学而思讲义 四年级 数学 第一讲：整数与数列.pdf

2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪 四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下） 1.1 第一讲 整数与数列 第一讲 整数与数列 一、复习等差数列 1、通项公式: 一、复习等差数列 1、通项公式:什么时候用？知道首项和公差，求某一项 某一项 第 n 项=首项+公差（n-1） 第 n 项=首项+公差（n-1） 2、项数公式： 2、项数公式：什么时候用？知道首项、末项及公差，求项数 项数 项数=（末项-首项）公差+1 项数=（末项-首项）公差+1 3、求和公式 3、求和公式（高斯公式） ：什么时候用？任何一个等差数列求和 求和 和=（首项+末项）项数2 和=（首项+末项）项数2 辅助记忆：装皮鞋 4、中项公式： 辅助记忆：装皮鞋 4、中项公式：什么时候用？对于容易找到中项的等差数列求和求和 和=中项项数 和=中项项数 注意：高斯公式与中项公式的联系 注意：高斯公式与中项公式的联系 高斯公式：和=（首项+末项）项数2 =（首项+末项）2 项数 中项（也即平均数） 二、常用公式 1、从 1 开始连续奇数求和=项数 二、常用公式 1、从 1 开始连续奇数求和=项数 2 2 即：1 + 3 + 5 + 7 + +（2n-1）= n 即：1 + 3 + 5 + 7 + +（2n-1）= n 2 2 图示： 2、金字塔数列=中项 2、金字塔数列=中项 2 2 即：1 + 2 + 3 + +（n-1）+ n +（n-1）+ + 3 + 2 + 1 = n即：1 + 2 + 3 + +（n-1）+ n +（n-1）+ + 3 + 2 + 1 = n 2 2 图示： 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪 四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下） 1.2 三、平方差公式：三、平方差公式：a a 2 2 - b - b 2 2 =（a+b）（a-b） =（a+b）（a-b） 两数平方差=两数和两数差两数平方差=两数和两数差 几何证明： a 2 - b2 表示的是图中大正方形减去黑色小正方形后的空白部分的面积，沿虚线将空白部分减 成两部分再拼接起来，即为一个长方形的面积。该长方形长为 a+b，宽为 a-b，面积为（a+b） （a-b） ，得证。 特例:特例: 两数相差为 1，其平方差就是两数和 两数相差为 1，其平方差就是两数和 37 2-362=（37+36）（37-36）=37+36 四、平方差公式拓展： 四、平方差公式拓展： （逆向思维）既然平方差=和差，那么两个数相乘能否转化为平方差的形式呢？ 1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。 1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。 如：4139 41=a+b，39=a-b ，利用和差公式即可算出 a=40，b=1（a 即是 41 与 39 的平均数） 所以 4139=（40+1）（40-1）=40 2-12 2、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算 2、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算 如：6872=（70-2）（70+2）=70 2-22=4900-4=4896 五、自然数列的平方和公式 1 五、自然数列的平方和公式 1 2 2+2 +2 2 2+3 +3 2 2+n +n 2 2=n（n+1） （2n+1）6 =n（n+1） （2n+1）6 图示证明： a b 1 2 2 3 3 3 nnn 左边的正三角形即为自然数列的平方和， 将其翻转两次得到右边的两个三角形数 表。现把三个三角形重叠在一起，每个位置上都有三个数，其和都是 2n+1，一共有 1+2+3+n 个位置，所以三个数表的和为（2n+1） （1+2+3+n） ，那么一个三角形数 表的和，即 1 2+22+32+n2=（2n+1） （1+2+3+n）3=（2n+1） （1+n）n23，经 整理= n（n+1） （2n+1）6 n（n+1） （2n+1）6 2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪 四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下） 1.3 六、例题讲解 例 1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+66+67+69+70 解析： 六、例题讲解 例 1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+66+67+69+70 解析：对于数列求和一定先观察规律，根据所找规律就有相应的解题方法。 法一：看出是一双重等差数列，则分别求两个等差数列的和，再加起来就可以了。 