下说法错误的是()A与相等的向量只有一个(不含)B与的模相等的向量有9个(不含)C的模为模的倍D与不共线解析：选DA项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为ABBCCDDAAC，所以与的模相等的向量除外有9个，正确；C项，在RtADO中，DAO60，则DODA，所以BDDA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误，选D.5四边形ABCD满足，且| |，则四边形ABCD是_(填四边形ABCD的形状)解析：，ADBC且|，四边形ABCD是平行四边形又|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形答案：矩形6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为_；与向量共线的向量为_；与向量的模相等的向量为_(填图中所画出的向量)解析：O是正三角形ABC的中心，OAOBOC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，.答案：，7如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量(2)写出图中所示向量与向量相等的向量(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量解：(1)与长度相等的向量是，.(2)与相等的向量是，(3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.8如图，已知函数yx的图象l与直线m平行，A，B(x，y)是m上的点求(1)x，y为何值时，0；(2)x，y为何值时，|1.解：(1)要使0，当且仅当点A与点B重合，于是(2)如图，由已知，lm且点A的坐标是，所以B1点的坐标是.在RtAOB1中，有|2|2|2221，即|1.同理可得，当B2的坐标是时，|AB2|1.综上有，当或时，|1.21.2向量的加法预习课本P8083，思考并完成以下问题 (1)向量的加法如何定义？(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？(3)向量加法的运算律有哪两条？ 1向量的加法(1)三角形法则原理已知向量a，b，在平面上任取一点A，作a，b，再作向量，则向量 叫做a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab图示点睛(1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点(2)零向量与任一向量a的和都有a00aa.(2)平行四边形法则原理已知两个不共线向量a，b，作a，b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量ab，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则图示(3)多边形法则原理已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则图示2.向量加法的运算律运 算 律交换律abba结合律(ab)ca(bc)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线()答案：(1)(2)(3)2对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是()ABC D答案：C3边长为1的正方形ABCD中，|()A2 B.C1 D2答案：B4_.答案：0向量加法及其几何意义典例如图1，图2，图3所示，求作向量和解如图中，所示，首先作a，然后作b，则ab.如图所示，作a，b，则ab，再作c，则(ab)c，即abc.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单活学活用如图，已知a，b，c，求作向量abc.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作a，b，c，则abc.向量加法运算典例化简或计算：(1) ；(2) .解(1) ().(2) ()()0.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.活学活用如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心则_；_；_.解析：.答案：层级一学业水平达标1下列等式错误的是()Aa0aaB0C0 D解析：选B由向量加法可知2.2()()等于()A BC D解析：选C原式()()0.3下列各式不一定成立的是()Aabba B0aaC D|ab|a|b|解析：选DA成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|ab|a|b|.4在矩形ABCD中，|4，|2，则向量的长度等于()A2B4C12 D6解析：选B因为A，所以的长度为的模的2倍，故答案是4.5已知平行四边形ABCD，设a，且b是一非零向量，则下列结论：ab；aba；abb；|ab|a|b|.其中正确的是()A BC D解析：选A在平行四边形ABCD中，0，0，a为零向量，零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，正确，错误6_.解析：原式.答案： 7已知正方形ABCD的边长为1，a，c，b，则|abc|_.解析：|abc|2|2.答案：28.如图，在平行四边形ABCD中，(1) _；(2) _；(3) _；(4) _.解析：(1)由平行四边形法则可知为.(2) .(3)A.(4) 0.答案：(1) (2) (3) (4)09.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：；.解：.0.10如图所示，中心为O的正八边形A1A2A7A8中，ai (i1,2，7)，bj (j1,2，8)，试化简a2a5b2b5b7.解：因为0，所以a2a5b2b5b7()()b6.层级二应试能力达标1.已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是()AB0C,D解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，.2下列命题错误的是()A两个向量的和仍是一个向量B当向量a与向量b不共线时，ab的方向与a，b都不同向，且|ab|a|b|C当向量a与向量b同向时，ab，a，b都同向，且|ab|a|b|D如果向量ab，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有，起点和终点都不相同3已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中正确的是()AP在ABC的内部BP在ABC的边AB上CP在AB边所在的直线上DP在ABC的外部解析：选D，根据平行四边形法则，如图，则点P在ABC外部4下列命题正确的是()A如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么ab的方向必与a，b之一的方向相同B若0，则A，B，C为三角形的三个顶点C设a0，若a(ab)，则abD若|a|b|ab|，则b0解析：选C当ab0时，A选项不正确；若0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则ab与a不共线，故C选项正确；若|a|b|ab|，则b0或b0(a与b反向共线，且|a|b|)，故D选项不正确5O为三角形ABC内一点，若0，则O是三角形ABC的_心解析：0，此时与共起点，以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，则2，即2，O是三角形ABC的重心答案：重6若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|ab|_，ab的方向是_解析：如图所示，设a，b，则ab，且ABC为等腰直角三角形，则|8，BAC45.