2011年广州市二模理科数学试卷参考答案.pdf

广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 1 页 共 12 页 2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共本大题主要考查基本知识和基本运算共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 d c a b a b c b 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共 7 小题，小题，考生作答考生作答 6 小题，小题，每小题每小题 5 分分，满，满 分分 30 分分其中其中 14 41515 题是选做题，考生只能选做一题题是选做题，考生只能选做一题 9 3 2 10 32 f xxx 114 1211 13 14 23 7 15sin1 3 或cos1 6 或 4 sin1 3 或3 cossin20 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分8080分分. .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. . 16 （本小题（本小题满分满分 12 分）分） （本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等 ） 解：解： （1）依题意，120bac ，12ab ，10 220ac ，bca2分 在abc中，由余弦定理，得 222 2cosbcabacab acbac 4分 22 12202 12 20 cos120784 解得28bc 6分 所以渔船甲的速度为14 2 bc 海里/小时 答：渔船甲的速度为14海里/小时7分 （2）方法方法1 1：在abc中，因为12ab ，120bac ，28bc ， bca， 由正弦定理，得 sinsin120 abbc 9分 60 a b c 东 南 西 北 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 2 页 共 12 页 即 3 12 sin1203 3 2 sin 2814 ab bc 答：sin的值为 3 3 14 12 分 方法方法2：在abc中，因为12ab ，20ac ，28bc ，bca， 由余弦定理，得 222 cos 2 acbcab acbc 9分 即 222 20281213 cos 2 20 2814 因为为锐角，所以 2 2 13 sin1 cos1 14 3 3 14 答：sin的值为 3 3 14 12 分 17 （本小题满分 （本小题满分12分）分） （本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力等 ） 解：解： （1） 由表格数据可知， 视觉记忆能力恰为中等， 且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有10a 人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件a， 则 102 ( ) 405 a p a ，解得6a 2 分 所以40 (32)40 382ba 答：a的值为 6，b的值为 23 分 （2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人 方法方法 1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件b， 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件b， 所以 3 32 3 40 c124123 ( )1( )11 c247247 p bp b 答：从这 40 人中任意抽取 3 人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概 率为 123 247 6 分 方法方法 2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件b， 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 3 页 共 12 页 所以 12213 8328328 3 40 c cc cc123 c247 p b 答：从这 40 人中任意抽取 3 人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概 率为 123 247 6 分 （3）从这 40 位学生中随机抽取一个，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为 243 405 7 分 的可能取值为 0，1，2，3，8 分 3 3 32 ()c(0,1,2,3) 55 kk k pkk 9 分 以下给出求以下给出求e e 的两种方法：的两种方法： 方法方法 1：因为服从二项分布，即 3 3, 5 b ，10 分 所以enp 39 3 55 12 分 方法方法 2：因为 03 0 3 328 (0)c 55125 p ， 12 1 3 3236 (1)c 55125 p ， 21 2 3 3254 (2)c 55125 p ， 30 3 3 3227 (3)c 55125 p ， 所以的分布列为 所以0e 8 125 1 36 125 2 54 125 3 27 125 2259 1255 答：随机变量的数学期望为 9 5 12 分 18 （本小题满分 （本小题满分14分）分） （本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力 ） 方法方法 1： （1）证明：证明：因为eaabc平面，caabc平面，所以eaac，即edac 0 1 2 3 p 8 125 36 125 54 125 27 125 10 分 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 4 页 共 12 页 又因为acab，abeda，所以ac 平面ebd 因为bdebd平面，所以acbd4 分 （2）解：解：因为点a、b、c在圆o的圆周上，且abac，所以bc为圆o的直径 设圆o的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 1 2210, 2 1 22212. 