新人教a版必修1高中数学2.1.2 指数函数及其性质的应用素材

2.1.2指数函数及其性质课外拓展复合函数的概念及其性质一、复合函数的概念函数y=f（u)的定义域为集合B，函数u=g（x)的定义域为集合A，值域为集合D.如果DB，那么对于A中每个x值，通过中间变量u，y都有唯一的值与之对应.这样，y是x的函数，记作y=f（g（x).这个函数是由y=f（u)，u=g（x)复合而成的函数，我们把它叫做复合函数，其中y=f（u)叫做外层函数，u=g（x)叫做内层函数.例如，函数fx=3x2+2x+1是由函数fu=3u，ux=x2+2x+1复合而成的.其中，fu=3u是外层函数，ux=x2+2x+1是内层函数.注意：1.复合函数y=f（g（x)的第二种表示法是y=f（u)，u=g（x)；2.复合函数y=f（g（x)的定义域是使y=f（u)和u=g（x)同时都有意义的x值组成的集合；3.在复合函数y=f（g（x)中，外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数y=f（u)中u的取值不仅要使y=f（u)有意义，而且必须是内层函数u=g（x)的函数值.二、复合函数的定义域例1已知函数f（x)的定义域为（1，2，求函数y=f（x+1)的定义域.分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只需将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求其定义域.解：由1x+12，得0x1.所以函数y=f（x+1)的定义域是x|0x1.例2已知函数y=f（1-x)的定义域为（1，2，求函数f（x)的定义域.分析：由复合函数的定义域求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可.解：设u=1-x，则由1x2，得-2-x-1，-11-x0，即-1u0，所以函数f（x)的定义域是-1，0).三、确定复合函数的值域求解复合函数y=f（g（x)的值域，首先要在函数的定义域上求出函数u=g（x)的值域，以确定函数y=f（x)的定义域，再求出函数y=f（x)的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行).例3求函数y=3x2-2x的值域.解：设u=x2-2x，则y=3u，u=x2-2x=x-12-1-1，所以y=3u3-1=13，所以函数y=3x2-2x的值域是 &13，+ .四、复合函数的单调性设函数u=g（x)在区间M上有定义，又函数y=f（u)在区间N上有定义，且xM，g（x)N.1.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x)在区间M上是增函数；2.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x)在区间M上是减函数；3.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x)在区间M上是减函数；4.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x)在区间M上是增函数.规律：复合函数单调性依y=f（u)，u=g（x)的单调性决定.即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”.判断复合函数的单调性的步骤如下：（1)求复合函数的定义域；（2)将复合函数分解为若干个常用函数（一次函数、二次函数、指数函数等)；（3)判断每个常用函数的单调性；（4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；（5)求出复合函数的单调性.例4求函数y=0.21-x2的单调区间.解：设u=1-x2，则y=0.2u，函数u=1-x2在区间（-，0上为增函数，在0，+)上为减函数，而函数y=0.2u在（-，+)上为减函数，根据复合函数单调性的判断规律：同增异减，可知，函数y=0.21-x2在区间（-，0上为减函数，在0，+)上为增函数.指数式大小比较四法一、单调性法例1比较90.2与 &13-1.1的大小.解： 90.2=30.4， &13-1.1=31.1，又0.41.1，且函数y=3x在（-，+)上是增函数， 30.431.1，即90.21.80=1，0.83.20.83.2.点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用0，1等中间量进行比较，从而使问题获解.三、分类讨论法例3比较a2x2+1与ax2+2（a0，且a1)的大小.分析：解答此题既要讨论幂指数2x2+1与x2+2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系.解：（1)令2x2+1x2+2，得x1或x1时，若2x2+1x2+2，从而有a2x2+1ax2+2；当0a1时，则有a2x2+1ax2+2.（2)令2x2+1=x2+2，得x=1，则有a2x2+1=ax2+2.（3)令2x2+1x2+2，得-1x1时，若2x2+1x2+2，从而有a2x2+1ax2+2；当0aax2+2.点评：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准.四、比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若A-B0AB,A-B0A