高考数学大一轮复习第十二章推理与证明算法复数12_2直接证明与间接证明课件文新人教版

12.2 直接证明与间接证明 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.直接证明 知识梳理 (1)综合法 定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证 明方法叫做综合法 框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明 的结论) 思维过程：由因导果 推理论证 (2)分析法 定义：一般地，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法 (其中Q表示要证明的结论) 思维过程：执果索因 要证明的结论 充分条件 2.间接证明 反证法：一般地，假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 的证明方法. 不成立 矛盾 原命题成立 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 2.用反证法证明命题：“a，bN，若ab不能被5整除，则a与b都不能 被5整除”时，假设的内容应为 答案解析 A.a，b都能被5整除 B.a，b不都能被5整除 C.a，b至少有一个能被5整除 D.a，b至多有一个能被5整除 “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至 少有一个能被5整除”. 3.要证a2b21a2b20，只要证明 a2b21a2b20(a21)(b21)0. 答案解析 a0，b0且ab 答案解析 答案解析 f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，). 题型分类 深度剖析 题型一 综合法的应用 例1 数列an满足an1 ，a11. 证明 解答 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题 设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断 (命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. 思维升华 跟踪训练1 若a，b，c是不全相等的正数，求证： 证明 a，b，c(0，)， 由于a，b，c是不全相等的正数， 上述三个不等式中等号不能同时成立， 例2 题型二 分析法的应用 证明 所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0， 故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2， 即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2， 即证cos(x1x2)0, 0， (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论 成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出 某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间 结论，从而使原命题得证. 思维升华 跟踪训练2 (2017重庆月考)设a0，b0,2cab，求证： (1)c2ab； 证明 证明 (ac)2c2aba(ab2c)0)的图象与x轴有两个不 同的交点，若f(c)0，且00. 证明 f(x)的图象与x轴有两个不同的交点， f(x)0有两个不等实根x1，x2， f(c)0，x1c是f(x)0的根， 证明 典例 (12分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A、C两点 ，O是坐标原点. (1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形. 反证法在证明题中的应用 思想与方法系列23 思想方法指导 规范解答 在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明 ，应用反证法需注意： (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础 ，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的. (2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类 较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法. (3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去. 返回 (1)解 因为四边形OABC为菱形， 则AC与OB相互垂直平分. 由于O(0,0)，B(0,1)， (2)证明 假设四边形OABC为菱形， 因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 因为M为AC和OB的交点，且m0，k0， 所以OABC不是菱形，与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形. 12分 返回 课时作业 1.(2017泰安质检)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2ax b0至少有一个实根”时，要做的假设是 A.方程x2axb0没有实根 B.方程x2axb0至多有一个实根 C.方程x2axb0至多有两个实根 D.方程x2axb0恰好有两个实根 答案解析 因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0 有一个实根或两个实根”， 所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”.故选A. 1234578910 11 12 136 1234578910 11 12 13 答案 解析 A.(3,0) B.3,0C.3,0) D.(3,0 解得32， 故中的假设错误； 对于，其假设正确，故选D. 6 1234578910 11 12 13 答案 解析 A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 所以三者不能都大于2. 6 6.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理数 根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确 的是_. 1234578910 11 12 13 假设a，b，c都是偶数； 假设a，b，c都不是偶数； 假设a，b，c至多有一个偶数； 假设a，b，c至多有两个偶数. 答案解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故正确. 6 7.(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三 人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的 数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不 是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数 字是_. 答案解析 1和3 1234578910 11 12 136 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知， 丙为“1和2”或“1和3”， 又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”， 所以乙只可能为“2和3”， 又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”， 所以甲只能为“1和3”. 1234578910 11 12 136 若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立， 8.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存 在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_. 答案 解析 1234578910 11 12 136 1234578910 11 12 13 证明 因为m0，所以1m0. 所以要证原不等式成立， 只需证(amb)2(1m)(a2mb2)， 即证m(a22abb2)0， 即证(ab)20，而(ab)20显然成立， 故原不等式得证. 6 10.设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称 ，求证：f(x )为偶函数. 证明 由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x). 1234578910 11 12 136 (1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数； 证明 1234578910 11 12 136 任取x1，x2(1，)， 又x110，x210， 不妨设x10. 1234578910 11 12 13 6 故函数f(x)在(1，)上为增函数. 1234578910 11 12 136 (2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根. 证明 假设存在x01，0 1， 故方程f(x)0没有负数根. 1234578910 11 12 136 1234578910 11 12 13 (1)f(x)1xx2； 所以f(x)1xx2. 证明 6 1234578910 11 12 13 证明 6 1234578910 11 12 136 *13.(2015课标全国)设a，b，c，d均为正数，且a