高中数学 第1章 解三角形 1_2_1 余弦定理（1）学案 苏教版必修5

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.2余弦定理 第1课时余弦定理(1)1掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法(重点)2会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题(难点)基础初探教材整理1余弦定理阅读教材P13“思考”以上部分，完成下列问题三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.1在ABC中，若b1，c，A，则a_.【解析】a1.【答案】12在ABC中，若a5，c4，cos A，则b_.【解析】由余弦定理可知25b21624bcos A，即b2b90，解得b6.【答案】6教材整理2余弦定理的变形阅读教材P13“思考”以下内容P14，完成下列问题1余弦定理的变形cos A，cos B，cos C.2余弦定理与勾股定理的关系在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角1在ABC中，a3，b，c2，则B_.【解析】cos B，B60.【答案】602在ABC中，若b2c2a20，则ABC必为_三角形. 【导学号：91730008】【解析】cos A0，A(90，180)ABC必为钝角三角形【答案】钝角质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型已知两边及一角解三角形在ABC中，已知a，b，B45，解此三角形【精彩点拨】法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边【自主解答】法一：由余弦定理知b2a2c22accos B，23c22c，即c2c10，解得c或c.当c时，由余弦定理得cos A.0A180，A60，C75.当c时，由余弦定理得cos A.0Ab，AB，A60或120.当A60时，得C75.由余弦定理得c2a2b22abcos C3222，c.或用正弦定理求边c，由得c.当A120时，得C15，同理可求c，故A60，C75，c，或A120，C15，c.已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另外两角再练一题1在ABC中，若b3，c3，B30，解此三角形. 【导学号：91730009】【解】法一由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120；当a6时，由正弦定理得sin A1，A90，C60.法二由bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin C，C60或120.当C60时，A90，由勾股定理a6；当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.综上所述，当a3时，A30，C120；当a6时，A90，C60.已知三边或三边关系解三角形已知ABC中，abc2(1)，求三角形的各角大小【精彩点拨】设a2k，bk，c(1)k，代入cos A，cos B，cos C求解【自主解答】设a2k，bk，c(1)k(k0)，由余弦定理得cos A，A45.同理可得cos B，B60.C180AB75.1已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解2若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形再练一题2已知ABC的三边长为a3，b4，c，求ABC的最大内角【解】ca，cb，角C最大由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即3791624cos C，cos C.0C180，C120.ABC的最大内角为120.探究共研型用余弦定理判定三角形的形状探究1若ABC是锐角三角形，则其边长a，b，c满足什么条件？【提示】若ABC是锐角三角形，则即探究2若a2b2c2，则ABC是什么三角形反之呢？【提示】若a2b2c2，则ABC是钝角三角形，反之不成立若钝角ABC的三边长分别为a，a1，a2，求实数a的取值范围【精彩点拨】首先a，a1，a2需满足构成三角形的条件，其次要满足a2对应的角为钝角【自主解答】由题意知，a2是三角形的最大边，故即解得1a3.用余弦定理判断三角形的形状1在ABC中，若a2b2c2，则0A90；反之，若0A90，则a2b2c2，则90A180；反之，若90Ab2c2.提醒：判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解再练一题3若2,3，x是锐角三角形的三边，求实数x的取值范围【解】由题意可知即x.构建体系1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC_.【解析】由余弦定理得cos BAC.0BAC，BAC.【答案】2在ABC中，已知a1，b2，C60，则c_.【解析】c214212cos 601423，c.【答案】3若ABC的三边长为2,3,4，则该三角形是_三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)【解析】22324249160，该三角形是钝角三角形【答案】钝角4在ABC中，若b1，c，C，则a_. 【导学号：91730010】【答案】15设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2c2a2bc，求：(1)A的大小；(2)2sin Bcos Csin(BC)的值【解】(1)由余弦定理：a2b2c22bccos A，故cos A，所以A.(2)2sin Bcos Csin(BC)2sin Bcos C(sin Bcos Ccos Bsin C)sin BcosCcos Bsin Csin(BC)sin(A)sin A.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为_【解析】cb1，舍去)sin C，SABC356 cm2.【答案】6 4如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_【解析】设顶角为C，l5c，ab2c，由余弦定理，得cos C.【答案】5边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是_【解析】由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为，则cos ，60，最大角最小角120.【答案】1206在ABC中，若a2，bc7，cos B，则b_.【解析】由余弦定理知b2a2c22accos B，b222c22ac，b24(7b)2(7b)，b4.【答案】47在ABC中，a1，b2，cos C，则c_，sin A_.【解析】在ABC中，由余弦定理得cos C，把a1，b2，cos C代入可得c2.因为cos C，所以sin C.再由正弦定理得，解得sin A.【答案】28(2016南京高二检测)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_. 【导学号：91730011】【解析】3sin A5sin B，3a5b，又bc2a，3c7b，abc537.设a5x，b3x，c7x，则cos C.又C(0，)，C.【答案】二、解答题9在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的大小；(2)求AB的长【解】(1)cos Ccos(AB)cos(AB)，又C(0，)，C.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2a2b22abcos 120(ab)2ab10，AB.10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c2，acos Bbcos A.(1)求bcos A的值；(2)若a4，求ABC的面积【解】(1)acos Bbcos A，根据余弦定理得，ab，2a22b27c，又c2，a2b27，bcos A.(2)由acos Bbcos A及bcos A，得acos B.又a4，cos B，sin B，SABCacsin B.能力提升1(2016无锡高二检测)在ABC中，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_【解析】由(a2c2b2)tan Bac得，即cos B，sin B，又B为ABC的内角，B为或.【答案】或2在ABC中，AB，BC1，cos C，则_.【解析】在 ABC中，由余弦定理得|A|2|2|22|cos C，即2|212|，|2|10，|2，|cos(180C)|cos C12.【答案】3若ABC是钝角三角形，a3，b4，cx，则x的取值范围是_【解析】ba，A不可能为钝角当B为钝角时，即解得1x；当C为钝角时，即解得5x7.综上，x的取值范围是(1，)(5,7)【答案】(1，)(5,7)4已知四边形ABCD中，AB2，BCCD4，AD6，且D60，试求四边形ABCD的面积【解】连结AC，在ACD中，由AD6，CD4，D60，可得AC2AD2CD22A