子空间描述有两种

微分形式的应用之子空间描述 一、子空间描述 子空间描述有两种，一种是代数的，一种是几何的。 比如用代数的方式定义了三维空间上的抛物线。同样映射01, 01 2 xzyx 用几何的方式定义了三维空间上的同样的抛物线。,1)(, 2231 ssssRR： 代数描述是给定这个子空间的满足的条件，用方程组表示。,.,1, 0)(nigix 即子空间上每个点都满足这个方程组；同样满足这个方程组的点都属于这个子空间。 构成方程组的函数可以作为生成元来构成了代数理想，这个理想可以表述为 ；)(| )()(A是解析函数xxx i i ii cgc （顺便解释一下理想，理想是这样一个集合，任何元素和这个集合的元素相乘后就会变成 这个集合的元素。 ）求解方程组的过程就是在这个理想中寻找简单的生成元的过程，也是确 定子空间维数的过程。对于多项式函数的理想的约化就是寻找 Grobner 基。同样地，子空 间上每个点都能零化这个理想；同样零化这个理想的点都属于这个子空间。研究这些子空 间或理想整体特征的就是代数几何的任务。 几何描述的子空间采用映射形式，将参数空间映射到实际空间。MN )(,sy NM： 这个映射如果是浸入映射，参数遍历空间中的点时，像点就遍历了一个子空间。M 如果描述的是同一个子空间， 这两种描述的关系是 0A * 称是的解。0A 2、子空间的局部描述 子空间的局部描述也分为两种，余切空间和切空间 比如是余切空间描述，而是切空间描述，0d, 0ddxzzdyx zyx zz22 他们都给出同样的抛物线这一点处的切线。 给定了方程组的描述，对方程组的函数的微分就可以给出余切空间的描述。同样地 给定了映射描述的解，就可以给出切矢量。 余切空间给定了切空间无穷小位移满足的条件。用一些微分形式的方程 描述；这些微分形式可以通过外代数构成理想，描述为,.,1, 0mi i |)(I式任意阶的解析的微分形 i i ii x 理解余切空间的诀窍是寻找这个理想的简单生成元的过程，也是确定这个理想的秩的过程。 一般给定任意一组微分形式，总能够确定切空间的基矢量,.,1, 0mi i ，满足,.,1,sjvj ,.,1;,.,1,sjmii k k k ivji j 。这些基矢量就能够构成切空间但是这个切空间不一)(|)(C r 1j 是解析函数xx i j j cvc 定是某个子空间的切空间，Frobenius 定理表明，只有才能满足。可积条 k k ji vcvv ij )(,x 件更简洁的叙述为 ， CCC, 实际上这个可积性取决于微分形式的理想，Frobenius 定理表明，可积性还可以表述为 ，这个表述更简洁的表述为 j j ii wd IdI 如果描述的是同一个切空间， 这两种描述的关系是，称为的特征矢IIiCCI 量空间。 3、微分形式与切矢量的缩并运算 我们知道 代表函数的值的变化值（在给定一维子空间时） 。如果给定 i ifdx df)(x 一维子空间的切矢量，这个变化值就可以描述为，这就给出了微 i i vvfdtvdfdti i i v 分形式与切矢量缩并运算的意义。 i i i j j i i v i i viv vvdxidxii j j 微分形式表示某种变化量，微分形式与切矢量的缩并表示微分形式在切矢量表示的子空间 的变换值。比如在引力场中做功用微分形式表示为 ，与的缩并，代表在水平旋转圆周上移动作功 2 r zdzydyxdx w yx xyv 结果表明这样移动做功为 0.0wiv 0-微分形式代表函数，不代表变化量。因此 0-微分形式与切矢量缩并为 0. 切矢量与两个 1-形式外积构成的 2-微分形式缩并运算 vvv iii 与 2-微分形式的缩并运算 ji ij ij ij ji ij ji ijvv dxvdxvdxvdxdxii2 4、微分形式的秩 给定一个微分形式，s-微分形式 我们可以选择与不同的基底。