高中数学 第一章 计数原理 1_1 两个基本计数原理学案 苏教版选修2-3

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.1两个基本计数原理1掌握分类计数原理与分步计数原理(重点)2会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题(难点)基础初探教材整理1分类计数原理阅读教材P5P6“例1”以上部分，完成下列问题如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种()(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种()【解析】(1)在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的(2)在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事(3)由分类计数原理，从甲地去乙地共347(种)不同的交通方式(4)根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8614(种)【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2分步计数原理阅读教材P5P6“例1”以上部分，完成下列问题如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(2)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，则xy可表示不同的值的个数为9个()(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种()【解析】(1)因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同(2)因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成(3)因为x从集合2,3,7中任取一个值共有3个不同的值，y从集合3，4,8中任取一个值共有3个不同的值，故xy可表示339个不同的值(4)因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理共有34种不同的夺冠情况【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型分类计数原理(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准(2)按个位(或十位)取09不同的数字进行分类【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722种(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836(个)1应用分类计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事2利用分类计数原理解题的一般思路再练一题1(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有_种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个若从三个袋子中任取1个小球，有_种不同的取法【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有213种(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有65415种【答案】(1)3(2)15分步计数原理一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步计数原理，共可以组成N1010101010 000个四位数的号码1应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可2利用分步计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果再练一题2张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式由分步计数原理，得236种探究共研型两个计数原理的辨析探究1某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”探究2在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事探究3在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3333315(种)不同的套餐利用分步计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5315(种)不同套餐两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成即解答本题可“先分类，后分步”【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有224种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法根据分类计数原理，共有42118种选派方法1能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数2利用分步计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成再练一题3一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分类计数原理，共有101222种取法(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分步计数原理，共有1012120种取法构建体系1一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有_种【解析】由分类计数原理知，有358种不同的选法【答案】82有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有_种. 【导学号：29440000】【解析】分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师有3种选法；第二步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法共有33119种监考的方法【答案】933名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有_种【解析】第1名学生有4种选报方法；第2,3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有44464.【答案】644某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_种(用数字作答)【解析】分两类，第一棒是丙有12432148(种)；第一棒是甲、乙中一人有21432148(种)根据分类计数原理得，共有方案484896(种)【答案】965某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法根据分类计数原理，小明爸爸共有8614(种)坐法(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8614(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有1413182(种)坐法我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人去领奖，共有_种不同的选法；从中选一名男生，一名女生去领奖，则共有_种不同的选法【解析】从中选一人去领奖有6410(种)方法从中选一名男生一名女生去领奖有6424(种)选法【答案】10242一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务，但需在北京停留已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到南京每天有6列火车，该志愿者从沈阳到南京共有_种不同的方法. 【导学号：29440001】【解析】根据分步计数原理，此人可选择的行车方式共有6742(种)【答案】423(2016徐州高二检测)某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有_种【解析】先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6530种不同的组队方法【答案】304由1,2,3,4可以组_个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数字)【解析】组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个第二类：两位自然数，又可分两步来完成先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4416(个)第三类：三位自然数，又可分三步来完成每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有44464(个)第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4444256(个)由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为41664256340(个)【答案】3405商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种若一位女生要买一套服装，则共有_种不同选法【解析】3(32)15(种)【答案】156(2016无锡高二检测)设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立AB的映射的个数为_【解析】建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有2228(个)【答案】87用4种不同的颜色涂入如图111所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有_种ABCD图111【解析】按A，B，C，D顺序涂色，共有432372种方法【答案】728甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种【解析】分三类：若甲在周一，则乙丙有4312种排法；若甲在周二，则乙丙有326种排法；若甲在周三，则乙丙有212种排法所以不同的安排方法共有126220种【答案】20二、解答题9已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？【解】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是6636(个)(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是326(个)(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个结合(1)得，不在直线yx上的点共有36630(个)10由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有33218(个)(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有34448(个)能力提升1.将1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图112是一种填法，则不同的填写方法共有_种123312231图112【解析】假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3216(种)填法故不同的填写方法共有6212(种)【答案】122从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有_对. 【导学号：29440002】【解析】与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有48对【答案】483将三种作物种在如图113所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有_种图113【解析】分别用a，b，c代有3种作物，先安排第一块试验田有3种方法，不妨设放入a，再