九年级数学上册 《垂直于弦的直径》课件 人教新课标版

24.1.2 垂直于弦的直径 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m. 问题情境 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴 一、 实践探究 如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ O AB C D E 二、 （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合 ，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合 ，AD与BD重合 因此 AE=BE 即 直径CD平分弦，并且平分AB及ACB AC=BC AD=BD O B C D A E O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧 归纳 AE=BE, n由 CD是直径 CDAB 可推得 AC=BC 垂径定理： 几何语言表述 AD=BD 练一练：如图，已知在O中 ，弦AB的长为8厘米，圆心O 到AB的距离为3厘米，求O 的半径。 解：连结OA。过O作OEAB， 垂足为E，则OE3厘米，AEBE. AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘 米 O的半径为5厘米。 . A E B O 解决求赵州桥拱半径的问题 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为 O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC， D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结 论，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是 拱高AB=48米，CD=16米 B O D A C R 实践应用 如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE （1）CDAB吗？为什么？ （2） O A B C D E AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ 三、 O A B C D E 如果一条直径平分一条不是 直径的弦，那么这条直径垂 直于弦，并且平分弦所对的 两条弧. 归纳 CDAB, n由 CD是直径 AE=BE 可推得 几何语言表述 AC=BC AD=BD 如图，AB是O的一条弦， CD是直径，且AE=BE OE=5，AB=24，求O的半径 O A B C D E 练一练： 驶向胜利 的彼岸 挑战自我填一填 1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） (2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） . (3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 驶向胜利 的彼岸 挑战自我画一画 2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD, 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . F E O M N A B C D 1、如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形 ADOE是正方形 D O AB C E 证明： 四边形ADOE为矩形， 又 AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形. 提高练习 2已知：如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C ，D两点。你认为AC和BD有什么关 系？为什么？ 证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD . A CD B O E 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法 4:在圆O中，直径CEAB于 D，OD=4 ，弦AC= ， 求圆O的半径。 反思：在 O中，若 O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据 定理求出第三个量： C D BA O 3：如图，圆O的弦AB8 ， DC2，直径CEAB于D， 求半径OC的长。 垂径 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 练习5:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦AB的长。 6 已知：O中弦 ABCD。 求证：ACBD . M CD AB O N 证明：作直径MNAB。 ABCD，MNCD。 则AMBM，CMDM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDM ACBD 总结: 解决有关弦的问题，经常是过 圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径 ，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件。 船能过拱桥吗 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？ 相信自己能独 立完成解答. 船能过拱桥吗 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半 径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于 点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是 拱高. 由题设得 在RtOAD中，由勾股定理，得 解得 R3.9（m）. 在RtONH中，由勾股定理，得 此货船能顺利通过这座拱桥. 垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度. E D 600 垂径定理的逆应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 ，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的 最大深度. BA O 600 650 D C 课后小结 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理， 并用