比如 s s ii ii dxdx. 1 1,., ,.,1,nidxi 如果选择最少的 r 个基底， ，使得，这就表,.,1,ridxgg ji j i r r ii ii gga. 1 1,., 明，微分形式比较特殊，可以进一步简化。选择合适的基底就将 n-维余切空间基底简化为 r-维余切空间基底表示。这个最小的就是微分形式的秩。比如力学中辛形式r 在给定合适的能量表达后就能够简化dtdHdpdq ii ）（ ）（）（ ）（ dtHdpdtHdq dtHdtHdpdtHdpdq dtdpHdtHdpdq ii iii ii qipi pqiqii ipqii , , , ) 这个微分形式的秩为 2d，d 是力学自由度数。 再如面形式 )/()()( / )/()( / )/)()( / )( / )( rxydxxdyxdzzdx rxydxdyxdzzdx rxydxzdxxdzdyxdzzdx rdxydzdyxdzzdx rdxydzdzxdydyzdx 的秩为 2。因此任何 2-形式都可以表述为形式，其秩为 2s. s i ii 5、微分形式的特征矢量空间 n-维空间中微分形式的秩 r 如果小于 n,这个微分形式就存在 n-r 维特征切空间。 微分形式的特征矢量为能零化这个微分形式。v 0 v i 当然，如果微分形式秩为 r，切简化为 ，那么特征矢量又可以由下 r r ii ii gga. 1 1,., 面条件决定 ,.,1, 0rigi i v 例如的特征矢量是组成的 2-维切矢量空间，zdzydyxdx zxyx -x,z-xy 的特征矢量是组成的一维切矢量）（dtHdpdtHdq ii qipi, ) tpqqp iiii HH , 空间， 的特征矢量是组成的一rdxydzdzxdydyzdx/ )( zyx zyx 维切矢量空间。 如果可积，在包含特征矢量积分出来的 n-r 维子空间为子空间的 s 维子空间上，这 个微分形式为 0，这个子空间便是微分形式方程的解. 比如的解0zdzydyxdx 为，constzyx 222 或者映射 cos,sinsin,cossinRzRyRx （），：（ ，其中是任意常数。R 的解为包含径向直线的曲面，即任意函数0/ )(rdxydzdzxdydyzdx 表示的曲面，或者映射constf),( )(cos),(sin)(sin),(cos)(sinsrzssryssrxrs），：（ 其中是任意的函数。)()(ss， 微分形式表示的方程主要求解和分析主要依赖特征矢量子空间。 1-微分形式有 n-1 维特征矢量，如果他们可积，就能构造曲面，这些特0)(xf 征矢量是这个曲面的切矢量。同时。)()(xx dfg 给定一些微分形式集合,他们就能构造出微分形式理想。这个微分形式理想的特I 征矢量满足v IIiv 特别地，对于微分形式理想中的 1-微分形式，有。 0 v i 6、微分形式的外积 我们将函数看作 0-微分形式，对其微分就构成了 1-微分形式。)(xf i ifdx df)(x 1-微分形式线性组合还是 1-微分形式,.1,)(sdxi i x i i dxcc )()(xx 两个 1-微分形式和通过外积构造出 2-微分形式 ji ijji ji ji j j i i dxdxdxdxdxdx)( 2 1 一个 1-微分形式的外微分构造出 2-微分形式 ij ij i i dxdxdxdd 两个 1-微分形式和的外积的直观可以结合几何描述理解。 反映了函数值的变化量，反映了函数值的 i i dxfdf)()(xxf i i dxgdg)()(xxg 变化量，则给出了空间上的面积元。在给定二维子空间 ji ji dxgdxfdgdf,gf 后，给出这个面积值),(, 2 tsMRx： dtdstsgtsfdgdf j t i t j s i s ji ),(),( * 两个 1-微分形式和的外积的直观也是个面积值，其边矢量分别为，在二维 子空间的求值。 如果，那么相关。