则原式=（1+4+7+70）+（3+6+9+69）=1680 法二：将 3+4 看为一组，6+7 看为一组 原式=1+7+13+19+139=（1+139）242=1680 法三:原数列补上 2,5,8，68 后则为一自然数列 则原式=（1+2+3+70）-（2+5+8+68）=1680 例 2 20042003-20032002+20012000-20012000+21 例 2 20042003-20032002+20012000-20012000+21 铺垫：乘法分配律的应用 （100+4）25=10025+425=2500+100=2600 3728+6328=（37+63）28=10028=2800 303217-302217=（303-302）217=217 109 - 98 + 87 - 76 + 65 - 54 + 43 - 32 + 21 109 - 98 + 87 - 76 + 65 - 54 + 43 - 32 + 21 =（10-8）9+（8-6）7+（6-4）5+（4-2）3+21 =29+27+25+23+21 =2（9+7+5+3+1） =225 =50 例 2 与上题规律一样 原式=22003+22001+21999+21 =2（2003+2001+1999+1） =21002 2 连续奇数求和公式 =2008008 例 3 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29这列数第 101 个数是多少？ 解析： 例 3 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29这列数第 101 个数是多少？ 解析：对于数列问题，找出规律是第一步。 法一：a2=1+1 a3=1+1+2 a4=1+1+2+3 a101=1+1+2+3+100=1+5050=5051 法二：递推归纳。发现数列中的差是有规律的，那么把各个差表示出来 a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=3 a101-a100=100 再把所有的等式相加，大多数项都抵消了。最后左边剩下 a101-a1，右边=1+2+3+100 2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪 四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下） 1.4 即 a101-a1 =1+2+3+100=5050， a101=5050+ a1=5051。 拓展 （2009 迎春杯中年级决赛题） 有一个数列， 从第三项起， 每一项都是它前面两项的和， 已知第二项是 39，第十项是 2009，求前 8 项的和。 拓展 （2009 迎春杯中年级决赛题） 有一个数列， 从第三项起， 每一项都是它前面两项的和， 已知第二项是 39，第十项是 2009，求前 8 项的和。 解析：从第三项开始，就有了规律，把规律表示出来如下 a3=a2+a1 a4=a3+a2 a5=a4+a3 a10=a9+a8 a3+a4+a5+ +a10= （a2+a3+a4+ +a9）+（a1+a1+a3+ +a8） （a3+a4+a5+ +a10）-（a2+a3+a4+ +a9）= （a1+a1+a3+ +a8） a10-a2 = （a1+a1+a3+ +a8） 所以（a1+a1+a3+ +a8）=2009-39=1970 例 4 有一数列 1,4,9,16,25,36，问第 1990 个数与第 1991 个数相差多少？ 解析： 例 4 有一数列 1,4,9,16,25,36，问第 1990 个数与第 1991 个数相差多少？ 解析：本题为平方数列，第几项就是几的平方，那么，第 1990 个数就是 1990 2 第 1991 个数就是 1991 2 两数的差就是 1991 2 - 19902 = 1991+1990=3981（两数相差为 1，其平方差就是两数和） 拓展 31415926 拓展 31415926 2 2 - 3141592531415927 解析： - 3141592531415927 解析：3141592531415927 显然可以改写为平方差的形式=（31415926-1）（31415926+1） =31415926 2-1 原式=31415926 2-（314159262-1）=1 例 5 1 例 5 1 2 2 - 2 - 2 2 2 + 3 + 3 2 2 - 4 - 4 2 2 + 5 + 5 2 2 - 6 - 6 2 2 + 7 + 7 2 2 - 8 - 8 2 2 + 9 + 9 2 2 - 10 - 10 2 2 + 11 + 11 2 2 解析： 解析：看见这么多平方数，且中间还有减号连接，自然想到平方差公式，但 1 1 2 2 - 2 - 2 2 2 不够减， 则考虑从后减起。 原式=1111 2 2- 10 - 10 2 2 + 9 + 9 2 2 - 8 - 8 2 2 + 7 + 7 2 2- 6 - 6 2 2 + + 5 52 2 - 4 - 4 2 2 + 3 + 3 2 2 -2 -2 2 2 + 1 + 1 2 2 =（11+10）+（9+8）+（7+6）+（5+4）+（3+2）+1 =66 例 6