离散时间信号的傅里叶变换教学教案讲义.docx

第三章 离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目 录第三章 离散时间信号的傅里叶变换2教学目标23.1引言23.2傅里叶级数cfs33.2.1傅里叶级数cfs定义33.2.2傅里叶级数cfs性质53.3傅里叶变换cft63.3.1傅里叶变换cft定义63.3.2傅里叶变换cft的性质73.4离散时间信号傅里叶变换dtft83.4.1离散时间信号傅里叶变换dtft定义83.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质83.5周期序列的离散傅里叶级数 (dfs)123.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义133.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质173.6离散傅里叶变换(dft)193.6.1离散傅里叶变换(dft)193.6.2离散傅里叶变换的性质213.7cfs、cft、dtft、dfs和dft的区别与联系233.8用dft计算模拟信号的傅里叶分析253.9实验28本章小结30习题31参考文献：34第三章 离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(cfs)、连续时间信号的傅里叶变换(cft)、离散时间傅里叶变换(dtft)、离散时间傅里叶级数(dtfs)和离散傅里叶变换(dft)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(dft)来实现。3.1 引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出，一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜，信号即是那束白光。傅里叶的两个最主要的贡献：1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和；2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。 根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数（fourier series）表示：如果输入信号为周期连续时间信号，则有连续时间傅里叶级数（continuous-time fourier series, ctfs），如果输入信号为周期离散时间信号，则有离散时间傅里叶级数（discrete-time fourier series，dtfs）。非周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶变换（fourier transform）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuous-time fourier transform, ctft），离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换（discrete-time fourier transform，dtft）。基础知识一、周期函数先从周期函数开始讨论。设一个函数ft是周期性的，周期为t，如果有一个t0，ft=ft+nt, n=0,1,2,()使等式成立，则称t=20，t为的最小正周期。二、三角函数时间周期的经典例子是谐振荡器，先从该系统的状态是由一个单一的正弦波的形式说起：xat=asin(2ft+)()在这个表达式中，参数a是振幅，频率是f，相位是。如果将上式采样，即：xn=xants=asin2ftsn+=asintsn+()f为模拟频率，单位hz，ts为采样周期，单位秒s，=2f，为模拟角频率。关系表达式如下：=2fts=2f/fs=ts=/fs()三、复指数函数欧拉公式，因为：ej=cosx+jsinx ()所以正弦信号的复数形式数学定义如下：xt=ejk0t=cos(k0t)+jsin(k0t)()3.2 傅里叶级数cfs3.2.1傅里叶级数cfs定义傅里叶的思想是，所有的周期函数都可以表示为正弦信号的加权和8，即：xt=a0+k=0ancosk0t+bnsin(k0t)()a0是常量，通常叫做直流分量（dc）。