高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用章末综合测评 新人教b版选修

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求章末综合测评(二)柯西不等式与排序不等式及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设xy0，则的最小值为()A.9B.9C.10D.0【解析】xy29.【答案】B2.设x，y，m，n均为正数，且1，则xy的最小值是()A.mnB.4mnC.()2D.【解析】xy(xy)()2，当且仅当nx2my2，1时，等号成立，故xy的最小值为()2.【答案】C3.已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为()A. B.C.D.【解析】4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0.故0e.【答案】C4.学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花钱数为()A.300元B.360元C.320元D.340元【解析】由排序原理，反序和最小.最小值为502403205320(元). 【答案】C5.已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)的最小值为()A.7B.9C.12D.18【解析】由(a2b2c2)abc29，所以所求最小值为9.【答案】B6.设a，b，c均小于0，且a2b2c23，则abbcca的最大值为()A.0B.1C.3D.【解析】由排序不等式a2b2c2abbcca，所以abbcca3.【答案】C7.若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是()A.21 B.C.16D.【解析】1x2y4z，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.【答案】B8.函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是() 【导学号：38000052】A. B.C.1D.2【解析】f(x)cos x.又(cos x)2(21)(sin2xcos 2x)3，f(x)的最大值为.【答案】A9.已知半圆的直径AB2R，P是弧AB上一点，则2|PA|3|PB|的最大值是()A.R B.RC.2RD.4R【解析】由2|PA|3|PB|2R.【答案】C10.已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1，y2，则y1y2与x1x2的大小关系是()A.y1y2x1x2D.不确定【解析】要比较y1y2与x1x2的大小，就是要比较(ax1bx2)(ax2bx1)与(ab)2x1x2的大小，而(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2(ab)2x1x2(ab)2.而a，b，x1，x2互不相等，所以等号不成立.【答案】C11.已知abc1，且a，b为正数，则的最小值为()A.1B.3C.6D.9【解析】abc1，2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)29，当且仅当abc时等号成立.【答案】D12.已知a，b，c为正数，P，Qabc，则P，Q的大小关系是()A.PQB.PQC.PQD.PQ【解析】不妨设abc0，则0，0bccaab，由排序原理：顺序和乱序和，得，即abc，即abc，所以PQ.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.设ab0，则a3b3与a2bab2的大小关系是_.【解析】ab0，a2b20，因此a3b3a2bab2(排序不等式).【答案】a3b3a2bab214.已知a，b，x，y均为正数，且ab4，xy1，则(axby)(bxay)的最小值为_.【解析】(axby)(bxay)()22(xy)24.【答案】415.如图1所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和. 【导学号：38000053】图1【解析】由题图可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1，根据顺序和反序和可知答案为.【答案】16.已知x，y，zR，有下列不等式：(1)x2y2z232(xyz)；(2)；(3)|xy|x2|y2|；(4)x2y2z2xyyzzx.其中一定成立的不等式的序号是_.【解析】x2y2z23(x21)(y21)(z21)2x2y2z，故(1)正确；成立的前提是x0，y0，故(2)不正确；|xy|(x2)(y2)|x2|y2|，故(3)正确；由排序不等式知x2y2z2xyyzzx，故(4)正确.【答案】(1)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在ABC中，试证：.【证明】不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得，又由0bca,0abc,0abc，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC).得.由得原不等式成立.18.(本小题满分12分)已知a，b，c均大于0，且2，求a2b3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值.【解】法一(使用基本不等式)：a2b3c(a2b3c)(144612)18，当且仅当abc3时等号成立.所以当abc3时，a2b3c取得最小值18.法二(使用柯西不等式)：(a2b3c)()2()2()236，当且仅当abc时等号成立.又2，则a2b3c18，所以abc3时，a2b3c取得最小值18.19.(本小题满分12分)若a，b，c为正数，且满足abc2.(1)求abc的最大值；(2)证明：.【解】(1)因为a，b，c为正数，所以2abc3，故abc.当且仅当abc时等号成立，所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c为正数，且abc2，所以根据柯西不等式，可得(abc)()2()2()2.所以.20.(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足5x4y3z10.(1)求证：5；(2)求9x29y2z2的最小值.【解】(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3z)(3z5x)(5x4y)(5x4y3z)2，因为5x4y3z10，所以5.(2)根据平均值不等式，得9x29y2z2223x2y2z2，当且仅当x2y2z2时，等号成立.根据柯西不等式，得(x2y2z2)(524232)(5x4y3z)2100，即(x2y2z2)2，当且仅当时，等号成立.综上所述，9x29y2z223218.当且仅当x1，y，z时，等号成立，所以9x29y2z2的最小值为18.21.(本小题满分12分)(1)已知a，b为正数，ab4，证明：1；(2)已知a，b，c为正数，abc9，证明：1，并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明).【证明】(1)根据柯西不等式：(ab)4.ab4，1.(2)根据柯西不等式：(abc)9.abc9，1.可以推广：若a1a2ann2，则1.22.(本小题满分12分)设a1，a2，an为1,2，n的一个排列，证明：.【证明】设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1.c1，c2，cn1为a1，a2，an1的一个排列，