九年级数学28 圆教学案冀教版

1 第二十八章第二十八章 圆圆 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念. 2.认识圆的轴对称性和中心对称性,探索垂径定理,探索并了解弧、弦、圆心角之间的 关系,探索并了解圆周角与圆心角及所对弧的关系. 3.了解并证明圆周角定理及其推论,知道圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的 一半,直径所对的圆周角是 90,90的圆周角所对的弦是直径,圆内接四边形的对角互补. 4.知道三角形的外接圆和外心,会用尺规过不在同一直线上的三点作圆和作三角形的 外接圆. 5.会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积. 1.积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动,了解概念,掌握定理 及公式. 2.通过探究活动中小组合作交流,培养学生合作意识. 3.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归 纳的数学思想. 4.让学生经历探究圆及其相关结论的过程,进一步发展学生数学思考和数学推理的能 力. 5.探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义,提 高学生计算能力和数学思维. 1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生 活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.让学生经历观察、分析以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习 数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯. 3.进一步培养合情推理能力,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能 力. 4.进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生 进行辩证唯物主义世界观的教育. 与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是 2 人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型三角形、四边形等的基 础上,并在小学的基础上,学生已经积累了大量有关圆的经验,本章是在此基础上,进一步研 究一个基本的曲线形圆,对圆的概念和性质进行系统地梳理,并结合一些图形性质的证 明,进一步发展学生的逻辑思维能力. 在小学学过圆的基础上,进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质,比较集中地 反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形 的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的 思维能力,圆锥侧面积的计算还可以培养学生的空间观念,所以圆这一章在初中数学学习中 占有重要地位.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论的数 学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本章的学习是高中阶段圆锥曲线的学习的 基础性工程. 【重点】 1.垂径定理及其推论的推导及应用. 2.圆周角定理及其推论的推导及应用. 3.正多边形的有关计算. 4.弧长和扇形面积、圆锥的侧面积的相关计算. 【难点】 1.垂径定理及其推论的推导及应用. 2.圆周角定理及其推论的推导及应用. 3.圆锥的侧面展开图的理解. 1.圆与现实生活密切联系,在教学中,适当选取贴近学生现实生活中的实例为背景,创 设一个有利于学生观察、探索和交流的氛围,教师引导学生通过观察、操作、变换、推理 以及合作交流等数学活动,发现和归纳圆的有关性质,较好的展开知识的形成过程. 2.重视知识间的联系和综合,要衔接前面“空间与图形”的内容和要求,了解它们与这 部分知识的区别和联系,教学时应注意帮助学生多复习有关图形的知识,做到以新带旧,新 旧结合. 3.在组织教学活动的过程中,要充分发扬民主,为学生提供自主探索的空间,促使学生 在课堂上积极动手实践、勤于思考,要使学生从事观察、测量、折叠、推理、归纳等活动, 帮助他们有意识地积累活动经验,获得成功的体验,同时在课堂教学中要关注学生小组之间 的合作与交流,鼓励学生以独立思考、合作交流的方式解决问题,并在活动的过程中不断积 累数学活动的经验,提高数学推理能力. 4.圆是一种特殊的图形,它对于培养学生的数学能力,形成数学思想方法具有重要的价 值.要加强数学思想方法的教学,在观察、探究和推理活动中,使学生有意识地归纳数学思 想方法,在探究圆周角与圆心角之间的关系及弧长、扇形面积公式的教学时,要渗透分类思 想、化归思想及由特殊到一般的数学思想方法. 28.1 圆的概念及性质1 课时 3 28.2 过三点的圆1 课时 28.3 圆心角和圆周角3 课时 28.4 垂径定理*1 课时 28.5 弧长和扇形面积的计算1 课时 回顾与反思1 课时 28.1 圆的概念及性质 1.理解圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念. 2.认识圆的轴对称性和中心对称性. 3.通过对圆的相关概念的理解,能够从图形中识别“弦、直径” “弧、优弧、劣弧” “半圆、等圆、等弧”. 4.能应用圆的有关概念解决问题. 1.通过感受生活中存在的圆形,提高学生识图能力,体会数学与生活息息相关. 2.通过探索圆的概念的过程,学会用猜想归纳的思想解决问题. 