高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_2 函数的单调性与最值教师用书 理 苏教版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书 理 苏教版1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为A，如果存在x0A，使得条件对于任意的xA，都有f(x)f(x0)对于任意的xA，都有f(x)f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，.(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.()1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是_.(填序号)y；y2x1；y1x；y(2x1)2.答案解析y在(0，2)上为减函数；y2x1在(0，2)上为增函数；y1x在(0，2)上为减函数；y(2x1)2在(，)上为减函数，在(，)上为增函数.2.(教材改编)函数y的单调增区间为_；单调减区间为_.答案0，)(，0)解析当x0时，yx为增函数；当x0)的单调增区间为_.答案(0，)解析函数的对称轴为x1，又x0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，).5.(教材改编)已知函数f(x)，x2，6，则f(x)的最大值为_，最小值为_.答案2解析可判断函数f(x)在2，6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1(1)(2016连云港模拟)函数f(x)(x24)的单调递增区间是_.(2)yx22|x|3的单调增区间为_.答案(1)(，2)(2)(，1，0，1解析(1)因为yt，t0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).(2)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0)，用定义法判断函数f(x)在(1，1)上的单调性.解设1x1x21，则f(x1)f(x2)1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1，1)上为减函数.引申探究如何用导数法求解例2?解f(x)，a0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增.当m0，所以f(x)在(0， )上单调递增；当x( ，)时，f(x)0，所以f(x)在( ，)上单调递减.题型二函数的最值例3(1)函数f(x)的最大值为_.答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0恒成立，试求实数a的取值范围.解当a时，f(x)x2，又x1，)，所以f(x)10，即f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)minf(1)12.f(x)x2，x1，).()当a0时，f(x)在1，)内为增函数.最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，所以3a0.()当00，a3，所以01)的最小值为_.答案(1)1(2)8解析(1)易知函数yx在1，)上为增函数，x1时，ymin1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一(基本不等式法)f(x)(x1)22 28，当且仅当x1，即x4时，f(x)min8.方法二(导数法)f(x)，令f(x)0，得x4或x2(舍去).当1x4时，f(x)4时，f(x)0，f(x)在(4，)上是递增的，所以f(x)在x4处取到极小值也是最小值，即f(x)minf(4)8.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例4已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为af()f()，且2ac.命题点2解函数不等式例5(2017苏州月考)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f()0，则满足0的x的集合为_.答案x|0x或10，得，或0，解得0x或1x0成立，那么a的取值范围是_.答案(1)，0(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综上所述，得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，所以解得a2，所以a的取值范围是，2).思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)(2016徐州模拟)已知函数f(x)x(ex)，若f(x1)x2; x1x20；x1x2; x0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，xx.(2)由于ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故函数ylog3(x2)在(3，)上是增函数.又函数y2，因其在(3，)上是增函数，故4k0，得k0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2R且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.3分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，5分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数.7分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，9分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，11分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3，2).14分解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.1.(2016南京模拟)下列函数中，在区间(1，)上是增函数的是_.yx1; y；y(x1)2; y31x.答案解析中，函数在(1，)上为减函数，中，函数在(1，)上为减函数，中，函数在(1，)上为减函数.2.函数f(x)|x2|x的单调减区间是_.答案1，2解析f(x)当x2时，f(x)为增函数，当x2时，(，1是函数f(x)的增区间；1，2是函数f(x)的减区间.3.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于_.答案6解析由已知得，当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数，f(x)的最大值为f(2)2326.4.已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是_.答案4，8)解析由已知可得解得4a8.*5.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；f()f(x)；f(1x)1f(x).则f()f()_.答案解析由，令x0，可得f(1)1.由，令x1，可得f()f(1).令x，可得f()f().由结合f()，可知f()，令x，可得f()f()，因为0且a10，a1.7.函数f(x)xlog2(x2)在区间1，1上的最大值为_.答案3解析由于yx在R上递减，ylog2(x2)在1，1上递增，所以f(x)在1，1上单调递减，故f(x)在1，1上的最大值为f(1)3.8.(2017江苏天一中学月考)对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_.答案解析方法一f(x)f(x)在(，)和，)上分别为减函数和增函数，f(x)minf().方法二作函数f(x)的图象如图所示，由图知当x时，f(x)minf().9.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案6解析f(x)|2xa|函数的单调递增区间为，)，3，a6.*10.已知f(x)不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_.答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2不符，而t1时满足题意.13.函数f(x)4x24axa22a2在区间0，2上有最小值3，求a的值.解f(x)4(x)22a2，当0，即a0时，函数f(x)在0，2上是增函数.f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0a4时，f(x)minf()2a2.由2a23，得a(0，4)，舍去.当2，即a4时，函数f(x)在0，2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5.a4，a5.综上所述，a1或a5.14.(2016江苏南通中学质检)已知函数f(x)(x1)22|x1|3.(1)试求函数f(x)的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f(2a2a1)f(3a22a