即存在两个函数，使得0，)(),(xx ba ，实际上，任意一个切矢量与其缩并，就有0ba i x i vv ， vvv iii)(0 这里。 i i vi i v vibvia, 如果那么函数互为函数，即存在；如果只在某个0dgdfgf ,0),(gfW 点上，那么函数在点处相切。 0 xx 0dgdfgf , 0 xx 还可以理解为中与无关的部分与外积。 三维空间上函数偏导数，就是指在固定时，变化时的变化率。 相当于f x zy,xf 约束在 x 子空间上求值。 dzdydx dzdydf f x 可以这样理解代表中和无关的改变量与外积；dzdydfdfdy dz dzdy 则代表中和无关的该变量与外积，这样通过比例就消除了dzdydxdxdydzdzdy 依赖和的成分。也可以理解为在确定的一维空间方向上的方向导数。dydzf0dzdy 这个一维子空间如果用函数定义，那么约束导数0, 0gh hh gg hhh ggg fff zyxhgx zyxhgf dhdgdx dhdgdf f zy zy zyx zyx zyx hgx / ),(/ ),( ),(/ ),( 0, 0 可见，对于约束在函数定义的子空间上的导数，很方便。 对于一些微分形式，如果可积，就能够定义子空间，我们可以计算约束在这样定义的 子空间上的导数。比如约束在定义的子空间上0/ )(rdxydzdzxdydyzdx 的导数可以这样计算 x fyfxfz dzxdydx dxydzdzxdydyzdxdf dxydzdzxdydyzdxdx dxydzdzxdydyzdxdf dx df zyxf yxz x )( )( )( ),( 约束在定义的子空间上的导数这样计算0zdzydyxdx yz fyzfzxfyx dzyzdyxdxzdzxdxydydx dzyzdyxdxzdzxdxydydf zdzydyxdxzdzydydx zdzydyxdxzdzydydf zdzydyxdxzyddx zdzydyxdxzyddf zyddx zyddf x zyxf xyz constzy 2 242 )242( )242( )()42( )()42( )()2( )()2( )( )(),( 22 22 22 22 ,2 22 对于约束可积的微分形式理想定义的子空间上的导数可以这样计算 先在这个理想中寻找与这个理想的秩 r 的相同秩的 r-微分形式元素，仿照上面的方 法计算约束在定义的子空间上的导数。0 那么如果微分形式不可积怎么办？ 比如热力学关系中 0PdVTdSdE 在给定状态方程（比如）之前，并不能定义一个子空间，因为不可积。0),(SVEf 即这个微分形式并不能给出这些变量之间的关系，但是可以给出他们一E,T,S,P,V 些量的变化量的关系。建立他们所有关系可以对他们进行微分，于是有 0 1 0 1 0 dS P T ddE P d P d dV T P ddE T d T d dVdPdSdTd 而且可以确定，只有两个独立的变量。于是，利用这些关系，可以推导很多热力学公 式，比如 VP TVVT TVVT ST T SS PP dVdP dVdT dVdT dSdP dSdT dVdT dVdT dSdP dSdT dSdP P )( )()( )()( )( 变换依赖变量 P E PE ST V S dPdEdVdP dPdEdSdP dPdEdSdT dPdEdSdP P / / / / )( 7、微分形式的外微分 微分形式的外微分这样计算 s s ii ii dxdx. 1 1. s s i s s iii ii x ii ii dxdxdxdxdxdd 1 1 1 1 外微分可以从下面积分公式理解 d 也就是说外微分对应的微分形式的在一个区域中的量值，是由原来微分形式在区域边 界上量值决定的。比如三维空间中，有 i idx ad rra)( ara arra d adxdxadxdaddd kjik ij ij ij i i )( )()( 对于 aa ra 321 32132