3.经历抽象和建立圆的概念的过程,探究圆的对称性,使学生积累数学活动经验. 1.让学生经历观察、思考、归纳和概括等学习过程,养成既能自主探索,又能合作探究 的良好学习习惯. 2.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,建立学习的自信心. 【重点】 与圆有关的概念. 【难点】 理解“直径与弦” “半圆与弧” “等弧与长度相等的弧”等概念. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P146147,圆形纸片. 4 导入一: 【课件展示】 欣赏图片. 导入语 在实际生活中,电动自行车的车轮、皮带传动轮、茶几面和管道的横截面 等,都给我们一种圆的形象.圆是现实生活中最常见的图形,许多物体具有圆的形象.圆有哪 些性质呢?这是这一节我们要学习的内容. 导入二: 思考并回答: 1.小学里学习过圆,你能举出哪些生活中圆的例子? 2.为什么车轮都做成圆形?能不能做成正方形和长方形? 3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O 之间的距离有什么关系? 【师生活动】 学生思考后回答,教师适当点评,导出本节课的课题. 设计意图 通过欣赏图片,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣,同 时让学生体会圆是实际生活中常见的图形,通过小学对圆的初步接触,让学生回忆圆的知识,思 考圆的特征,为后面给出圆的定义做准备,从已有的知识体系自然地构建出新知识. 过渡语 实际生活中存在着大量的圆的图形,认识一个新图形就要知道它的概念,今 天我们一起学习圆的有关概念. 5 圆的概念 【思考】 1.我们怎样在本上画圆形? 2.我们想在操场上画个圆形,你有什么办法吗? 3.观察我们画圆的过程,圆上的点到到圆心的距离有什么共同特征? 思路一 【师生活动】 学生回答用圆规在本上画圆形,独立思考怎样在操场画圆后,小组合作 交流,共同探究画圆的方法及圆上各点的特征.教师课件展示操场上画圆的方法,共同探究 圆上各点的特征. 【课件展示】 小惠与小亮合作,按下面的方法画圆. 首先,小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴上一小段 竹签,然后,小亮将绳子拉紧,再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是圆. 【师生活动】 通过交流圆上各点的共同特征,教师引导共同归纳圆的有关概念. 【课件展示】 平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定 点叫圆心,这条定长叫做圆的半径.如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作 “O”,读作“圆O”.线段OA也称为O的半径. 思路二 【师生活动】 教师引导我们平时用圆规画圆,观察小惠和小亮合作是怎样画出圆形 的,让学生自主学习教材 146-147 页,然后学生之间互相交流圆的概念及表示方法.教师对 学生的展示作出评价,并课件展示圆的概念. 6 【课件展示】 平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定 点叫圆心,这条定长叫做圆的半径.如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作 “O”,读作“圆O”.线段OA也称为O的半径. 追加思考: 1.篮球是圆吗?太阳是圆吗? (强调定义中的同一平面内) 2.以 3 cm 为半径画圆,能画出几个圆?为什么? (无数个,圆心不确定) 3.以O为圆心画圆,能画出几个圆?为什么? (无数个,半径不确定) 4.确定一个圆需要哪几个元素? (圆心和半径两个元素) 【师生活动】 学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,教师强调:圆心确定 圆的位置,半径确定圆的大小,圆心和半径两个元素确定一个圆. 设计意图 教师引导或自学教材,学生对画圆的过程加深认识,归纳形成概念,让学 生经历概念的形成过程,培养自主学习、合作交流的能力.通过追加思考,让学生更深入的 理解圆的概念,培养学生严谨的学习态度. 共同探究 圆的对称性 【师生活动】 教师引导学生通过折叠、旋转课前准备的圆形纸片,回答下面的问题. 1.什么是轴对称图形、中心对称图形? 2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 3.圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么? 4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗? 5.直径是圆的对称轴正确吗? 【师生活动】 学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对 称轴”这个结论错误的原因. 【课件展示】 圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对 称图形,圆心是它的对称中心. 实际上,圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合. 设计意图 通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,探索圆的对 称性,了解圆的基本性质,为后边学习圆的性质做铺垫. 7 过渡语 为进一步认识圆的有关性质,我们先了解关于圆的一些概念. 认识圆的有关概念 活动一: 自主学习教材 147 页. 【学生活动】 互相交流和圆有关的概念及表示方法. 【课件展示】 1.弦、直径: 圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.