高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法同步配套教学案 新人教a版选修4-5

一 比_较_法对应学生用书P181作差比较法(1)作差比较法的理论依据ab0ab，ab0a0，若1，则ab；若1则ab；b1则ab；若b.(2)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；作商；变形整理；判定与1大小关系；得出结论 对应学生用书P18作差比较法证明不等式例1已知正数a，b，c成等比数列求证：a2b2c2(abc)2.思路点拨作差变形判定符号结论证明：因为正数a，b，c成等比数列，所以b2ac，b，(a2b2c2)(abc)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)2b()20.所以a2b2c2(abc)2.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1求证：a2b22(ab1)证明：a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)2已知a，bR，nN，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)证明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)(1)若ab0时，bnan0，ab0，(ab)(bnan)a0时，bnan0，ab0.(ab)(bnan)0时，(bnan)(ab)0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).作商比较法证明不等式例2设a0，b0，求证：aabb(ab).思路点拨不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法证明aabb0，(ab) 0，ab.当ab时，显然有1；当ab0时，1，0，所以由指数函数单调性，有1；当ba0时，01，1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb(ab) .当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较3设ab0，求证：.证明：法一：0，所以原不等式成立法二：ab0，故a2b20.故左边0，右边0.11.原不等式成立4若a0，b0，c0，求证：aabbcc(abc) .证明：不妨设abc0，那么由指数函数的性质，有1，1，1.所以abc1.原不等式成立.比较法的实际应用例3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？思路点拨先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较解设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2 ，依题意有：mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20.即t1a时，设max(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)101.2 x，Q(x)81.4xP(x)Q(x)20.2x0.2(10x)当x10时，P(x)Q(x)此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适当x10时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同 对应学生用书P201下列命题：当b0时，ab1；当b0时，ab0，b0时，1ab；当ab0时，1ab.其中真命题是()ABC D解析：只有不正确如a2，b1时21，但ab.答案：A2.1 Ba1或a0解析：1100a1.答案：D3若x，yR，记wx23xy，u4xyy2，则()Awu BwQ BP0，Q0.P2Q22()20.(当且仅当ab时取等号)P2Q20.PQ.答案：D5若0x1，与大小关系是_解析：.因为0x1，所以0.所以.答案：b0，x，y，则x，y的大小关系是x_y.解析：0，y0，xy.答案：2，求证：loga(a1)2，a11.loga(a1)0.log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)2，0loga(a21)logaa22.221.