上式用复指数的形式可表示为：xt=k=-xkejk0t()两边同时乘以e-jn0t，并从0到t积分，得到80txte-jn0tdt=0tk=-xkej(k-n)0tdt=k=-xk0tej(k-n)0tdt ()再看：0te-j(n-k)0tdt=0tcosn-k0t-jsinn-k0tdt()这是一个周期为|tn-k|的函数9，当n=k时，结果为1,，因此式（10）可以写成：0txte-jn0tdt=xktx(k)=1t0txte-jk0tdt当nk时等式（10）的结果为0。因此傅里叶系数fourier coefficients可以写成：x(k)=1t0txte-jk0tdt()故，其傅里叶变换对可以写为10xk=1t0-t0/2t0/2x(t)e-j2kftdt ()xt=k=-+xkej2kft()正交基和向量理解为了便于对傅里叶变换的理解，就要借用向量。首先复习几个概念。内积：对于两个向量，他们的内积就是各个分量相乘再求和。正交是内积为0的情况，在二维空间上可以理解为垂直。例如，在三角函数系中1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .，任意两个不同元素的内积都为零，因此这个集合成为正交集合。空间：如果该空间的任意元素进行加法和乘法计算后的结果仍然属于该空间，那就组成一个向量空间。如果空间内有一个子集合，子集合的元素两两正交，那该子集合就是向量空间的基。上面用于展开傅里叶级数的e-jk0可以看成是一组正交的基。所以对于傅里叶展开来说，任何正交的空间，都可以作为展开的基函数，三角函数和复指数只是其中一类基函数。简单地说傅里叶变换就是把信号投影到基上。对于任意的实信号，我们都可以看做是一些不同频率的正弦波和余弦波的叠加。这时候，我们求这个信号和傅里叶基内积4：=0txte-jk0tdt()就得到了傅里叶变换的定义。频域的图像表达以矩形波的傅里叶变换来描述信号在频域上的图像表示方法：纵坐标 xk为复谐波函数ej2kft幅度，横坐标k为谐波序号10。复谐波函数之和即形成原函数。 【例3.2.1】图3.2.1是一周期矩形信号，周期为t；显然，它满足狄利克雷条件。由(3.2.3)式可知，其傅里叶系数是一离散sinc函数，其中=0.2t，t=1，a=5，0=2pi/t。图3.2.1 周期方波信号及其傅里叶系数figure 3.2.1 periodic square wave signal and its fourier coefficients3.2.2傅里叶级数cfs性质1. 线性：xt+y(t)fsxk+yk()2. 时移：xt-t0fse-j2kf0t0xk()3. 时间反转: x-tfsx-k()4. 时间尺度变换：zt=x(at)()a. tf=t0a()zk=xk()zt=xat=k=-zkej2akf0t()b. tf=t0()zk=xka ka是整数 0 其他()zt=xat=k=-zkej2kf0t5. 时域微分：ddtxtfsj2kf0xk0()6. 时域积分：-tx()dfsj2kf0xk()7. 乘积-卷积对偶性: xtytfsxk*yk ()8. x(t)周期卷积ytfst0xkyk()9. 共轭：x*tfsx*-k()10. 帕塞瓦尔定理: 1t0t0x(t)2dt=k=-x(k)2()3.3 傅里叶变换cft3.3.1傅里叶变换cft定义上节讨论了周期信号的傅里叶级数，接下来我们要从傅立叶级数过渡到傅立叶变换。我们可以将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号。首先建立一个简单的、特殊的并且很重要的信号矩形波，并且让这个信号为周期信号，周期为t：tt2t1xt=1, &|t|t10, &t1|t|t2我们可以算出此信号的傅里叶系数x(k)=1t-t2t2e-jk0t 1 dt=1nsin(2ktt)在t时，建立函数9xt=xt, &|t|t2x(k)=1t-t2t2e-jk0t xt dtx(k)=1t-e-jk0t xtdttx(k)=-e-jk0t xtdt根据上面傅里叶变换对的公式可以得到xt=k=-+1t-e-jk0t xtdtejk0t因为t=20，上式可以写成xt=12k=-+-e-jk0t xtdtejk0t0当t,00，则limtx(t)=xt=12-e-jk0t xdx=-e-jk0t xtdt其傅里叶变换对为：xf=-+x(t)e-j2ftdt ()xt=12-+x(f)ej2ftdw ()特别强调的是信号还需满足如下的狄利克雷(dirichlet)条件：1、 信号绝对可积。2、 在同一个周期内，间断点的个数有限；3、 极大值和极小值的数目有限；3.3.2傅里叶变换cft的性质1. 线性：xt+y(t)fx(f)+y(f) xt+y(t)fx(j)+y(j)2. 