过圆心的弦叫做这个圆的直径. 2.弧、半圆: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条 弧,这样的一条弧叫做半圆. 大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. 如图所示,点A,B,C,D在O上.线段AB为O的一条弦,AC为O的直径.直径AC所 分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆ABC.以AB为端点的弧有两条,其中劣弧用来表示,读 作“弧AB”,优弧用来表示,读作“弧ADB”. 3.等圆、等弧: 能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条弧叫做等弧. 半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等. 活动二: 思考下列问题: 1.直径是弦,弦是直径正确吗?直径是最长的弦吗? 2.半圆是弧,弧是半圆正确吗?半圆是最长的弧吗? 3.长度相等的两条弧是等弧吗?为什么? 【师生活动】 小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点. 设计意图 通过学生自主学习,掌握和圆有关的概念,培养学生的自学能力,同时通 过活动 2,加深学生对概念的辨析与再认识的过程. 知识拓展 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径. 2.到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 3.圆可以看做到定点的距离等于定长的点的集合. 4.圆是一条封闭的曲线,是指圆周而不是指圆面,圆由圆心确定位置,由半径确定大小. 5.弦是一条线段,它的两个端点都在圆上. 6.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦. 8 1.圆的定义:平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫 做圆心,这个定长叫做圆的半径. 2.圆的元素:圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小. 3.圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.和圆有关的概念:弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧. 1.下列说法:直径不是弦;半圆是弧,但弧不一定是半圆;在同圆或等圆中,优弧 一定比劣弧长;长度相等的弧是等弧.其中正确的有( ) A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个 解析:直径不是弦,错误;半圆是弧,但弧不一定是半圆,正确;在同圆或等圆中, 优弧一定比劣弧长,正确;能够完全重合的弧是等弧,长度相等的弧不一定能重合,错误. 故选 B. 2.如图所示,在O中,弦的条数是( ) A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 解析:观察可得,AB,BC,BD,CD都是O的弦.故选 C. 3.如图所示,AB是O的直径,点C,D在O上,BOC=110,ADOC,则AOD= . 解析:BOC=110,BOC+AOC=180,AOC=70, ADOC,OD=OA,D=A=70,AOD=180-2A=40.故填 40. 9 4.如图所示,O为圆心. (1)写出图中所有的直径; (2)写出图中所有的弦; (3)写出以A为一个端点的所有弧. 解:(1)直径有AC,BD. (2)弦有AB,AC,BD,BC. (3)以A为一个端点的弧有,. 28.1 圆的概念及性质 圆的概念 共同探究 圆的对称性 认识圆的有关概念 一、教材作业 【必做题】 教材第 148 页习题 A 组第 1,2,3 题. 【选做题】 教材第 149 页习题 B 组第 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.以点O为圆心作圆,可以作( ) A.1 个B.2 个 C.3 个D.无数个 2.下列说法不正确的是( ) A.半径相等的两个圆是等圆 B.半圆所对的弦是直径 C.长度相等的弧是等弧 10 D.直径是圆中最长的弦 3.如图所示,将一个含有 60角的直角三角板摆放在半圆形纸片上,O为圆心,则ACO的 度数为( ) A.150 B.120 C.100 D.60 4.已知圆外一点和圆周的最短距离为 2,最长距离为 8,则该圆的半径是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.已知圆O的半径是 3,圆上有一定点P,一动点Q,当Q沿圆周运动时,PQ长度的取值范围 是 . 6.如图所示,分别以A,B两点为圆心,线段AB的长为半径的两个圆相交于C,D两点,则 CAD= . 7.如图所示,已知OA,OB,OC是O的三条半径,AOC=BOC,M,N分别为OA,OB的中点,求 证MC=NC. 8.如图所示,AB是O的弦(非直径),C,D是AB上的两点,并且AC=BD.求证OC=OD. 【能力提升】 9.如图所示,以ABC的边BC为直径的O分别交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,若A=65,则 DOE= . 11 10.如图所示,CD是O的直径,EOD=84,AE交O于点B,且AB=OC,求A的度数. 【拓展探究】 11.如图所示,O的半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且CE=DF.请探究线段AE与BF的数 量关系,并给予证明. 12.