数学281《数学应用的一般思路》课件（北京课改版九年

28.128.1数学应用的一般思路数学应用的一般思路 生活离不开数学，数学也不能脱离生活。近几年 来，在教育改革的推动下，各地的中考数学试卷出现 了大量背景新颖、贴近生活、符合实际的应用问题。 应用问题已经成为考查数学知识、方法和思维能力， 培养数学应用意识的重要材料。 数学应用问题是有实际意义或实用背景的数学问 题。 数学应用问题不拘泥于数学学科知识的束缚，更 多着眼于数学学科的一般的思想方法，着眼于应用所 学的数学知识解决生活、生产中的实际问题。 数学应用问题来源于现实生活，涉及的知识面较 广，解决方法隐含在问题之中，会让人有一种无序、 无规律可循的感觉，但需要指出：平时给出的应用问 题，是作了适合初中生认知水平调整的问题，是可以 应用所学的数学知识、方法，通过思维活动来解决的 问题。因此，求解数学应用问题，是有一定规律可循 的。 解数学应用题的一般思路与方法 解决数学应用问题的一般思路： 实际问题 数学问题 数学模型 数学结果 实践检验 实际结果 抽象化 数学化 求解 回归实际 重构模型 问题解决的基本步骤 理解问题：弄清问题的意思,以及问题中涉及的术语、 词汇的含义；分清问题中条件和要求的结论。 制订计划：在理解问题的基础上，运用有关的数学知 识和方法拟订出解决问题的思路和方案。 执行计划：把已制订的计划具体地进行实施。 回顾：对整个解题过程进行必要检查和反思，也包括检 验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进 行或尝试用不同的方法，进行举一反三等。 生活实际中的许多应用问题在数学问题中就是列 方程解应用题,而列方程解应用题最关键是如何寻找量 与量的相等关系.接下来，我们来一起探讨如何寻找量 与量相等关系的方法。 1、利用基本公式 利用基本公式寻找量与量之间的相等关系，是解 决这类问题的一种基本方法。因为公式本身就是一 个等量关系，在遇到诸如行程问题、工程问题、增 长率问题、商品销售问题、存款问题等时，应首先 考虑利用基本公式解决问题的可能性。 分析:题中的数量有本金、利息、年利率、利息税税率和 实得本利和，它们之间有如下的相等关系： 本金利率=利息 利息税率=利息税 本金+利息-利息税=实得本利和 如果设本金为x元，那么根据上述前两个数量关系，能 用x的代数式分别表示利息和利息税，然后利用第三个等 量关系列出方程。 例题分析： 小明把压岁钱按定期一年存入银行，当时一年期定期 存款的年利率为1.98%,利息税的税率为20%,到期支取时, 扣除利息税后小明实得本利和为507.92元,问小明存入银行 的压岁钱为多少元? 2、理解关键词 数学应用问题中有许多量并不是直接以数据的形式给 出，而是隐含在题目的语言内，这些能帮助确定各对象 所涉及的量相互关系的词，就是所说的关键词，这些词 都有一个共同的特点，就是 全用来表示各量之间的差别 的，常用的如：多、少、和、差、倍、分、增、减、早 、迟等等，通过对关键词的正确理解，就能找出量之间 的相互关系，并最终找出其中的相等关系。 例题分析： 在环保知识竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其 中女生的平均分比男生高10%，而男生的人数比女生多 10%，问男女生的平均分各是多少? 3、运用列表法 表格是处理数据的重要工具，运用表格可 以直观、简明地梳理复杂的数量关系，寻找隐 藏的规律。题目中的各个量在表格中罗列出来 ，就可以从表格中的行或列中找出同一研究对 象所涉及的各个量之间的相等关系，来构造方 程或方程组，使问题得以解决。 学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙 处植树的有17人,现调20人去支援,使在甲处植树的人数是 乙处植树人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人? 甲处乙处 原有人数 增加人数 增加后的人数 设应调往甲处x人，题目中所涉及的有关数量及 其关系可用下表表示： 23 17 x 20 - x 23 + x17 + 20 - x 例 题 分 析 4、运用图示法 图形直观、形象，一目了然，运用各种图形如线 段图、行程图、面积图、比例图等来表示应用题中的 数量关系，有利于从整体上把握题意，从而寻找各个 量之间的相等关系。 例题分析 某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋 人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人数都是5人 ，求只会下围棋的人数. 例2：甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车 ，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经 3时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相 遇后再经1时乙到达A地，问甲、乙行驶的速度分别是多 少？ 