答案：8 km北偏东457.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.证明：，.与大小相等，方向相反，0，故0.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作abcd.(2)设|a|2，e为模为1的向量，求|ae|的最大值解：(1)在平面内任取一点O，作a，b，c，d，则abcd.(2)在平面内任取一点O，作a，e，则ae，因为e为模为1的向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|即|ae|最大，最大值是3.21.3 & 2.1.4向量的减法数乘向量预习课本P8489，思考并完成以下问题(1)a的相反向量是什么？(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？(3)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(4)向量数乘运算满足哪三条运算律？1相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)(a)a0；(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.点睛相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量2向量的减法已知向量a，b(如图)，作a，b，则ba.向量 叫做向量a与b的差，并记作ab，即ab .由定义可知：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量 减去它的始点相对于点O的位置向量 ，或简记为“终点向量减始点向量”；(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量点睛在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可3数乘向量(1)定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a.(2)长度：|a|a|.(3)方向：a(a0)的方向：当0时，与a同方向；当0时，与a反方向特别地，当0或a0时，0a0或00.a中的实数叫做向量a的系数(4)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小(5)运算律：设，R，则()aa a( a)()a；(ab)ab.点睛(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如a，a均无法运算(2)a的结果为向量，所以当0时，得到的结果为0而不是0.4向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的差仍是一个向量()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量()(4)相反向量是共线向量()(5)对于任意实数m和向量a，b，若mamb，则ab.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()AmnBmnC|m|n| D方向相反答案：A3.(a2b)(4a3b)可化简为()A.a BaCa3b D.a3b答案：C4在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为_答案：， 向量的运算与化简典例化简下列各式：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)( )()；(4)( )()解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)()()()()0.(4)( )()()()0.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量活学活用化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2).解：(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.向量的减法及其几何意义典例如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解法一：如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.法二：如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 活学活用在本例的条件下作出向量：abc；abc.解：如图所示用已知向量表示未知向量典例如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.解由三角形中位线定理，知DE綊BC，故，即a.abaab.abaab. 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用活学活用如图，四边形OADB是以向量a，b为边的平行四边形又，试用a，b表示，.解：()(ab)，babab.，()(ab)(ab)abab.层级一学业水平达标1已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc()A5eB5eC23e D23e解析：选C2a3bc25e3(3e)4e23e.2在ABC中，|1，则|的值为()A0 B1C. D2解析：选B| |1.3若|8，|5，则|的取值范围是()A3,8 B(3,8)C3,13 D(3,13)解析：选C.根据三角形法则，当，共线且同向时，|3；当，共线且反向时，|13；当，不共线时，3|13.故|3,134已知一点O到ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()Aabc BabcCabc Dabc解析：选B如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有abc.5下列各式能化简为的个数是()()()()()A1 B2C3 D4解析：选C中，()；中，()0；中，()()；中，2.6若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.解析：由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，x3a4b0，x4b3a.答案：4b3a7若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_.解析：若a，b为相反向量，则ab0，|ab|0，又ab，|a|b|1，a与b共线，|ab|2.答案：028.如图所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M为BC的中点，则_(用a，b)表示解析：b(ab)ba(ba)答案：(ba)9化简：(1)；(2) .解：(1) ()()0.(2) ()()0.10设O是ABC内一点，且a，b，c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，ab，c(ab)cab.