如图所示,两正方形彼此相邻且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆 的直径上,CO=BO,小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,B,E两点在半圆O的直径上,点G在 大正方形的边AB上,若小正方形的边长是 4 cm,求该半圆的半径. 【答案与解析】 1.D(解析:因为半径没有确定,所以以点O为圆心可以作无数个圆.故选 D.) 2.C(解析:半径相等的两个圆能够完全重合,是等圆,故 A 正确;半圆所对的弦是直径,故 B 正确;长度相等的弧不一定能重合,故 C 错误;直径是圆中最长的弦,故 D 正确.故选 C.) 3.B(解析:由图可知,OBC=60,OC=OB,OBC是等边三角形,BCO=60,则 ACO=120.故选 B.) 4.C(解析:圆的直径是 8-2=6,圆的半径是 3.故选 C.) 5.0PQ6(解析:Q沿圆周运动,PQ的最短距离为P,Q两点重合时,最小值为 0,PQ的最长 距离为PQ为直径时,最大值为 6.故填 0PQ6.) 6.120(解析:连接BC,BD.根据题意,得AC=BC=AB=AD=BD,BAC=BAD=60. CAD=120.故填 120.) 7.证明:OA,OB为O的半径,OA=OB,M是OA的中点,N是OB的中点,OM=ON, 12 AOC=BOC,OC=OC,MOCNOC,MC=NC. 8.证明:如图所示,连接OA,OB.OB=OA,A=B.又AC=BD,AOCBOD,OC=OD. 9.50(解析:A=65,B+C=180-65=115,又 OB=OD=OE=OC,BDO=DBO,OEC=OCE,BDO+DBO+OEC+OCE=2115=230 ,BOD+EOC=2180-230=130,DOE=180-130=50.故填 50.) 10.解:如图所示,连接OB.AB=OC,AB=BO,BOC=A,EBO=BOC+A=2A,又 OB=OE,E=EBO=2A,EOD=E+A=3A,而EOD=84,3A=84, A=28. 11.解:AE=BF.证明:如图所示,连接OA,OB,OA=OB,OAB=OBA,即OAE=OBF.又 OC=OD,CE=DF,OE=OF,OEF=OFE,AEO=BFO.在OAE与OBF中,OAE OBF(AAS).AE=BF. 12.(解析:连接OA,设大正方形边长为x,根据勾股定理可得大圆半径,连接OF也可得直角 三角形,已知小正方形的边长,在直角三角形中,利用勾股定理即可求解.) 解:连接OA,OF.设大正方形的边长为 2x,圆的半径为R,则BO=x,AB=2x.小正方形的边长 为 4 cm,小正方形的边长BE=EF=4,由勾股定理,得R2=OB2+AB2=OE2+EF2,即x2+4x2=(x+4) 2+42,解得x=4 或x=-2(舍去),R=4(cm).即该半圆的半径为 4 cm. 圆在实际生活中无处不在,通过观察现实生活中有关圆的实例,激发学生探究有关圆的 13 知识的欲望,同时体会圆在生活中的应用,感受圆上各点的特殊性.本节课通过创设问题情 境,引导学生观察、思考、归纳总结形成圆的概念,本节课的主要学习方式为自主学习、合 作交流、共同探究、归纳总结,通过让学生动手操作,发现圆的对称性,在整个教学过程中, 自主学习、合作交流、归纳总结等学生活动贯穿始终,让学生真正体会数学概念的形成过 程,培养了学生自学的能力和与人交流的能力,提高了学生归纳总结的能力. 圆是学生在小学中就认识的一个图形,本节课的内容较少,学习应该是很简单的课时, 所以在教学设计时以为学生通过自学就能掌握所有知识,造成在概念形成时过于急躁,对概 念的掌握不太牢固,造成概念判断时出错较多,所以在以后的概念教学中,要重视概念的形 成过程,淡化某个问题的结论. 圆是生活中常见的几何图形,应用较为广泛,中考中也常会出现以圆为背景的题目,所 以在本节课的教学设计中,要重视圆的概念的形成和建构,让学生通过生活实例体会和感受 圆的概念,然后通过画圆感受圆上点的特征,在学生观察、思考、动手实践的过程中自然地 构建出圆的概念,然后用自主学习、合作交流的形式完成和圆有关的概念的学习,给学生自 学和交流的空间,通过学生之间的合作,体会数学学习带来的快乐. 练习(教材第 147 页) 1.解:画出的圆如图所示,其中OA=OB=2 cm,AC=3 cm,AB=4 cm,AE=2 cm. 2.解:如图所示,(1)ABC即为ABC旋转后得到的三角形. (2)为点B所经过的路径, 为点A所经过的路径. 习题(教材第 148 页) A 组 1.解:(1)如下表: 名 称 圆 心 弦半径 直径半圆 符 号 点OAB,CD OA,OB AB , (2)劣弧:,;优弧:,. 2.解:在.因为正方形对角线相等且互相平分,则OA=OB=OC=OD. B 组 1.解:如图所示. 14 2.解:相等.矩形的两条对角线相等,a=BC =OA,b=MD =ON,而OA=ON,a=b. 设计数学活动,重视知识形成 本节课主要探究圆的有关概念和性质,是对小学里已学过的圆的认识的巩固,也为本章 即将探究的圆的有关知识打下基础.本节课的重点是通过观察、操作、归纳,理解圆的定义,理 解和圆有关的弦(直径)、弧(优弧、劣弧、半圆)、等圆、等弧的概念,并通过动手操作、 归纳总结等数学活动探究圆的对称性.课前准备的生活中的圆形图片,由生活实例入手,激 发学生探究圆的知识的欲望,然后通过思考车轮为什么是圆形的,对圆有了直观的认识,通 过动手画圆,再次体会圆上各点的共同特征,很自然地归纳总结出圆的概念,通过学生自主 学习教材有关概念,通过合作交流解决疑难问题和强化知识点,通过教师精心设计的各种数 学活动,把课堂真正交给学生,给学生足够的时间思考和探索,教师只是一个引导者,引导学 生经历知识的形成过程,从而强化学习重点,提高学习能力,发展创新精神. 圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是 10,最小距离是 2,求此 圆的半径是多少? 