时移：xt-t0fe-j2ft0x(f) xt-t0fe-jt0x(j)3. 频移：x(t)ej2f0tfx(f-f0) x(t)ej0tfx(j(-0)4. 时间尺度变换： x(at)f1ax(fa) x(at)f1ax(ja)5. 频率尺度变换： 1ax(ta)fx(af) 1ax(ta)fx(ja)6. 共轭变换：x*tfx*(-f) x*tfx*(-j)7. 乘积 - 卷积对偶性： x(t)*y(t)fx(f)y(f) x(t)*y(t)fx(j)y(j) x(t)y(t)fx(f)*y(f) x(t)y(t)fx(j)*y(j)8. 微分性质：ddtxtfj2fx(f) ddtxtfjx(j)9. 调制： xtcos2f0tf12xf-f0+xf+f0 xtcos0tf12x(j-0)+x(j+0) 10. 周期信号变换：xt=k=-xke-j2kfftfxf=k=-xk(f-kf0) xt=k=-xke-jkftfxf=2k=-xk(-k0)11. 帕塞瓦尔定理：-x(t)2dt=-x(f)2df -x(t)2dt=12-x(j)2df12. 冲击函数的定义：-e-2xydy=(x) 13. 对偶性： x(t)fx(-f) x(-t)fx(f) x(jt)f2x(-) x(-jt)f2x()14. 利用傅里叶变换得到总面积: x0=-xtdt x0=-x(f)df15. 积分：-tx()dfx(f)j2f+12x(0)(f) -tx()dfx(j)j+x(0)()3.4 离散时间信号傅里叶变换dtft3.4.1离散时间信号傅里叶变换dtft定义在第二章讨论过序列的傅里叶变换对5，即xejw=n=-+xne-jwnxn=12-+x(ejw)ejwndw离散时间信号指在离散时间变量时有定义的信号。如果把序列看成模拟信号的抽样，抽样时间间隔为t，抽样频率为fs=1t，s=2t,则离散信号可以表示为xn=xants=xat|t=nts()表明离散信号仅在t=nts有值，在其他时刻没有。3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质本节讨论dtft的一些性质，xn和yn是两个离散时间信号，其离散傅里叶变换是x(f)和y(f)，那么一下的性质成立。一、 线性令的dtft分别是，并令则()xt+ytfxj+y(j)()二、 时移令，则，即 x(t-t0)fx(j)e-jt0()三、 奇、偶、虚、实对称性质设x(n)为一复信号，将x(n),都分别写成实部和虚部的形式即()由dtft正，反定义的定义可得()如果x(n)是实信号，即=0，由于，分别是的偶函数和奇函数，可得下述结论。1) 的实部是的偶函数，即()2) 的虚部是的奇函数，即()把上面两式结合起来，可得实信号dtft的hermitian对称性，即3) 的幅频响应是的偶函数，即()式中，。4) 的相频响应是的奇函数，即()5) 由于，都是的偶函数，且，有()即积分只要从0到即可。6) 若x(n)再是偶函数，那么 ()以上三式说明，若x(n)是以n=0为对称的实偶信号，那么其频谱为实值，其相频响应恒为0，因此，x(n)可有上式的简单形式来恢复，当然，如果x(n)不是以n=0为对称，那么将具有一线性相位。7) 若x(n)是实的奇函数，则 ()四、 时域卷积定理若，则()证明：因为所以。五、 频域卷积定理若，则()证明：因为变换积分与求和的次序，有所以。六、 时域相关定理若y(n)是x(n)和h(n)的相关函数，即，则()证明：因为所以七、 parseval(巴塞伐)定理(3.4.20)()八、 wiener-khinchin(维纳-辛钦)定理若x(n)是功率信号，其傅里叶变换()若上式右边极限存在，则称该极限为功率信号x(n)的功率谱，即()此式称为确定信号的维纳-辛钦定理，它说明功率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一堆傅里叶变换。【例3.4.1】 求下面离散时间傅里叶变换的逆变换。xf=rect50f-14+rect50f+14*comb(f)【解】：先查表fsincn= rect(f)*comb(f)f150sincn50=rect(50f)*comb(f)对应上式的频移性质，fej2f0nxn=x(f-f0)fejnn150sincn50=rect(50(f-14)*comb(f)fe-jnn150sincn50=rect(50(f+14)*comb(f)最后将上面的两个式子合并并简化：原式子的反傅里叶变换是sinc(n50)cos(n2)25【例3.7.3】根据累加性质和冲激函数的离散时间傅里叶变换，求xn=rectnn的傅里叶变换。