第1章1.2.4第二课时知能优化训练

1下列说法正确的是_(填序号)二面角是两个平面相交所组成的图形；二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角；二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱解析：二面角是指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形，其构成要素是：两个半平面和一条直线(即它的棱)，其本质是一个空间图形，所以、均错误二面角的平面角是指以二面角的棱上任意一点为端点，分别与位于两个半平面内且垂直于棱的两条射线所成的角它的两边必须满足三个条件：(a)分别在两个半平面内；(b)相交于棱上一点；(c)都和棱垂直故错误二面角的平面角的两条边都和棱垂直，所以二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱答案：2二面角的平面角所在的平面和二面角的棱的位置关系是_，和二面角的两个半平面的位置关系是_答案：垂直垂直3下列说法中正确的是_(填序号)若平面和平面分别过两条互相垂直的直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如中，可举反例如两平面相交、平行等答案：4锐二面角l，直线AB，AB与l所成的角为45，AB与平面成30角，则二面角l的大小为_解析：如图，作AOl于O，作AC于C，连结BC，OC.在RtAOB中，设AB1，则AO，在RtACB中，ABC30，ACAB，在RtACO中，sinAOC，AOC45.答案：45一、填空题1在空间中，下列结论正确的是_(填序号)平行直线的平行投影重合平行于同一直线的两个平面平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，所以不正确；平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，所以不正确；垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，所以不正确；由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以正确答案：2(2010年高考湖北卷改编)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列说法：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中正确说法的序号为_解析：由平行公理可知正确；不正确，若三条直线在同一平面内，则ac；不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知正确答案：3已知PA矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有_对解析：面PAD面ABCD，面PAB面ABCD，面PAB面PBC，面PDC面PAD，面PAD面PAB.答案：54已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_(填序号)ABmACmABAC解析：如图所示：ABlm；ACl，mlACm；ABlAB.答案：5如图所示，在边长为a的正三角形ABC中，ADBC，沿AD将ABD折起，若折起后点B，C间的距离为a，则二面角BADC的大小为_解析：因为ABC是正三角形，ADBC，所以ADBD，ADCD.所以BDC是二面角BADC的平面角在BCD中，BDCDBCa，所以BDC60，即二面角BADC的大小为60.答案：606将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角为60.其中正确结论的序号是_(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线AC、BD，交于点O，则AOBD，COBD.BD平面OAC，BDAC，OAOCOD，且两两垂直，ACCDAD，ACD是等边三角形ABO45为AB与平面BCD所成的角，取AD、AC的中点E、F，易证OEEFOFCD.OEF为等边三角形，AB与CD成60角正确答案：7把锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60的二面角则折叠后AC的长为_解析：如图，取BD中点O，连结AO，CO.AOBD，COBD，AOC即为二面角ABDC的平面角AOC60，又AOCOAC，ACACa.答案：a8等边ABC边长为1，BC边上高为AD，沿AD折成直二面角，则A到BC的距离为_解析：如图，ADBD、ADCD得BDC为直二面角BADC的平面角则BDC90，在RtBDC中，BDDC，BC.ABAC1，设E是BC的中点，则AEBC.在RtABE中，AB1，BE，AE.即A到BC的距离是.答案：9(2010年高考四川卷)如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_解析：如图，过点A作ACl，垂足为C，AD，垂足为D，连结CD、BD.由题意知ACD60，ABC30，ABD即为AB与平面所成的角设ACa，则AB2a，ADa，sinABD.答案：二、解答题10过点S引不共面的直线SA，SB，SC，如图，BSC90，ASCASB60，若截取SASBSCa.求证：平面ABC平面BSC.证明：法一：SASBSCa，ASCASB60，ASB和ASC都是等边三角形ABACa.取BC的中点为H，连结AH，SH.AHBC，SHBC.在RtBSC中，BSCSa，BCa.AH2AC2CH2a2(a)2.SH2SC2CH2a2(a)2.在SHA中，AH2，SH2，SA2a2，SA2SH2AH2.AHSH.AH平面SBC.又AH平面ABC，平面ABC平面SBC.法二：SAACAB，顶点A在平面SBC上的射影为SBC的外心又SBC为等腰直角三角形，H为BC的中点AH平面SBC.AH平面ABC，平面ABC平面SBC.11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的大小解：如图，连结AC交BD于点O，分别连结EO、A1O、A1C1、A1E.由EBED，A1BA1D知EOBD，A1OBD，故EOA1为所求二面角的平面角设正方体的棱长为a，则在RtA1AO、RtECO、RtA1C1E中分别求出A1Oa，EOa，A1Ea，因为A1O2EO2A1E2.所以EOA190.即截面A1BD和EBD所成二面角的大小为90.12如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点(1)求证：PB平面EAC；(2)若AD2AB2，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，因为O、E分别为BD、PD的中点，所以