解:如图所示,分两种情况: 当点P为圆O内一点,过点P作圆O的直径,分别交圆O于A,B两点, 由题意可得P到圆O的最大距离为 10,最小距离为 2, 则AP=2,BP=10, 所以圆O的半径为=6. 当点P在圆外时,作直线OP,分别交圆O于A,B两点, 由题可得P到圆O的最大距离为 10,最小距离为 2, 则BP=10,AP=2, 所以圆O的半径为=4. 综上所述,所求圆的半径为 6 或 4. 15 28.2 过三点的圆 1.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念. 2.理解“不在同一条直线上的三点确定一个圆”. 3.能熟练掌握应用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法. 1.通过独立思考、动手操作、合作交流等数学活动,不断积累数学活动的经验,提高学 生动手操作的能力,体会转化、数形结合思想在数学中的应用. 2.通过学生自己动手作图,在动手参与的过程中探索、发现科学知识,进一步提高学生 动手操作的积极性,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力. 1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题和解决数学问题的兴趣和 欲望. 2.通过小组合作交流,学会与他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果. 3.增强学生的数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣,培养学生永无止境的科学探索 精神. 【重点】 “过不在同一条直线上的三点作圆”的方法. 【难点】 如何确定圆的思维过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P150151. 导入一: 复习提问: 1.根据圆的定义,确定圆的两个基本要素是什么? 2.如何用尺规作图作线段的垂直平分线? 3.线段垂直平分线有什么性质? 4.三角形三边的垂直平分线的交点有几个?交点与三角形三个顶点之间在距离上有什 么关系? 导入二: 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你能帮助这位考古学家 16 画出这个碎片所在的整个圆吗? 过渡语 要画出圆就要找到圆心和半径,怎样找到圆心和半径,我们学习了这节课后 就会找到答案. 设计意图 通过提问,既复习了前面的知识,又使学生进入了状态,为本节课的学习 做好铺垫.由生活实例导入新课,激发学生的求知欲望,让每个学生都迅速进入积极思维的 状态. 过渡语 两点能够确定一条直线.那么,两个点能确定一个圆吗?三个点呢?让我们一 起探究这些问题! 共同探究 不在同一条直线上的三点确定一个圆 思路一 【课件展示】 动手操作,并思考回答: 1.作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆? (圆心和半径的位置不定,可以作出无数个圆) 2.平面上有两点A,B,过点A,B的圆有多少个?这些圆的圆心到点A,B的距离具有怎样 的关系?圆心是否在线段AB的垂直平分线上? (过两点A,B的圆有无数个,这些圆的圆心到点A,B的距离相等,它们的圆心在线段AB 的垂直平分线上) 【师生活动】 学生独立思考、动手画图,小组合作交流,针对 2 教师引导:圆上的点 到圆心的距离相等,确定圆心的位置时,使它到点A,B的距离相等,圆心在线段AB的垂直平 分线上.学生黑板上作图,教师进行点评. 3.平面上三点A,B,C不在一条直线上.过点A,B,C的圆是否存在?如果存在,这样的圆 有多少个?你能确定经过A,B,C三点的圆的圆心及半径吗? (存在,只有一个,分别作线段AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心, 圆心到其中一点的距离就是半径) 4.如果平面上三点A,B,C在一条直线上,经过A,B,C的圆是否存在?为什么? (不存在,因为线段AB,BC的垂直平分线平行,没有交点) 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,教师巡视中帮助有困难的学生,对有困 难的学生引导分析,所求的圆要经过A,B,C三点,所以圆心到这三点的距离相等,因此这个 点要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上.教师对学生的回答进行点 评纠正,师生共同归纳结论,然后课件展示. 【课件展示】 如图(1)所示,过平面内一点A,有无数多个圆,圆心的位置和半径的大小不确定. 17 如图(2)所示,过平面内两点A,B,有无数多个圆,这些圆的圆心到A,B两点的距离相等,即 圆心在线段AB的垂直平分线上. 如图(3)所示,过平面内不共线的三点A,B,C,有且只有一个圆,圆心到A,B,C三点的距 离相等,即圆心为线段AB,BC的垂直平分线的交点. 过同一条直线上的三点的圆不存在. 思路二 【课件展示】 教师引导学生思考、操作: 1.确定一个圆需要 、 两个元素,过平面内点A,你能作出 个 圆. 2.画出过平面上一点A的圆. 3.圆心到圆上两点A,B的距离 ,所以圆心在线段AB的 ,则过平面上 两点A,B有 个圆. 4.画出过平面上A,B两点的圆. 5.圆心到圆上两点B,C的距离 ,所以圆心在线段BC的 ,则过平面上 不共线的三点A,B,C有 个圆,圆心是 ,半径是 . 6.如果平面上三点A,B,C在一条直线上,经过A,B,C的圆是否存在?为什么? (不存在,因为线段AB,BC的垂直平分线平行,没有交点) 【师生活动】 教师引导学生思考、回答,对学生的回答进行点评、归纳,师生共同完 成两个画图,课件展示结论和图形. 【课件展示】 如图(1)所示,过平面内一点A,有无数多个圆,圆心的位置和半径的大小不确定. 如图(2)所示,过平面内两点A,B,有无数多个圆,这些圆的圆心到A,B两点的距离相等,即 圆心在线段AB的垂直平分线上. 