2017年全国高考数学考前复习大串讲专题4.4高考中的圆锥曲线问题(含答案)

题型一 求圆锥曲线的标准方程 例 1 (2015天津变式 )已知双曲线 1(a 0， b 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x 2)2 3 相切，则双曲线的方程为 _. 【答案】 1 【思维升华】 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程 . 【跟踪训练 1】 (2014课标全国 )已知点 A(0， 2)，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为32 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 斜率为 2 33 ， O 为坐标原点 . (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 面积最大时，求 l 的方程 . 【解析】 (1)设 F(c,0)，由条件知， 2c 2 33 ，得 c 3. 又 32 ，所以 a 2， 1. 故 E 的方程为 1. (2)当 l x 轴时不合题意， 故设 l： y 2， P( Q( 将 y 2 代入 1 得 (1 4k2)1612 0. 当 16(43)0，即 4时， 8k 2 4341 . 从而 1| 4 1 4341 . 题型二 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)(2015湖南变式 )若双曲线 1 的一条渐近线经过点 (3， 4)，则此双曲线的离心率为 _. A. 73 2)已知双曲线 C： 1 (a0， b0)， P 为 x 轴上一动点，经过点 P 的直线 y 2x m (m 0)与双曲线 C 有且只有一个交点，则双曲线 C 的离心率为 _. 【答案】 (1)53 (2) 52 【解析】 (1)由条件知 y 点 (3， 4)， 3 4， 即 3b 4a， 916 9916 259 e 53. (2)由双曲线的方程可知：渐近线方程为 y 经过 P 的直线 y 2x m (m 0)与双曲线 C 有且只有一个交点，此直线与渐近线 y 行，2. e 1 52 . 【思维升华】 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系 助于提高运算能力 . 【跟踪训练 2】 (2014北京 )已知椭圆 C： 24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y 2 上，且 判断直线 圆 的位置关系，并证明你的结论 . 【解析】 故 d 224 4 4 81622. 此时直线 圆 2 相切 . 综上，直线 圆 2 相切 . 题型三 最值问题 例 3 设椭圆 M： 1 (ab0)的离心率为22 ，长轴长为 6 2，设过右焦点 F 倾斜角为 的直线交椭圆 M 于 A， B 两点 . (1)求椭圆 M 的方程； (2)求证： 6 21 (3)设过右焦点 F 且与直线 直的直线交椭圆 M 于 C， D，求 最小值 . (3)解 过右焦点 F 且与直线 直的直线交椭圆 M 于 C， D，同理可得 6 2 1 6 21 所以 6 21 6 21 18 22 14因为 0,1，所以当且仅当 1 时， 最小值是 8 2. 【思维升华】 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值 . 【跟踪训练 3】 (2015课标全国 )已知 F 是双曲线 C： 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，A(0， 6 6)长最小时，该三角形的面积为 _. 【答案】 12 6 【解析】 设左焦 点为 2a 2， 2 周长为 2 长最小即为 A、 P、 x 3 1.与 1 联立，解得 P 点坐标为 (2,2 6)，此时 S S S 12 6. 题型四 定值、定点问题 例 4 (2015课标全国 )已知椭圆 C： 9m2(m 0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A， B，线段 中点为 M. (1)证明：直线 斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点 m ，延长线段 C 交于点 P，四边形 否为平行四边形？若能，求此时 不能，说明理由 . 【解析】 【思维升华】 求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 . (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 . 【跟踪训练 4】 椭圆 C： 1(ab0)的离心率 e 32 ， a b 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图所示， A、 B、 D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 x 轴于点 N，直线 点 M，设 斜率为 k， 斜率为 2m k 为定值 . 【解析】 题型五 探索性问题 例 5 (2015广东 )已知过原点的动直线 l 与圆 6x 5 0 相交于不同的两点 A， B. (1)求圆 (2)求线段 中点 M 的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L： y k(x 4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 . 【解析】 (3)由题意知直线 L 表示过定点 (4,0)，斜率为 k 的直线，把直线 L 的方程代入轨迹 C 的方程 3x 0，其中 530 时， 【思维升华】 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化 点、直线、曲线或参数 )存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 (点、直线、曲线或参数 )存在；否则，元素 (点、直线、曲线或参数 )不存在 . (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 . 【跟踪训练 5】 (2014湖南 )如图， O 为坐标原点，双曲线 1(， )和椭圆 C2：1(a2)均过点 P(2 33 ， 1)，且以 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形 . (1)求 (2)是否存在直线 l，使得 l 与 ， B 两点，与 | | |？证明你的结论 . 【解 析】 (1)设 题意知， 22,22. 从而 1， 1. 因为点 P(2 33 ， 1)在双曲线 1 上， 所以 (2 33 )2 11.故 3. 由椭圆的定义知 2 2 33 2 1 1 2 2 33 2 1 1 2 2 3. 于是 3， 2. 故 1，1. 于是 km( 333 . 由 y m，1得