点的运动课件

第一章第一章 点的运动点的运动 运运 动动 学学 西北工业大学西北工业大学 朱西平朱西平 支希哲支希哲 侯美丽侯美丽 点的运动点的运动 第一章第一章 点的运动点的运动 运运 动动 学学 目录 12用矢量法表示点的速度和加速度 13用直角坐标法表示点的速度和加速度 11确定点的运动的基本方法点的运动方程 14用自然法表示点的速度和加速度 第 一 章 点 的 运 动 第一章第一章 点的运动点的运动 自然法 坐标法 矢量法 第一章第一章 点的运动点的运动 1-1 确定点的运动的基本方法 点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 （1 1）、定义：）、定义： 以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定动点位置的方法称为自然法。 （） （） s OM 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 （2 2）、运动方程：）、运动方程：设动点M 沿已知轨迹曲线运动，在轨迹 曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向 一方量得的弧长取正值，向另一方量得的弧长取负值。这种带 有正负值的弧长OM 称为动点的弧坐标，用s表示。点在轨迹 上的位置可由弧坐标s完全确定。 1. 自然法 第一章第一章 点的运动点的运动 当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表 示为时间t的单值连续函数，即 这个方程表示了点M沿已知轨迹的运动规律，称为自然 法表示的点M的运动方程。 （） （） s OM 自然法自然法 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。 动点M对于所选直角坐标系的位置 ，可由它的三个坐标x，y，z 决定。当 点M 运动时，这些坐标一般地可以表 示为时间t 的单值连续函数，即 M x y z x y z i j k O r 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 2.坐标法 通常采用直角坐标。 若函数f1， f2 ， f3都是已知的，则动点M 对应于任一瞬间 t 的位置即可完全确定。 在运动方程的三个式子中消去t 即得直角坐标形式的轨迹方程。 第一章第一章 点的运动点的运动 矢径r 唯一的决定了点M的位置。当 点M 运动时，矢径r 是随时间而变的矢量 ，一般可表示为时间t的单值连续函数 由定点O画到动点M的有向线段OM=r 称为动点M的矢径，它的解析式为 这方程称为点M的矢量形式的运动方程 。 M x y z x y z i j k O r 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 3.矢量法 矢径端点在空间描出的曲线称为矢端图，它就是动点的轨迹。 矢量法确定点的位置比直角坐标法简明，理论推导时常用。 第一章第一章 点的运动点的运动 矢量法矢量法 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 矢量法实例矢量法实例 第一章第一章 点的运动点的运动 例1-1 椭圆规的曲柄OA 可绕定轴O转动，端点A以铰链 连接于规尺BC；规尺上的点B 和C可分别沿互相垂直的滑槽 运动。求规尺上任一点M 的轨 迹方程。 A C B y O x Mx y 已知: 例题例题1-11-1 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 例题1-1 第一章第一章 点的运动点的运动 运 动 演 示 例题例题1-11-1 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 A C B y O x Mx y 考虑任意位置， M点的坐标 x ，y可以表示成 消去上式中的角，即得M点的轨 迹方程: 解: 例题例题1-11-1 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 轨 迹 演 示 例题例题1-11-1 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 M点的轨迹是什么曲线 ？ 思考题 例题例题1-11-1 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 轨 迹 演 示 例题例题1-11-1 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 x y O A C B l 例1-2 曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为 r和l。且lr，角=t，其中是常量。滑块B可沿轴Ox 作往复运动。试求滑块B的运动方程，速度和加速度。 例题例题1-21-2 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 例题1-2 第一章第一章 点的运动点的运动 运 动 演 示 例题例题1-21-2 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标 将=t 代入上式得 令= r/l，将上式中的根式 展开，有 x y O A C B l 解 : 例题例题1-21-2 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 略去4以及更高阶项，并利用关系 滑块B的速度和加速度分别为 x y O A C B l 则 可表示为 例题例题1-21-2 1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程 第一章第一章 点的运动点的运动 位移 速度 加速度 1-2 用矢量法表示点的速 度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 1-2 用矢量法表示点的速度和加速度 设有一点M沿曲线AB运动，在 任一瞬时t，该点之位置可由如下矢 径确定 显然，当动点M沿 AB 运动时，r是一变矢量。 1. 位 移 从瞬时 t 到 t +t ，动点位置由M改变到M，其矢径分 别为r和r。在时间间隔t内，r 之变化量为 它表示在t时间内动点矢径之改变，称为动点在t时间内的位移。 B M O r0 A B M0 M r r r 第一章第一章 点的运动点的运动 由矢导数定义知，动点之速度v的方向沿动点的矢端图（ 即轨迹曲线）的切线方向，并与此点的运动方向一致。 当t0时，v的极限值称为动 点在瞬间t 之速度 比值 表示动点在t时间内的平均速度。 即点的速度等于它之矢径对时间的一阶导数。 M r B O r0 A M0 M r r 1-2 用矢量法表示点的速度和加速度 2. 速 度 第一章第一章 点的运动点的运动 设从某一固定点O画出动点 在连续瞬间t0 ，t,t+t、t2. 速度矢 在t时间内，速度改变量为 ，比值 称为在t 时间内之平均加速度 连接各速度矢量之端点，可得一曲线，称为 速度矢端图，此时可视v为一变矢量。 v a* M v0 M0 M M v O v0 1-2 用矢量法表示点的速度和加速度 3. 加 速 度 （1）、平均加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 当t0时， 之极限称为动点在瞬时t 之瞬时加速度。 