如图(3)所示,过平面内不共线的三点A,B,C,有且只有一个圆,圆心到A,B,C三点的距 离相等,即圆心是线段AB,BC的垂直平分线的交点. 过同一条直线上的三点的圆不存在. 18 设计意图 通过动手操作、观察思考、合作交流、归纳结论,体会数形结合思想在 数学中的应用,培养学生的数学思维能力和归纳总结能力,同时掌握把实际问题抽象转化为 数学问题的重要思路. 做一做: 如图所示,过不在同一条直线上的三点A,B,C画圆. 【师生活动】 教师给学生足够的时间动手操作,然后小组交流答案,小组代表板书过 程(或教师课件动画展示画图过程),并做出点评. 【课件展示】 作法:如图所示. 1.分别连接AB,BC; 2.分别作出线段AB,BC的垂直平分线l1和l2,设它们的交点为O,则OA=OB=OC; 3.以点O为圆心,OA(或OB,OC)为半径作圆,则O即为所作的圆. 结论:不在同一条直线上的三点确定一个圆. 设计意图 通过动手操作,引导学生进一步认识“过不在同一条直线上的三点只能 画出一个圆”这一事实,进一步体验数学活动的探索与创造,感受数学的严谨性. 19 例题讲解 (教材 151 页例)用尺规作过三角形三个顶点的圆. 已知:如图所示,ABC. 求作:O,使它过三点A,B,C. 【师生活动】 学生独立完成作图过程,学生展示回答作图过程,并完成板书,教师课 件展示作法,规范学生的几何语言,并归纳三角形的外接圆的概念. 【课件展示】 作法:如图所示. (1)分别作线段AB和BC的垂直平分线l1和l2.设l1与l2相交于点O. (2)以点O为圆心,OA为半径画圆. O即为所求. 我们把经过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外 心. 【思考】 1.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离有什么关系? 2.钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的外心在什么位置? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,学生回答问题,教师点评归纳. 20 设计意图 通过动手操作、思考交流,进一步体验数学活动的探索与创造,感受数学 的严谨性,让学生经历知识的形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力和数学思维. (节前导入情境)一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你 能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整个圆吗? 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,共同完成确定圆心的过程,教师巡视中 帮助有困难的学生,对学生的展示点评,并归纳已知一段弧,作所在圆的圆心的方法. 结论: 在残缺的圆上(或弧上)任意选取三点,确定过这三点的圆心就是所在圆的圆心. 设计意图 学生通过独立思考、合作交流完成节前导入生活情境,做到整节课首尾 呼应,让学生体会数学在实际生活中的应用,巩固作三角形的外接圆的方法,同时培养学生 的合作精神以及数学的应用意识. 知识拓展 1.经过同一条直线上的三个点不能作圆,要注意“过三点的圆”中的“三点”不在同 一直线上,故“过三点有且只有一个圆”这种说法是错误的. 2.“确定”一词是指不仅能作出一个圆,而且只能作出一个圆,即“有且只有”的意思. 3.任意一个三角形都有且只有一个外接圆. 4.三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心,它还是三角形三条边的垂直平分线的交 点,它到三角形各个顶点的距离相等. 5.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝 角三角形的外心在三角形的外部. 1.过平面内一点有无数多个圆. 2.过平面内两点有无数多个圆,圆心在线段的垂直平分线上. 3.作三角形的外接圆. 4.不在同一条直线上的三点确定一个圆. 1.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个圆 B.任意的一个三角形一定有一个外接圆 C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D.任意一个圆有且只有一个内接三角形 21 解析:不在同一条直线上的三个点确定一个圆,所以 A 错;任意三角形的三个顶点不在 同一条直线上,所以一定有一个外接圆,所以 B 正确;三角形的外心是三边垂直平分线的交 点,所以 C 错;任意一个圆有无数个内接三角形,所以 D 错.故选 B. 2.如图所示,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这 4 个点中的任意 3 个点,能 画圆的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:根据题意得出:点D,A,B;点D,A,C;点D,B,C可以确定一个圆.故过这四点中的任 意 3 个点,能画圆的个数是 3.故选 C. 3.已知ABC的一边长为 10,另两边长分别是方程x2-14x+48=0 的两个根,若用一圆形 纸片将此三角形完全覆盖,则该圆形纸片的最小半径是 . 解析:解方程x2-14x+48=0,得x1=8,x2=6,即ABC的三条边长为 10,8,6.102=82+62,ABC是直角三角形,圆形纸片将此三角形完全覆盖的最小圆为三 角形的外接圆,那么圆形纸片的最小直径为直角三角形的斜边,即为 10,那么半径为 5.故填 5. 4.已知 RtABC的两直角边为a和b,且a,b是方程x2-3x+1=0 的两根,求 RtABC的 外接圆面积. 