【解】：xn的一阶后向差分是xn-xn-1=n+n-n-(n+1)因为fn+n-n-n+1=ej2fn-e-j2f(n+1)根据离散时间傅里叶变换的积分性质和矩形脉冲信号的一阶差分序列的和为零的事实，有fxn=ej2fn-e-j2f(n+1)1-e-j2f=e-j2fe-j2fejf(2n+1)-e-jf(2n+1)fxn=sin(f(2n+1)sin(f)=2n+1drcl(f,2n+1)【例3.7.4】求如下离散时间余弦函数的傅里叶变换。xn=acos(n2)【解】：根据定义xf=n=-xne-j2fn=n=-acosn2e-j2fn=a2n=-(ejn2+e-j(n2)e-j2fnxf=a2n=-(ej2(14-f)n+ej2(-14-f)n)或xj=an=-(ej(2-)n+ej(-2-)n)根据n=-ej2xn=comb(x)并考虑到梳状函数是偶函数，有xf=a2combf-14+combf+14或者根据梳状函数尺度变换的性质，xj=acomb-2+comb(+2)因为xn是周期性的，所以可以得到它的离散时间傅里叶级数的谐波函数xk=1n0n=xne-j2(kf0)n=a4n=cos(n2)e-j(kn2)xk=a21-e-jk=a4e-jk2(ejk2-e-jk2)xk=ja4e-jk2sin(k2)当k是偶数时，表达式为0，当k是奇数时表达式值为a4，这些值刚好是冲击函数xf在-34,-14,14,34时的冲激强度。这个结果显示了离散时间傅里叶级数其实只是离散时间傅里叶变换的特例，就像连续时间的傅里叶级数是连续时间傅里叶变换的特例一样。如果一个离散时间信号时周期性的，他的傅里叶就相当于由一些冲激组成，这些冲激的强度等于它的离散时间傅里叶变换谐波函数在谐波频率上的值。3.5 周期序列的离散傅里叶级数 (dfs)当用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而计算机输出所得到的频谱值也是离散的。计算机无法处理周期信号，而上面介绍的几种傅里叶变换形式中，或者信号的时域是连续的，或者信号的频谱是连续的，均不适合计算机进行计算。若要使用这几种形式计算机进行计算，必须针对每种情况，或者在频域取样，或者在时域取样。其最后结果都将使原时间函数和频率函数二者都成为周期离散的函数。因此，他们都可以变成一种形式离散傅里叶级数1。3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义回顾一下，对于周期信号，通常都可以用傅里叶级数来描述，可用指数形式的傅里叶级数来表示，即xn=k=-+x(k)ejkt (51)可以看成信号被分解成不同次谐波的叠加，每个谐波都有一个幅值，表示该谐波分量所占的比重。其中k任意整数k=0k；0基频角频率，0=2/t；x(k)傅里叶系数。我们在x(n)上加以表示周期性的上标，周期为n的周期序列，其有如下性质：=（r为任意整数） (52)用指数形式的傅里叶级数表示应该为= (53)其中0=2/n，是基频分量的角频率，基频序列为。下面来分析一下第(k+rn)次谐波和第(k)次谐波之间的关系。将0=2/n，代入表达式中，得到=（r为任意整数） (54)这说明第(k+rn)次谐波能够被第(k)次谐波表示，也就是说，在所有的谐波成分中，只有n个是独立的，用n个谐波就可完全的表示出.因此，对于离散傅里叶级数，我们只取k=0到k=n-1的n个独立谐波分量，即= (55)式中是一个常用的常数，选取它是为下面表达式的成立的需要，是k次谐波的系数。下面我们根据来求解，这需要用到一下的性质，即复指数的正交性： (56)注意该表达式是对n求和，而表达式的结果取决于(k-r)的值。在=两边都乘以，并且从n=0到n=n-1求和，得到 (57) 交换求和顺序，再根据前面证明的正交性结论可以得出： (58)将变量r换成k，则有= (59)从的表达式可以看出也是周期为n的周期序列，即= (60)则有周期序列的傅里叶级数对， (61)在上面的傅里叶级数对中，n和k的范围是从(- )。为了表示的方便，一般书上常采用一下符号（n表示周期） (62)则(62)可以表示成正变换 xk=dfsxn=n=0n-1xne-j2nnk=n=0n-1xnwnnk (63)反变换 xn=idfsxk=1nn=0n-1xkej2nnk=1nn=0n-1xkwn-nk (64) dfs表示离散傅里叶级数正变换，idfs表示离散傅里叶级数反变换。针对上面的级数对，讨论如下内容：1) ，以n为周期。，；2) 只对序列的一个周期的值进行求和，但求出的或却是无限长的；3) 由以n为周期推导出以n为周期；4) 对于周期序列=，因为z变换不收敛，所以不能用z变换，但若取的一个周期，则z变换是收敛的。