1、以图示意： 相遇时甲的路程 相遇时乙的路程 相遇后乙的路程 经过1小时 AB 经过3小时经过3小时 2、相遇时甲行驶的路程+90=相遇时乙行驶的路程 相遇后乙行驶的路程=相遇时甲行驶的路程 例题分析 5. 根据不变量构造相等关系 许多数学应用问题常涉及到一些 量的变化,但也有些量是不变的,在分析 各个量时,应分清哪些是变化着的量,哪 些是不变的量,这样,解题的关键就是抓 住其中的不变量,根据不变量来构造相 等关系。 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 33x 分析：用x表示中间空白正方形 的边长， 本题的等量关系是 阴影部分的面积 =192块边长为 0.75米的正方形花岗石的面积 例 题 分 析 方案设计类应用题有这么几种类型：符合要求的方案创 意、符合要求的最佳方案设计、选择最优方案设计等，不管 是哪种类型的方案设计题，一般都具有应用性（有真实的背 景）、创造性和开放性等特点。因此，这类题综合性强，在 考查内容上代数、几何知识兼备；解答方法上计算、作图并 举。要较好地解决此类问题，不仅要求学生掌握扎实的数学 基础知识和创新实践能力，而且要掌握应用问题的解答策略 ；学会把实际问题等价转化为数学问题，建立合适的数学基 本模型来巧妙地解答。 数学应用问题的分类探求 （1）方案设计类。此类应用题与现实生活联系紧密，具有强烈 的时代气息、生活气息。这类题目主要考查学生运用数学知识 来分析、解决实际问题的实践、探索能力，体现学生的主体性 ，有利于培养学生的创新精神及“用数学”的意识。 例题分析 今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路， 让道路将这块土地分成形状相同而且面积相等的4部分。若道 路的宽度可忽略不计，请设计3种不同的修筑方案。 例2：在菱形ABCD中， ，请设计三种不同的分法 ，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每一个三角形都是 等腰三角形，（画图工具不限，要求画出分割线段，标出 能够说明分法所得三角形的度数）。 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 720 720 720 720 360 360 360 360 360 360 360 360 360360 360 360 720720 720 720 720 720 360 360 360 360 360360360 360360 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 360 360 360 360 360 720 720 720 540 540 360 360 180 180 此类应用题是近年来中考应用题的新题型，常见的 有经济核算问题和“最”字问题。解此类问题常用的方法 有数与式分析法、方程或不等式分析法，函数性质分析 法、数据分析法、图形分析法等。 例题分析：某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计 划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。生产一件A种产品 ，需要用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产 一件B种产品，需要甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润 1200元。 （1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请 设计出来。 （2）设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数 为x，试写出y与x的函数关系式，并利用函数性质说明（1）中哪 种生产方案获总利润最大，最大利润为多少？ 二、规划决策类 三、图象信息题 图象信息类应用问题一般可分为两类：一类将实际问题中已知的 、可利用的相关信息，用图象或图表的方式提供。解答这种类型 的应用题，其要领是从图象的形状特点、变化趋势、相关位置、 相关数据出发，充分挖掘图象所蕴含的信息，利用函数、方程、 不等式等知识去分析图形或图表以解决问题。另一类要求将实际 问题中的已知信息转化为图象或图表信息。解答这种类型问题的 难点是实现实际数据与图象信息的“翻译”，体现出“数”与“形”的 有机结合。 例题分析：图表示一骑自行车者与骑摩托车者在两城镇之间 旅行的函数图像，两城镇的距离为80km,根据这个函数 图像你能得到关于这两个旅行者在这一旅途中的哪些信息？ 时间（小时） 距离（km) x y 12 3 456 10 20 30 40 50 60 70 80 A B C D 0 答：至少可得到以下信息： （1）骑自行车者用了6小时，骑摩托车者用了2小时。 （2）摩托车比自行车晚出发3小时，先到1小时。 （3）自行车在整个过程中的平均速度为 。 （4）骑自行车者在第3至第4小时休息了1小时。 （5）自行车在前2小时和第4至第5小时之间速度最快， 都为20 km/h，在第2至第3小时及最后一小时速度相等， 都为10km/h。 （6）摩托车与自行车在60km处相遇，此时自行车行驶了 4.5小时（包括休息1小时），摩托车已行驶了1.5小时。 （7）两位旅行者可能相互不认识，因为在相遇时他们仍 按原速度继续行驶（当然，也可能他们认识但在相遇 时没有相互认出来）。 四、逻辑推理类。 此类应用题充分利用已知条件，去展开分析、分类讨论 ，最后归纳出结论或作出判断。根据题目的特征采用不同的 方法，常见解法有三种：1、直接推理法；2、间接推理法； 3、逻辑计算法。 例如：某市举行家庭普法学习竞赛，有5个家庭进入决赛（每家2名 成员）。决赛时，进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛。 第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴 、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是 周、吴、孙、张、王。刘某因故四项未参加。问：谁和谁是同一个 家庭？ 参赛者 项目 吴 孙 赵 李 王 郑 周 张 钱 刘 第一项 第二项 第三项 第四项 已知条件规定每比赛各家出一名成员参加。吴参加所有项目，而刘未参加 ，因而吴和刘是一家，根据题意，同家庭的成员必然分别参加不同项目，但两 人合起来共同参加四项比赛。比如，孙参加一、二、四项，而钱参加第三项， 两人合起来是四项，因此他们是一家，同理可得：赵和周是一家；李和张是一 家；王和郑是一家。 五、几何背景类。 依据应用题的条件和所求问题关系，画出反映这种关系 的几何图形，再由几何图形的性质，直观地建立已知量与未 知量间的等量关系，从而解题的目的。这种方法，就是解应 用题的几何法。 例如：在平面上有且吸有四个点， 这四个点有一个独特的性质，每两 点之间的距离有且只有两种长度， 例如：正方形ABCD（如图）有 AB=BC=CD=DAAC=BD，请画出 具有这种独特性质的另外四种不同 的图形，并标明相等的线段。 AB CD 在教育改革的推动下，数学课程标准下的新一轮教材 改革已全面展开，新课程标准对课程内容的学习有新的要求， 强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、 统计观念，以及应用意识与推理能力。 其中应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含大量的 数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问 题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法解 决问题的策略；面对新的数学知识，能主动地寻找实际背景 ，并探索其应用价值。 一、注重数学知识的来龙去脉，也就是说注重数学知识的产生 、形成和发展的过程。 数学知识的形成源于实际的需要和数学内部的需要， 在教学时，从现实背景出发引入新的知识，要让学生 经历发现问题，从数学角度分析问题并探索解决问题 途径，验证并应用所得结论的全过程。切忌由教师全 盘端出，同时还应注意引导学生结合所学知识探索更 多可以应用的实际问题和场景。 如何培养和增强学生的应用意识？ 三、搜集数学应用事例，加深对数学应用的理解与 体会。在实际教学过程中，教师可以自己搜集有关资料 并介绍给学生，也可以鼓励学生自己通过多种渠道搜集 数学知识应用的具体事例并相互讨论。 二、鼓励学生从数学的角度描述客观事物与现象，寻找 其中与数学有关的因素，是主动运用数学知识和方法解 决实际问题的重要环节。 四、为学生运用所学知识解决实际问题创造条件 和机会，培养学生应用意识最有效办法应是让学生 装有机会亲身实践。 面对现实问题，学生能够 主动从数学的角度进行分析并 探索解决方案，是数学教学中 培养学生应用意识的根本所在 。 ； vcg38wfv 问：“你刚才回家拿的东西呢？”大壮拍拍自己腰间。耿英这才发现，大壮的腰里别了一件什么东西。“啥呀？快拿给 俺看看！”大壮并不忙着拿给耿英看，而是双手叉腰站在那里问：“你看俺像不像一个武士？”耿英歪着头左看右看， 笑着说：“你别说，还真有点儿像呢！快给俺看看，你腰里别的是啥呀！”大壮这才将腰间别的东西抽出来拿给耿英看 。哇，原来是一把木制的匕首，大约有七、八寸长，像模像样的，在明亮的月光下还有点儿银光闪闪的感觉呢。仔细一 看，原来是在其“刀刃”的部分刷了银粉！大壮郑重地将这把“匕首”放在耿英手里，说：“自从听说你爹要带你外出 闯荡，俺就开始制作这把刀了。终于做好了，今儿个上午才涂的银粉。你带着它防身用哇！”耿英很感动，不好意 思地说：“你放心，有俺爹和俺哥呢！”“唉，俺要是能和你们一起走就好了，有你哥和俺两条好汉保护你们，什么拦 路强盗地痞无赖也不怕！”“俺也不是一个软弱好欺的女娃！”“可你到底是个女娃呀！”“哼，俺还想做花木兰呢！ ”“你一定要