解:两直角边a,b分别是一元二次方程x2-3x+1=0 的两根, a+b=3,ab=1, c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=7, 圆的半径r=c=, RtABC的外接圆的面积为 r2=. 28.2 过三点的圆 共同探究 不在同一条直线上的三点确定一个圆 例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第 152 页习题 A 组第 1,2 题. 【选做题】 22 教材第 152 页习题 B 组第 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.对于三角形的外心,下列说法错误的是 ( ) A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它是三角形外接圆的圆心 C.它是三角形三条边垂直平分线的交点 D.它一定在三角形的外部 2.下列说法正确的是( ) A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B.过两点A,B的圆的圆心在一条直线上 C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点 D.过四点A,B,C,D的圆不存在 3.如图所示,在 55 的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆 心是( ) A.点PB.点Q C.点RD.点M 4.A,B,C为平面上的三点,AB=2,BC=3,AC=5,则 ( ) A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆周上 B.可以画一个圆,使A,B在圆周上,C在圆内 C.可以画一个圆,使A,C在圆周上,B在圆外 D.可以画一个圆,使A,C在圆周上,B在圆内 5.锐角三角形的外心在 ;直角三角形的外心在 ;钝角三 角形的外心在 . 6.若AB=4 cm,则过点A,B且半径为 3 cm 的圆有 个. 7.在 RtABC中,C=90,BC=5,AC=12,则ABC的外接圆半径为 . 8.如图所示,ABC,ABD,ABE都是以AB为斜边的直角三角形.求证点A,B,C,D,E在同 一个圆上. 23 【能力提升】 9.如图所示,已知O是ABC的外接圆,若AB=AC=5,BC=6,则O的半径为( ) A.4 B.3.25 C.3.125 D.2.25 10.“不在同一直线上的三点确定一个圆”.请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2,3), B(-3,-7),C(5,11)是否可以确定一个圆. 【拓展探究】 11.已知,如图(1)所示,ABC中,BA=BC,D是平面内不与A,B,C重合的任意一点, ABC=DBE,BD=BE. (1)求证ABDCBE; (2)如图(2)所示,当点D是ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BDCE的形状,并证明你的 结论. 【答案与解析】 1.D(解析:三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以 B 正确;三角形的外心是三角形三边 垂直平分线的交点,到三角形的三个顶点的距离相等,所以 A,C 正确;锐角三角形的外心在 三角形的内部,直角三角形的外心在斜边的中点处,钝角三角形的外心在三角形的外部,所 以 D 错误.故选 D.) 2.B(解析:过一点A的圆的圆心不能为点A,所以 A 错误;过两点A,B的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上,所以 B 正确;过不在同一条直线上的三点确定一个圆,圆心有且只有一个, 所以 C 错误;矩形ABCD的四个顶点在一个圆上,所以 D 错误.故选 B.) 24 3.B(解析:作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.故选 B.) 4.D(解析:根据题意可得,A,B,C三点在同一条直线上,三点顺序依次为A,B,C或C,B,A,所 以不可以画一个圆,使A,B,C都在圆周上,所以 A 错误;可以画过A,B两点的圆,此时点C在 圆外,所以 B 错误;可以画过A,C两点的圆,此时点B在圆内,所以 C 错误,D 正确.故选 D.) 5.三角形内部 斜边的中点 三角形外部(解析:三角形外心是三条边垂直平分线的中点, 画三边垂 直平分线确定交点的位置可得.) 6.2(解析:过点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,线段AB的中点到两端点的距离 是 2 cm,所以半径为 2 cm 的圆有一个,半径小于 2 cm 的圆不存在,半径为 3 cm 的圆有两 个.故填 2.) 7.6.5(解析:根据勾股定理可得斜边AB=13,又直角三角形的外心在斜边的中点,所以外接 圆的半径为AB=6.5.故填 6.5.) 8.证明:取AB的中点为O,连接OD,OC,OE.ABC,ABD,ABE都是以AB为斜边的直角 三角形,OC=OD=OE=AB,即OC=OD=OE=OA=OB,点A,B,C,D,E在同一个圆上. 9.C(解析:过A作ADBC于D,连接BO,ABC中,AB=AC,ADBC,则AD必过圆心O,RtABD 中,AB=5,BD=3,AD=4,设O的半径为x,RtOBD中,OB=x,OD=4-x,根据勾股定理,得 OB2=OD2+BD2,即x2=(4-x)2+32,解得x=3.125.故选 C.) 10.解:设经过A,B两点的直线解析式为y=kx+b,由A(2,3),B(-3,-7),得解得经过A,B两 点的直线解析式为y=2x-1;当x=5 时,y=2x-1=25-1=911,所以点C(5,11)不在直线AB 上,即A,B,C三点不在同一直线上,所以A,B,C三点可以确定一个圆. 11.