2 rhr rhr 6 分 解得 2, 2. r h 所以4bc ，2 2abac7 分 过点c作chbd于点h，连接ah， 由（1）知，acbd，acchc，所以bd 平面ach 因为ah 平面ach，所以bdah 所以ahc为二面角abdc的平面角9 分 由（1）知，ac 平面abd，ah 平面abd， 所以acah，即cah为直角三角形 在rtbad中，2 2ab ，2ad ，则 22 2 3bdabad 由abadbdah，解得 2 6 3 ah 因为tan3 ac ahc ah 13 分 所以ahc60 所以二面角abdc的平面角大小为6014 分 方法方法 2： （1）证明：证明：因为点a、b、c在圆o的圆周上，且abac，所以bc为圆o的直径 设圆o的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 1 2210, 2 1 22212. 2 rhr rhr 2 分 解得 2, 2. r h 所以4bc ，2 2abac3 分 a d1 a1 e b c o d a d1 a1 e b c o d 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 5 页 共 12 页 以点d为原点， 1 dd、de所在的射线分别为x轴、z轴建立如图的 空间直角坐标系dxyz，则0,0,0d， 1 4,0,0d，0,0,2a， 2,2,2b，2, 2,2c，2, 2,0ac ，2,2,2db 5 分 因为 2, 2,02,2,20ac db ， 所以acdb 所以acbd9 分 （2）解：解：设, ,x y zn是平面bcd的法向量，因为0, 4,0bc ， 所以 0, 0. bc db n n 即 40, 2220. y xyz 取1z ，则1,0, 1n是平面bcd的一个法向量11 分 由（1）知，acbd，又acab，abbdb，所以ac 平面abd 所以2, 2,0ac 是平面abd的一个法向量12 分 因为 21 cos, 222 2 ac ac ac n n n ， 所以,60ac n 而,ac n等于二面角abdc的平面角， 所以二面角abdc的平面角大小为6014 分 方法方法 3： （1）证明：证明：因为eaabc平面，caabc平面，所以eaac，即edac 又因为acab，abeda，所以ac 平面ebd 因为bdebd平面， 所以acbd4 分 （2）解：解：因为点a、b、c在圆o的圆周上，且abac，所以bc为圆o的直径 设圆o的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 1 2210, 2 1 22212. 2 rhr rhr 6 分 a d1 a1 e b c o d x y z a d1 a1 e b c o d 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 6 页 共 12 页 解得 2, 2. r h 所以4bc ，2 2abac7 分 以点d为原点， 1 dd、de所在的射线分别为x轴、z轴建立如图的 空间直角坐标系dxyz，则0,0,0d， 1 4,0,0d，0,0,2a， 2,2,2b，2, 2,2c，0, 4,0bc ，2,2,2db 9 分 设, ,x y zn是平面bcd的法向量， 则 0, 0. bc db n n 即 40, 2220. y xyz 取1z ，则1,0, 1n是平面bcd的一个法向量11 分 由（1）知，acbd，又acab，abbdb，所以ac 平面abd 所以2, 2,0ac 是平面abd的一个法向量12 分 因为 21 cos, 222 2 ac ac ac n n n ， 所以,60ac n 而,ac n等于二面角abdc的平面角， 所以二面角abdc的平面角大小为6014 分 19 （本小题满分 （本小题满分14分）分） （本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，以及函 数与方程、化归与转化等数学思想 ） （1）解解法法 1：当2n时， 1 1 1 22 n n nnn nana ass ，2 分 即 1 1 nn aa nn 2n 4 分 所以数列 n a n 是首项为 1 1 1 a 的常数列5 分 a d1 a1 e b c o d x y z 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 7 页 共 12 页 所以1 n a n ，即 n an n * n 所以数列 n a的通项公式为 n an n * n7 分 解解法法 2：当2n时， 1 1 1 22 n n nnn nana ass ，2 分 即 1 1 n n an an 2n 4 分 所以 132 1 1221 132 1 1221 nn n nn aaaann aan aaaann 5 分 因为 1 1a ，符合 n a的表达式6 分 所以数列 n a的通项公式为 n an n * n7 分 （2）假设存在k 2,km k * n，使得 k b、 1k b 、 2k b 成等比数列， 则 2kk b b 2 1k b 8 分 因为lnln nn ban（n2） ， 所以 2 2 2 2 ln2 lnln2 lnln(2) 22 kk kk kk b bkk 11 分 2 2 2 2 1 ln1 ln1 2 k k kb 13 分 这与 2kk b b 2 1k b 矛盾 故不存在k（2,kk n） ，使得 k b、 1k b 、 2k b 成等比数列14 分 20 （本小题满分 （本小题满分14分）分） （本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及 数形结合、分类讨论思想和创新意识等 ） 解：解： （1）因为0ab，所以1 b a ，所以 2 22 1 cabb e aaa 21 分 由90apb 及圆的性质，可知四边形paob是正方形，所以2opb 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 8 页 共 12 页 因为2opba，所以 2 2 b a ，所以 2 22 1 cabb e aaa 6 2 3 分 故双曲线离心率e的取值范围为 6 ,2 2 4 分 （2）方法方法 1：因为 222222 00 paopoaxyb， 所以以点p为圆心，pa为半径的圆p的方程为 22 222 0000 xxyyxyb5 分 因为圆o与圆p两圆的公共弦所在的直线即为直线ab，6 分 所以联立方程组 222 22 222 0000 , . xyb xxyyxyb 7分 消去 2 x， 2 y，即得直线ab的方程为 2 00 x xy yb8 分 方法方法 2：设 11 ,a x y 22 ,b xy，已知点 00 ,p xy， 则 pa k 01 01 yy xx ， 1 1 oa y k x 101 ,0xx x其中 因为paoa，所以1 paoa k k ，即 011 011 1 yyy xxx 5 分 整理得 22 0 10111 x xy yxy 因为 222 11 xyb，所以 2 0 101 x xy yb6 分 因为oaob，papb，根据平面几何知识可知，abop 因为 0 0 op y k x ，所以 0 0 ab x k y 7 分 所以直线ab方程为 0 11 0 x yyxx y 即 000101 x xy yx xy y 所以直线ab的方程为 2 00 x xy yb8 分 方法方法 3：设 1122 ,a x yb xy，已知点 00 ,p xy， 则 pa k 01 01 yy xx ， 1 1 oa y k x 101 ,0xx x其中 因为paoa，所以1 paoa k k ，即 011 011 1 yyy xxx 5 分 整理得 22 0 10111 x xy yxy 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 9 页 共 12 页 因为 222 11 xyb，所以 2 0 101 x xy yb6 分 这说明点a在直线 2 00 x xy yb上 7 分 同理点b也在直线 2 00 x xy yb上 所以 2 00 x xy yb就是直线ab的方程 8 分 （3）由（2）知，直线ab的方程为 2 00 x xy yb， 所以点o到直线ab的距离为 2 22 00 b d xy 因为 222 4 2 0022 22 22 00 00 2 22 b xybb aboadb xy xy ， 所以三角形oab的面积 3222 00 22 00 1 2 bxyb sabd xy 10 分 以下给出求三角形以下给出求三角形oaboab的面积的面积s s的三种方法：的三种方法： 方法方法 1：因为点 00 ,p xy在双曲线 22 22 1 xy ab 上， 所以 22 00 22 1 xy ab ，即 2222 2 0 0 2 b xa b y a 22 0 xa 设 2 2222222 000 2 12 b txybxbab a ， 所以 3 22 b t s tb 11 分 因为 3 2 22 btbtb s tb ， 所以当0tb 时，0s，当tb时，0s 所以 3 22 b t s tb 在0,b上单调递增，在, b 上单调递减12 分 当 22 abb，即2bab时， 3 2 22 1 2 bb sb bb 最大值 ，13 分 当 22 abb，即2ab时， 322322 22 222 babbab s a abb 最大值 x y o p a b 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 10 页 共 12 页 综上可知，当2bab时， 2 1 2 sb 最大值 ；当2ab时， 322 2 bab s a 最大值 14 分 方法方法 2：设 222 00 txyb，则 33 222 b tb s btb t t 11 分 因为点 00 ,p xy在双曲线 22 22 1 xy ab 上，即 22 00 22 1 xy ab ，即 2222 2 0 0 2 b xa b y a 22 0 xa 所以 2 2222222 000 2 12 b txybxbab a 令 2 b g tt t ，则 2 22 1 tbtbb g t tt 所以当0tb 时， 0g t，当tb时， 0g t 所以 2 b g tt t 在0,b上单调递减，在, b 上单调递增12 分 当 22 abb，即2bab时， 3 2 2 1 2 b sb b b b 最大值 ，13 分 当 22 abb，即2ab时， 3322 22 22 22 bbab s ba ab ab 最大值 综上可知，当2bab时， 2 1 2 sb 最大值 ；当2ab时， 322 2 bab s a 最大值 14 分 方法方法 3：设 22 00 txy，则 2 32 32 11btb sbb ttt 11 分 因为点 00 ,p xy在双曲线 22 22 1 xy ab 上，即 22 00 22 1 xy ab ，即 2222 2 0 0 2 b xa b y a 22 0 xa 所以 2 22222 000 2 1 b txyxba a 令 2 222 22 11 24 g ub uubu bb ， 所以 g u在 2 1 , 2b 上单调递增，在 2 1 , 2b 上单调递减12 分 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广州市教育局教学研究室 2011-04-21 17:30 广 州 教 研 网 / 数学（理科）答案 a 第 11 页 共 12 页 因为ta，所以 2 11 0,u ta ， 当 22 11 2ba ，即2bab时， 22 max 11 24 g ug bb ，此时 32 11 22 sbb b 最大值 13 分 当 22 11 2ba ，即2ab时， 22 24 max 1ab g ug aa ，此时 322 2 bab s a 最大值 综上可知，当2bab时， 2 1 2 sb 最大值 ；当2ab时， 322 2 bab s a 最大值 14 分 21 （本小题满分 （本小题满分14分）分） （本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新 意识 ） （1）解：解：因为 lnf xaxxx，所以 ln1fxax1 分 因为函数 lnf xaxxx的图像在点ex 处的切线斜率为 3， 所以 e3 f ，即lne 13a 所以1a 2 分 （2）解：解：由（1）知， lnf xxxx， 所以 1 f x k x 对任意1x 恒成立，即 ln 1 xxx k x 对任意1x 恒成立3 分 令 ln 1 xxx g x x ， 则 2