即动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，或等于它 的矢径对时间的二阶导数。其方向沿速度矢端图之切线，并 指向速度矢端运动的方向。 又则a* v v O v0 a 加加速度速度 1-2 用矢量法表示点的速度和加速度 （2）、瞬时加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 直角坐标法表示点的速度 直角坐标法表示点的加速度 1-3 用直角坐标法表示点 的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 由于沿固定轴的单位矢i、j、k不随时间而变,它们对时 间的导数都等于零,故得 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 已知动点的直角坐标形式的运动方程 由坐标原点O画出动点的矢径 因而有速度的矢量法表达式 M x y z x y z i j k O r 1. 直角坐标法表示点的速度 第一章第一章 点的运动点的运动 即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于动点的 对应坐标对时间的一阶导数。 以vx，vy ，vz ，代表速度v 在固定轴x，y，z上的投影，则有 与前式比较，得 速速 度度 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 已知动点速度的投影，可求出速度矢量v的大小和方向余弦。 速速 度度 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 把速度v 的表达式对时间t 求导数，可得加速度的矢量表达式 另一方面，有分解式 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 2. 直角坐标法表示点的加速度 速度v 的矢量表达式 第一章第一章 点的运动点的运动 其中ax，ay，az是加速度a 在固定轴x，y，z上的投影。比较上 列两式，得 即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于 点的速度的对应投影对时间的一阶导数，或者等于对应坐标 对时间的二阶导数。 加加速度速度 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 加速度的矢量表达式 加速度的分解式 第一章第一章 点的运动点的运动 已知动点加速度的投影，可求出加速度a 的大小和方向余弦 加加速度速度 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 例1-3 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如 图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t 半径MC与轨道的垂线HC组成交角=t，其中是常量。试求 在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度 。 O O H H C C D D MM x x y y 例题例题1-31-3 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 例题1-3 第一章第一章 点的运动点的运动 O O A A H H B B C C D D MM x x y y 解 ： 1. .求M点的运动方程 。 在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿 直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考 虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=MH 。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为 例题例题1-31-3 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一 圈的时间 T=2/ ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一 环OEP，其两端O和P是尖点。 O O A A H H B B C C D D MM x x y y P P 以 代入， 得M点的运动方程 E 例题例题1-31-3 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 求坐标 x，y 对时间的一阶 导数，得 故得M点速度 v 的大小和方向，有 M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。 O A H B C D M Px y 2.求M点的瞬时速度。 v 例题例题1-31-3 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 求vx，vy 对时间的一阶导数，得 故得M点加速度 a 的大小和方向，有 x=0, y=0; 当t = 0时，有 这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度 垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。 O A H B B C D M P E x y a a 3.求M点的瞬时加速度。 例题例题1-31-3 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 轨 迹 演 示 例题例题1-31-3 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 点的速度在自然轴上的投影 曲线的曲率自然轴系 点的加速度在自然轴上的投影 1-4 自然法表示点的 速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 比值 可用来表示弧MM 的平均弯曲程度，并称为平均曲率。 当点M趋近于点M时，平均曲率 的极限值称为曲线在点M处的曲率，用 k 表示，有 T M T M s T1 （取绝对值）称为曲线对 应于弧 MM的邻角，可用来说明该 曲线的弯曲程度。 1-4 自然法表示点的速度和加速度 1. 曲线的曲率 自然轴系 第一章第一章 点的运动点的运动 曲线在点M的曲率的倒数，称 为曲线在点M的曲率半径，用表示 ，有 T M T M s T1 曲线的曲率曲线的曲率 1-4 自然法表示点的速度和加速度 曲 率 第一章第一章 点的运动点的运动 密切面 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 在图中点M趋近于M，即 趋近于零的过程中，包括直线 MT 和 MT1的平面，将绕MT转动而趋近于某 一极限位置；在这极限位置的平面称 为曲线在点M的密切面或曲率平面。 T M T M s T1 1-4 自然法表示点的速度和加速度 密切面密切面 第一章第一章 点的运动点的运动 通过点M而与切线垂直的 平面，称为曲线在点M 的法面 。 法面主法线副法线 M 法面 法面与密切面的交线MN 称为主法线。 法面内与主法线垂直的 直线MB称为副法线。 