高中数学 第二单元 圆锥曲线与方程 2_3_2 抛物线的几何性质（一）教学案 新人教b版选修1-1

23.2抛物线的几何性质(一)学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的几何性质思考1类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？思考2类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？思考3参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点离心率e_知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)类型一由抛物线的几何性质求标准方程例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2反思与感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离引申探究本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1.反思与感悟(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可跟踪训练2直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_类型三抛物线的实际应用例3某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？反思与感悟在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用跟踪训练3如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的)1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y2若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)3已知过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB的值为_4对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)符合抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)5求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x29y2144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解3设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论答案精析问题导学知识点一思考1范围、对称性、顶点、离心率思考2范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)思考3参数p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大梳理(0,0)1题型探究例1解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0)直线l：x，所以A，B两点坐标为(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.引申探究B因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.跟踪训练1解设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0)因为点P到对称轴距离为6，所以y06.因为点P到准线距离为10，所以|x0|10.因为点P在抛物线上，所以362ax0，由，得或或或所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.例2解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x25.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.引申探究解由抛物线定义|AA1|AF|，得AA1FAFA1，又AA1x轴，OFA1AA1F，OFA1AFA1，同理得OFB1BFB1，A1FOB1FO90，即A1FB190.跟踪训练2xy10或xy10例3解以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知A(4，5)在抛物线上，故162p(5)p，则抛物线的方程是x2y(4x4)，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B时，木船开始不能通航设B(2，y)，22yy.0.752.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航跟踪训练3解设所求抛物线的解析式为yax2.设D(5，b)，则B(10，b3)，把D、B的坐标分别代入yax2得解得yx2.b1，拱桥顶O到CD的距离为1，5.即再持续5小时水位到达拱桥顶当堂训练1C2.B3.104.5解(1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故4，p8.因此，所求抛物线的标准方程为y216x或x216y.(2)双曲线方程16x29y2144化