高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 第14讲 高考中的立体几何教师用书 理

第第 1414 讲讲 高考中的立体几何高考中的立体几何 题型一| 空间位置关系的证明 (2016江苏高考)如图 141，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为 AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1. 图 141 求证：(1)直线DE平面A1C1F； (2)平面B1DE平面A1C1F. 解题指导 (1)DE是ABC的中位线DEACDEA1C1 中位线的 性质 平行的 传递性 DE平面A1C1F 线面平行 的判定 (2)A1C1A1B1A1C1平面ABB1A1A1C1B1D 直棱柱的性质 B1DA1F B1D平面A1C1F平面B1DE平面A1C1F 证明 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC. 在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DEAC，于是DEA1C1. 2 分 又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， 所以直线DE平面A1C1F. 4 分 (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1. 6 分 又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1 平面ABB1A1. 8 分 因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D. 10 分 又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面 A1C1F. 12 分 因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F. 14 分 【名师点评】 1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行 判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线 的平行与垂直 2证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要 多画出一些图形辅助使用 1(2016苏锡常镇调研一)如图 142，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四 边形，PA平面ABCD，M是棱AD的中点，N是棱PC的中点 图 142 (1)求证：MN平面PAB； (2)若平面PMC平面PAD，求证：CMAD. 证明 (1)取PB中点E，连结EA，EN，NM，在PBC中，ENBC且ENBC，又 1 2 AMAD，ADBC，ADBC， 1 2 得ENAM，ENAM，四边形ENMA是平行四边形， 4 分 得MNAE，MN平面PAB，AE平面PAB， MN平面PAB. 6 分 (2)过点A作PM的垂线，垂足为H. 平面PMC平面PAD，平面PMC平面PADPM，AHPM， AH平面PAD， AH平面PMC，CM平面PMC，AHCM. 12 分 PA平面ABCD，CM平面ABCD，PACM. PAAHA，PA，AH平面PAD，CM平面PAD. AD平面PAD，CMAD. 14 分 2如图 143，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA平面PDC，点E为 棱PD的中点求证： 图 143 (1)PB平面EAC； (2)平面PAD平面ABCD. 证明 (1)连结BD与AC相交于点O，连结OE. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点.3 分 因为E为棱PD中点，所以PBOE. 因为PB平面EAC，OE平面EAC， 所以直线PB平面EAC. 6 分 (2)因为PA平面PDC，CD平面PDC，所以PACD. 因为四边形ABCD为矩形，所以ADCD. 10 分 因为PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD. 因为CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD. 14 分 3如图 144，正三棱柱ABCA1B1C1，点D，E分别是A1C，AB的中点 图 144 (1)求证：DE平面BB1C1C； (2)若ABBB1，求证：A1B平面B1CE. 2 证明 (1)连结AC1，BC1， 因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点， 所以D是AC1的中点.3 分 在ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点， 所以DEBC1. 因为DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C， 所以DE平面BB1C1C. 6 分 (2)因为ABC是正三角形，E是AB的中点 所以CEAB. 又因为在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC平面ABB1A1，交线为AB， 所以CE平面ABB1A1， 从而CEA1B. 在矩形ABB1A1中， 因为， A1B1 B1B2 B1B BE 所以 RtA1B1BRtB1BE， 12 分 从而B1A1BBB1E， 因此B1A1BA1B1EBB1EA1B1E90， 所以A1BB1E. 又因为CE，B1E平面B1CE，CEB1EE， 所以A1B平面B1CE. 14 分 题型二| 空间几何体的体积计算 如图 145，ABC和BCD所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点 图 145 (1)求证：EF平面BCG； (2)求三棱锥DBCG的体积 附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高 1 3 【导学号：19592044】 解 (1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC. 2 分 又G为AD的中点，所以CGAD. 3 分 同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC. 5 分 又EFAD，所以EF平面BCG. 7 分 (2)在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O. 由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC. 9 分 又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 11 分 在AOB中，AOABsin 60， 3 所以VDBCGVGBCDSDBCh 1 3 BDBCsin 120 . 14 分 1 3 1 2 3 2 1 2 【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求， 底面放在已知几何体的某一面上 2求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何 体以易于求解 3在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关系，例如本 例中点A、点G到平面BCD的距离的关系 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上 (1)求证：平面A1BC平面ABB1A1； (2)若AD，ABBC2，P为AC中点，求三棱锥PA1BC的体积 3 图 146 解 (1)证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC， AA1BC. AD平面A1BC， ADBC.3 分 AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线， BC平面ABB1A1. 又BC平面A1BC， 平面A1BC平面ABB1A1. 6 分 (2)法一：由等积变换得VPA1BCVA1PBC， 在 RtA1AB中，由射影定理知AA12. 3 AA1平面PBC， 三棱锥的高为AA12. 12 分 3 又底面积SPBC1， VPA1BCVA1PBCSPBCAA1. 14 分 1 3 2 3 3 法二：连结CD，取CD中点Q，连结PQ.P为AC的中点，PQAD，PQAD. 1 2 AD，PQ， 12 分 3 3 2 由(1)知AD平面A1BC，PQ平面A1BC， PQ为三棱锥PA1BC的高， 又由(1)知BC平面ABB1A1， BCBA1，SA1BC4. VPA1BC. 14 分 2 3 3 题型三| 空间角的计算 (2013江苏高考)如图 147，在直三棱柱A1B1C1ABC中， ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点 图 147 (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值 解 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)， B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)， A1B (1，1，4). 3 分 C1D 因为 cos， A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 18 20 18 3 10 10 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 6 分 3 10 10 (2)设平面ADC1的法向量为n n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以 AD AC1 n n10，n n10，即xy0 且y2z0，取z1，得x2，y2，所以 AD AC1 n n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量. 12 分 取平面ABA1的一个法向量为n n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小 为. 由|cos | ，得 sin . | n n1n n2 |n n1|n n2| 2 9 1 2 3 5 3 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为. 14 分 5 3 【名师点评】 三种空间角的向量求法 1异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量夹角求得，即 cos |cos |； 2直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求 得，即 sin |cos |； 3二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或 其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角 (2016苏州期中)如图 148，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB，AF1，M是线段EF的中点 2 图 148 (1)求二面角ADFB的大小； (2)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是 60. 解 (1)以， ，为正交基底，建立空间直角坐标系， CD CB CE 则E(0,0,1)，D(，0,0)，F(， ，1)，B(0， ，0)，A(， ，0)，(， 222222 BD 2 ，0)，(，0,1)平面ADF的法向量t t(1,0,0)， 2 BF 2 设平面DFB法向量n n(a，b，c)，则n n0，n n0， 3 分 BD BF 所以Error!令a1，得