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第十一章 无穷级数 从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：级数的收敛性判定问题，把已知 函数表示成级数问题，级数求和问题。 重点 级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式 ； 难点 常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和； 基本要求 掌握级数敛散性概念和性质 掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法 掌握交错级数的Leibniz审敛法 掌握绝对收敛和条件收敛概念 掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数 熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及 其收敛半径 掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数 掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数 一、问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 二、级数的概念 1. 级数的定义: 一般项 (常数项)无穷级数 级数的部分和 部分和数列 2. 级数的收敛与发散: 余项 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花” 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 第 次分叉： 周长为 面积为 于是有 雪花的面积存在极限（收敛） 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 三、基本性质 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性. 证明 注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 事实上，对级数任意加括号 若记 则加括号后级数成为 记 的部分和为的部分和记为 则 由数列和子数列的关系知 存在， 必定存在 存在未必存在 四、收敛的必要条件 级数收敛的必要条件: 证明 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 讨论 2项 2项 4项 8项 项 由性质4推论,调和级数发散. 由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分 以 1 为底的的矩形面积把每一项看成是以 为高 就是图中 n 个矩形的面积之和 即 故调和级数发散 调和级数的部分和 五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛
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