(1)证明:ABC=DBE,ABC+CBD=DBE+CBD,ABD=CBE,在ABD与 CBE中,BA=BC,ABD=CBE,BD=BE,ABDCBE. (2)解:四边形BDCE是菱形.证明 如下:同(1)可证ABDCBE,CE=AD,点D是ABC外接圆圆心,DA=DB=DC,又 BD=BE,BD=BE=CE=CD,四边形BDCE是菱形. 本节课由复习旧知识和创设情境画圆形瓷器碎片所在圆形引入新课,既能为本节 课的学习做好铺垫,又能激发学生的学习兴趣.在教学设计中,让学生亲自动手画圆,观察与 25 操作相结合,经历确定圆的过程,体会过一点、两点、三点可以作几个圆,通过操作、交流、 归纳等数学活动得出结论,培养学生独立思考、与他人合作的能力及归纳总结能力,在整节 课的探究过程中,以学生动手操作、观察思考、归纳结论为课堂载体,让学生思维活跃,积 极参与思考和交流,课堂气氛活跃,每个学生都在享受学习带来的快乐.让学生经历知识的 形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力和数学思维. 本节课通过复习旧知识导入和创设情境导入比较,通过复习旧知引入效果要好一点,这 可从学生课堂练习表现出来,通过创设情境引入,可以引起学生更大的兴趣,课堂更活跃,但 是为了创设情境比较牵强的设计情境教学,让课堂的教学思路有些杂乱,几何的学习主要培 养学生的逻辑思维能力,所以以后的教学设计中多设计提高学生数学思维的环节,大胆去掉 一些花架子. 本节课的重点是探索过不在同一条直线上的三点确定一个圆及如何过给定的两点和三 点作圆,通过复习旧知识,直接导入本节课的学习,在教学设计中主要通过一系列动手操作、 观察、思考、归纳等探究活动,体会分类思想和数形结合思想,经历知识的形成过程,达到 在数学课堂上培养分析问题、解决问题的能力,所以在教学设计上多多设计学生活动交流 展示的环节,把难点以问题的形式提出来,降低难度,让学生分析解决,真正达到能力的提升. 练习(教材第 151 页) 1.解:相等,因为外心是外接圆的圆心,所以到三角形各顶点的距离都相等. 2.解:图略.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在三角形斜边的中点上; 钝角三角形的外心在三角形的外部. 习题(教材第 152 页) A 组 1.解:直角三角形的外接圆半径为斜边的一半,根据勾股定理,可以得斜边为 13 cm,故外接 圆半径为 132=6.5(cm). 2.解:如图所示,点O就是所在圆的圆心. B 组 26 1.解:图略,点D不在这个圆上. 2.解:连接PQ,作PQ的垂直平分线,交APB的两边分别为点M和点N,分别以这两个点为 圆心,PM,PN为半径画圆即可,所以有两个,图略. 1.圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学中都占有重要的地位,本节课的重点是探 索不在同一条直线上的三点确定一个圆,在今后的解题及几何证明中,将起到重要的作用. 通过复习旧知识引入这节课内容,通过动手操作、小组合作交流等数学活动,归纳总结出不 在同一直线上的三点确定一个圆,并由此掌握如何画三角形的外接圆,让学生经历知识的形 成过程,得到画三角形的外接圆的方法及有关概念,通过对探索过程的反思,进一步强化对 分类和化归思想的认识. 2.本节课的教学内容是探索过三点的圆,看似内容少而简单,但让学生真正理解并掌握 数学思想和方法,却并非简单,教师在课堂上忽略这一过程,学生虽会做题,却无法体验数学 的本质,所以在教学设计中,重视知识的形成过程,教师给学生提供更多的从事数学活动和 交流的机会和空间,让学生动手操作,通过教师的引导,小组合作交流,共同归纳结论,通过 设计的数学活动,促使他们在自主探索的过程中,真正理解和掌握基本的数学知识、数学思 想和数学方法,同时获得广泛的数学经验.本节课运用操作、探究、讨论、发现等方法贯穿 课堂始终,小组合作学习让学生在小组中尽情表达自己的观点,建立自信,取长补短,培养与 人合作的能力. 平面上有不在同一直线上的四个点,过其中三个点作圆,可以作出n个圆,那么 n的值不可能为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 本题要分为三种情况:当四点都在同一个圆上时,如图(1)所示,此时n=1; 当三点在同一直线上时,如图(2)所示,分别过A,B,C或A,C,D或A,B,D作圆,共 3 个圆,即 n=3;当A,B,C,D四点不共圆,且其中的任何三点都不共线时,如图(3)所示,分别过A,B,C 或B,C,D或C,D,A或D,A,B作圆,共 4 个圆,即此时n=4.综上,n不能是 2.故选 B. 27 28.3 圆心角和圆周角 1.理解圆心角、圆周角的概念. 2.探索圆心角及其所对的弧、弦之间的相等关系. 3.探索圆周角与圆心角的关系,会在具体情景中辨别圆周角. 4.了解圆周角定理及推论,理解圆周角定理及其推论的证明过程. 5.会运用圆心角与所对的弧、弦之间的关系,圆周角定理及其推论进行简单的计算和 证明. 6.理解圆内接多边形等有关概念. 7.掌握圆内接四边形性质,并能应用性质进行计算. 1.通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动,培养合情推理能力以及概 括问题的能力,激发学生的学习兴趣. 2.在探索圆周角与圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论、转化的数学思想解决 问题. 3.在教学过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,并与同伴进行交流,提高学生合作意识, 体验学习的快乐. 4.通过应用所学定理及推论解决简单的问题,培养学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力,进一步提高学生的应用能力和思维能力. 1.经历探索与圆心角、圆周角有关的定理及推论的过程,发展学生的数学思考能力. 2.引导学生对图形的观察、发现,帮助学生有意识地积累活动经验,激发学生的好奇心