高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4_5 三角恒等变形 第2课时 简单的三角恒等变形试题 理 北师大版

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺第2课时简单的三角恒等变形题型一三角函数式的化简例1(1)化简：_.(2)已知cos，则sin _.答案(1)cos 2x(2)解析(1)原式cos 2x.(2)由题意可得，cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos0，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式可得cos 2，由两角差的正弦公式可得sinsin 2cos cos 2sin .思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点(1)已知cos(x)，则cos xcos(x)_.(2)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. BC. D答案(1)1(2)D解析(1)cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin xcos(x)()1.(2)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，cos，sin 2cos2cos21.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)(2016合肥联考)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos _.答案解析为锐角，sin .，(0，)，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)(2015广东)已知tan 2.求tan()的值；求的值解tan()3.1.命题点2给值求角问题例3(1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A. B.C. D.或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_答案(1)C(2)解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，(，2)，.(2)tan tan()0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin ，cos ，则_.答案解析，为锐角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .又00，所以2，所以cos 2且，又因为sin()0，所以，所以cos()，因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2()()，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2()()，又，2，所以，故选A.题型三三角恒等变形的应用例4(2016天津)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为x|xk，kZf(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，Bx|kxk，kZ，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的思维升华三角恒等变形的应用策略(1)进行三角恒等变形要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性(1)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为_(2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)，1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.9化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例(12分)(2015重庆)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性思想方法指导(1)讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数(2)研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图像解决规范解答解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，4分因此f(x)的最小正周期为，最大值为.6分(2)当x时，02x，7分从而当02x，即x时，f(x)是增加的，9分当2x，即x时，f(x)是减少的11分综上可知，f(x)在上是增加的；在上是减少的12分1(2016青岛模拟)设tan()，则tan()等于()A2 B2 C4 D4答案C解析因为tan()，所以tan ，故tan()4，故选C.2(2016全国甲卷)若cos，则sin 2等于()A. B. C D答案D解析因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 221，故选D.3(2016福州模拟)已知tan 3，则的值等于()A2 B3C4 D6答案D解析2tan 236.4已知tan()，且0，则等于()A BC D.答案A解析由tan()，得tan .又0的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性解f(x)4cos xcos(x)4cos x(cos xsin x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x12cos(2x)(1)因为函数f(x)4cos xcos(x)(0)的最小正周期为，故，所以1.(2)由(1)知f(x)12cos(2x)，x0，故2x2，当2x时，即0x时，f(x)12cos(2x)为减函数；当2x2，即x时，f(x)12cos(2x)为增函数，所以f(x)12cos(2x)的减区间为0，增区间为(， 13.已知函数f(x)2cos2x12cos xsin x(01)，直线x是f(x)图像的一条对称轴(1)求的值；(2)已知函数yg(x)的图像是由yf(x)图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值解(1)f(x)2cos2x12cos xsin xcos 2xsin 2x2sin.由于直线x是函数f(x)2sin图像的一条对称轴，sin1.k(kZ)，k(kZ)又01，k.又kZ