密切面 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 在点M处曲线的切线、 主法线和副法线组成一个空 间坐标架，称为点M的自然 轴系； 各轴的正向规定如下： 设用et,en,eb代表这三个轴 的轴向单位矢，则et指向弧 坐标增加的一方，en指向曲 线的凹边，而 eb = et en ； M 自然轴系 N N B B T T e eb b e en n e e t t 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 可见自然轴系是随点M的 位置而改变的直角空间坐标架 ，它在研究点沿已知轨迹的运 动时有重要的意义。 曲线上的点都具有自己的 自然轴系，故et ,en ,eb都是方 向随点M的位置而改变的单位 矢。 自然轴系自然轴系 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 M r s A B M O r r s v () () O1 M点的速度（矢量）为 设已知点M的运动轨迹和运动方程 大小大小 1-4 自然法表示点的速度和加速度 2. 点的速度在自然轴上的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 M r s A B M O r r s v () () O1 方向沿轨迹在M处的切线et 并 指向弧坐标增加的一方。 et 方向方向 可见，点M的速度是沿轨迹切 线，并可表示为 1-4 自然法表示点的速度和加速度 速度的投影速度的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 即：动点的速度在切线上的投影，等于它的弧坐标对时间的一 阶导数。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。 其中v 是速度矢量在切线正向的投影， 大小等于 速度的投影速度的投影 M r s A B M O r r s v () () O1 t 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 1-4 自然法表示点的速度和加速度 3. 点的加速度在自然轴上的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 ? ? 加速度的投影加速度的投影 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 大小大小 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 M et et et et M et et M et 因为 所以 第一章第一章 点的运动点的运动 en 方向方向 et M et et M et 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 当 0时， et 和 et以及 et 同处于M点的密切面内， 这时， et 的极限方向垂直于et ，亦即沿 en方向。 第一章第一章 点的运动点的运动 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 加速度在自然轴系上的投影形式 切向加速度 法向加速度 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 切向加速度表示速度矢量大小的变化率； 法向加速度表示速度矢量方向的变化率； 即 abeb= 0, 表明加速度 a 在副法线方向没有分量； 还表明速度矢量v 和加速度矢量a 都位于密切面内。 讨论 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 动点的加速度在切线上的投影，等于速度在切线上的 投影对时间的导数；加速度在主法线上的投影，等于速度 的平方除以轨迹在动点处的曲率半径；加速度在副法线上 的投影恒等于零。 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 结 论 第一章第一章 点的运动点的运动 加速度a与主法线所成的角度 （恒取绝对值），由下式确定 因为加速度的两个分量an 与at 是相互垂直的，故得加速 度a 的大小为 T et a N M en () () an at 加速度大小和方向 1-4 自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影 第一章第一章 点的运动点的运动 例1-4 飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2 的规 律沿半径r=1 500 m的圆弧作机动飞行（如图）。其中s以 m计，t以s计。当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及 其速度和加速度。 O M0 M r 例题例题1-41-4 1-4 自然法表示点的速度和加速度 例题1-4 第一章第一章 点的运动点的运动 O M0 M r (-) s (+) v0 v at an a 解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用 自然法求解。取M0为弧坐标 s 的原点，s 的正 负方向如图所示。 当t = 5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定 先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度 例题例题1-41-4 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 O M0 M r (-) s (+) v0 v at an a 故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为 代入 t = 5s 得 例题例题1-41-4 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 例1-5 试求例 4中轮缘上M点的切向加速度和法向加 速度，并求轨迹的最大曲率半径。 O H C D M x y P P a v 例题例题1-51-5 1-4 自然法表示点的速度和加速度 例题1-5 第一章第一章 点的运动点的运动 解： 因而它的切向加速度 注意，当 时， 而 当 时， ；两者相差一个 负号。在 以后，M点进入另一个滚 轮环，这里出现尖点， 运动方向发生 突然逆转，由 突变为 。 O H C D M E x y 2 v at a 1.求切向加速度 例题例题1-51-5 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 矢量 at 和 an 的方向分别沿MD 和MH。 M点的法向加速度大小 O H C D M E x y 2 v at a an 2.求法向加速度 已知 例题例题1-51-5 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 另一方面， ，故轨迹的曲 率半径为 可见，轨迹的最大曲率半径 ，对应于轨迹的最高点 。 O H C D M x y 2 v at a an E E 3.求曲率半径 例题例题1-51-5 1-4 自然法表示点的速度和加速度 第一章第一章 点的运动点的运动 例1-6 圆柱的半径为r，绕铅 直固定轴 z 作匀速运动，周期为 T 秒。动点M以匀速 u 沿圆柱的一条 母线NM运动（如图）试求M点的 轨迹、速度和加速度，并求轨迹的