又四边形ODHC为平行四边形，cab，abcbac.层级二应试能力达标1平面上有三点A，B，C，设m，n，若m，n的长度恰好相等，则有()AA，B，C三点必在同一直线上BABC必为等腰三角形且B为顶角CABC必为直角三角形且B90DABC必为等腰直角三角形解析：选C|m|n|，|，如图即ABCD的对角线相等，ABCD是矩形，B90，选C.2如图所示向量，的终点在同一直线上，且3，设p，q，r，则下列等式中成立的是()ArpqBrp2qCrpq Drq2p解析：选A3，22.r()pq.3在菱形ABCD中，DAB60，|2，则|()A. B2C. D2解析：选B如图，设菱形对角线交点为O，DAB60，ABD为等边三角形又AB2，OB1.在RtAOB中，|，|2|2.4已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：选D，即20，即2，故，P是AC边的一个三等分点5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中b，c，则等于_解析：bc.答案：bc6对于向量a，b，当且仅当_时，有|ab|a|b|.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|ab|a|b|，所以只有两向量共线且同向时，才有|ab|a|b|.答案：a与b同向7.如图，已知a，b，c，d，e，f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) ca.(2) ad.(3) 0.8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)abc.(2)abc.解：(1)由已知得abc，所以延长AC到E，使|.则abc，且|2.所以|abc|2.(2)作，连接CF，则，而ab，所以abc，且| |2，所以|abc|2.21.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P9093，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？1平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使得ab.(2)单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a|a|a0或a0.点睛对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若ab，则ab”中没有b0的要求，当b0时a0对任意的实数都能使ab.(2)第二方面“若ab且b0，则存在唯一一个实数使ab”中必须有b0，否则a0时不唯一，a0时，不存在2轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标名称定义轴规定了方向和长度单位的直线叫做轴轴的基向量取单位向量，且其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量a在轴l上的坐标如果axe, 则x叫做向量a在轴l上的坐标(2)轴上向量的坐标运算法则(或公式)文字语言符号语言轴上两个向量相等的法则轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等设ax1e，bx2e，则abx1x2轴上求两个向量的和的法则轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e轴上向量的坐标公式轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标ABx2x1|AB|x2x1|点睛 是一个向量，既有大小，也有方向而AB表示的坐标，它是一个实数1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平行向量基本定理，条件b0可以去掉()(2)若|a|b|ab|，则a与b是共线向量()(3)若a与b共线，则存在唯一实数，使ba成立答案：(1)(2)(3)2数轴上三点A，B，C的坐标分别为1,2,5，则()AAB3BBC3C6 D3答案：B3在四边形ABCD中，若，则此四边形是()A平行四边形 B菱形C梯形 D矩形答案：C4已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标xB3，AB5，AC2，则点C的坐标为_答案：0轴上向量的坐标运算典例已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x25，BA3；(2)x21，|AB|2.解(1)因为BAx1(5)3，所以x18.(2)因为|AB|1x1|2，所以x11或x13.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度活学活用已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是8，3,7，求，的坐标和长度解：AB(3)(8)5，|5|5；BC7(3)10，|10|10；CA(8)715，|15|15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1已知两个非零向量a与b不共线，ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线题点二：利用向量的共线确定参数2已知a，b是不共线的两个非零向量，当8akb与ka2b共线时，求实数k的值解：8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.a与b不共线，解得2，k24.题点三：几何图形形状的判定3如图所示，正三角形ABC的边长为15，AC.求证：四边形APQB为梯形证明：因为，所以.又|15，所以|13，故|，于是四边形APQB为梯形用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法 层级一学业水平达标1已知数轴上两点M，N，且|MN|4.若xM3，则xN等于()A1B2C7 D1或7解析：选D|MN|xN(3)|4，xN(3)4，即xN1或7.2已知O是ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且20，则()A B2C3 D2解析：选A在ABC中，D为边BC的中点，2，2()0，即0，从而.3点P满足向量2，则点P与AB的位置关系是()A点P在线段AB上B点P在线段AB的延长线上C点P在线段AB的反向延长线上D点P在直线AB外解析：选C2，点P在线段AB的反向延长线上，故选C.4在ABC中，点P是AB上一点，且，又t，则t的值为()A. B.C. D.解析：选A由题意可得()，又t，t.5设e1，e2不共线，be1e2与a2e1e2共线，则实数的值为()A. BC1 D1解析：选B设akb(kR)，则2e1e2ke1ke2.e1，e2不共线，.6在数轴x上，已知3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量AB的坐标为_解析：由3e，得点A的坐标为3，则AB3(3)6，即的坐标为6.答案：67下列向量中a，b共线的有_(填序号)a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.解析：中，ab；中，b2e12e22(e1e2)2a；中，a4e1e244b；中，当e1，e2不共线时，ab.故填.答案：8已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP2，MN8，则点N的坐标