，当取时，而，当时，=，这相当于在=0到=2的范围内，在n个等间隔的频率上以2/n为间隔对傅里叶变换进行采样。5) 引入主值序列的概念，即序列在0n-1区间的序列称为主值序列。【例3.5.1】 求的dfs系数。【解】：设为周期冲激串=，对于0nn-1，=，可以求出=1，即对于所有的k值，均相同。表示成级数形式为=。(65)又设的周期为n=10，在主值区间内，0n4时，=1，在5n9时，=0。画出的图形，则=，画出的幅值图。(0)=5，(1)=3.23，(2)=0，(3)=1.24，(4)=0，(5)=1，(6)=0，(7)=1.24，(8)=0，(9)=3.23，这是一个周期内的值。设n取514，即不是取主值周期，随便取一个周期(在主值周期外随便取一周期)，计算傅里叶级数，得到的结果和在主值周期中的结果一样。下面计算有限长序列=的傅里叶变换。=， (66)如果将=2k/10代入上式，则结果和一样。的幅度一个周期图如下所示：图3.5.1幅度的周期图figure 3.5.1 period graph of the amplitude可以看出相当于在=0到=2的范围内，以2/10的频率间隔在10个等间隔的频率上对傅里叶变换进行采样。【例3.5.2】 从例题3.5.1中得到这样一个结论，对于以n为周期的周期序列，任取一个周期求得的傅里叶系数与在主值区间(n=0n-1)中求得的傅里叶系数相同。现在已知的周期为n，=，=，m1=rn+n1，m2=rn+n1+n-1，0n1n-1，证明=。证明：=(令n-m=rn或m=n-rn)=(后一个分量作变量m-n=n)=。【例3.5.3】设一序列的周期为n，其dfs系数为。也是周期为n的周期序列，试利用求的dfs系数。解：= =，所以=。用k替换上式中的r，即xk=nx(-k)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数很多性质和z变换的性质相似，而dfs是和周期性序列联系在一起，所以它们存在一些重要差别。另外，在dfs表达式中时域和频域之间存在着完全的对偶性，而在序列的傅里叶变换和z变换的表示式中这一点不存在。考虑两个周期序列、，其周期均为n，若，(1) 线性a+ba+b，周期也为n。由定义式证明。(2) 序列的移位 ，那么。证明： = (3) 调制特性因为周期序列的傅里叶级数的系数序列也是一个周期序列，所以有类似的结果，为整数，有。证明：。(4) 对称性给出几个定义：1) 共扼对称序列满足的序列。2) 共扼反对称序列满足=的序列。3) 偶对称序列、奇对称序列若和为实序列，且满足=和=，则被称作偶对称序列和奇对称序列。4) 任何一个序列都可表示成一个共扼对称序列和一个共扼反对称序列之和(对实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和)。即有=+，其中=(+)/2，=(-)/2 下面为对称性： ；=(+)/2 证明：=(任意一个周期的dfs系数和主值区间中的dfs系数是一样的)=；=， (67)+=，(68)(5) 周期卷积如果=，则=， (69)这是一个卷积和公式，但与线性卷积有所不同，首先在有限区间0mn-1上求和，即在一个周期内进行求和；对于在区间0mn-1以外的m值，的值在该区间上周期地重复。周期卷积与线性卷积的区别为：（1） 周期卷积中参与运算的两个序列都是周期为n的周期序列；（2） 周期卷积只限于一个周期内求和，即m=0,1,n-1；（3） 周期卷积的计算结果也是一个周期为n的周期序列。3.6 离散傅里叶变换(dft)3.6.1离散傅里叶变换(dft)离散傅里叶级数变换是周期序列，但是在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，对信号的要求是：在时域和频域都应是离散的，且都应是有限长。离散傅里叶级数虽然是周期序列却只有n个独立的复值，只要知道它一个周期的内容，其他的内容也就知道了。即把长度为n的有限序列x(n)看成周期为n的周期序列的一个周期，这样利用离散傅里叶级数计算周期序列的一个周期，也就是计算了有限长序列2。设为有限长序列，长度为n，即只在n=0,1,n-1时有值，其他n时，=0。我们把它看做是周期为n的周期序列的一个周期，而把看成是以n为周期的周期延拓，表达式为 xn=xn (0nn-1)0 (n为其他值)或 xn=xnrn(n)式中rnn=1 (0nn-1)0 (n为其他值)为矩形截断序列，而=(-nn，则将序列截短为n点序列，再作n点的dft；（2） 若序列x的长度mn，则将序列截短为n点序列，再作n点的idft；（2） 若序列x的长度mn， 则将原序列补零至n点，然后计算n点的