大学物理下课后题答案12章中国石油大学(华东)

12章习题参考答案 12-1 答案：1-5 DBADC 6-10 CDDAD 11-15 DDDAB 12-2 1、ER2 2 1 2、 S q 0 2 2 3、略 4、，方向为从 O 点指向缺口中心点 3 0 2 8R qd 5、 a q 0 8 12-3 真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电量为 q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为 d 的点 P 的电场强度。 解解 建立如图所示的坐标系 Ox，在距 O 点为 x 处取电荷元，它在 P 点x L q xqddd 产生的电场强度为 x xdL Lq xdL q r q Ed 4 1d 4 1 4 d d 2 0 2 0 2 0 则整个带电直导线在 P 点产生的电场强度为 dLd q x xdL Lq E L 0 0 2 0 4 1 d 4 1 故 idLd q E 0 4 12-4 用绝缘细线弯成的半圆环，半径为 R，其上均匀地带有正电荷 Q，试求圆心处点 O 的 电场强度。 解解 建立坐标系如图，在半圆环上取微元 dl ，则 ， ddRl l R Q qdd 在 O 点的场强 qd 2 0 2 0 4 d 4 d d R l R Q R q E 从对称性分析，y 方向的场强相互抵消，只存在 x 方向的场强 E d O x x xqdd O x x xqdd d 4 sin dsin 4 sindd 2 0 23 0 2 x R Q l R Q EE 2 0 2 0 2 0 2 xx 2 d 4 sin d R Q R Q EE i R Q E o 22 2 12-5 一半径为 R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为，试求圆 柱面轴线上一点的电场强度 E。 解解 建立坐标系如图，在无限长半圆柱面形薄筒上取的窄条，对应的无限长直线单l dl d 位长度所带的电量为 dddR R q 它在轴线 O 产生的场强的大小为 RR q E 0 2 0 2 d 2 d d 因对称性成对抵消。 y dE R EE 0 2 x 2 dsin sindd RR EE 0 2 0 0 2 x 2 dsin d i R E 0 2 12-6 一半径为 R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心点 O 处的场强。 【解 1】 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为 r，到球心距离为 x，所带电量绝 对值。xrqd2d 在 O 点产生的场强(利用圆环轴线场强公式) 23 22 0 x 4 d d rx qx E 带电半球壳在 O 点的总场强 23 22 0 23 22 0 xx 4 d2 4 d d rx xrx rx qx EE 由于 ，cosRx sinRr ddRl 所以 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 x 4 2cos 8 2d2sin 8 dcossin 2 E 方向沿 x 轴负向 【解 2】 取图示微元，则有: dl x O r x y dR E d x Ed y Ed O x y dR E d x Ed y Ed O 12-7 A、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为 E ，两平面外侧电场强度大小都是，方向如图。求两平面 A、B 上的电荷和。 0 3 0 E A B 解解无限大平面产生的场强为 0 2 E 则 0 A A 2 E 0 B B 2 E 322 22 0 0 A 0 B 0 0 A 0 B E E 解得 00A 3 2 E 00B 3 4 E 12-8 一半径为 R 的带电球体，其体电荷密度分布为 (rR)Ar (rR)0 A 为常量。试求球内、外的场强分布。 解解 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 应用高斯定理有 0 2 4 q rE q 为高斯球面内所包围的电量。设距球心 r 处厚度为 dr 的薄球壳所带电量为 dq rArrrqd4d4d 32 E0/3E0/3 E0 A B x y z dsind dd dd RR rl sq 2 0 d 4 1 d R q E dd cossinddcossin 0 2 0 2 44 R R cos d 4 1 cosdd 2 0 R q EEz 00 2/ 0 2 0 0 42 1 2 dcossind 4 z E rR 时 4 0 3d 4ArrArq r 解得 (rR) (或) 0 2 4 Ar E rE 0 2 4 Ar rR 时高斯面内包围的是带电体的总电量 Q 4 0 3 0 d4dARrArqQ RR 应用高斯定理 0 2 4 Q rE (rR) (或) 2 0 4 4r AR E rE 2 0 4 4r AR 当 A0 时，场强方向均径向向外；当 AR)0 试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。 解解 (1)因为电荷分布具有球对称性，把球体分成许多个薄球壳，其中任一球壳厚度为 dr， 体积为。在此球壳内电荷可看成均匀分布。此球壳所带电量为rr d4 2 rr R q Vqd 4 dd 3 4 则总电量为 qrr R q VqQ R 0 3 4 d 4 dd (2)在球内作半径为 r 的高斯球面，按高斯定理有 4 0 2 1 4 0 4 0 2 4 0 2 1 4 d4 1 4 R qr E R qr rr R qr rE r 得 (rR) 4 0 2 1 4R qr E 在球外作半径为 r 的高斯球面，按高斯定理有 0 2 24 q rE 得 (rR) 2 0 2 4r q E (3)球内电势，设无穷远处为零势能点 R R rR R r r q R qr UrrrErEd 4 d 4 dd 2 0 4 0 2 211 (rR) 3 3 0 4 0 3 0 4 12123R r R q R qr r q 球外电势 r q r q U rr 0 2 0 22 4 d 4 d rrE 12-12 如图所示，在 xOy 平面内有与 y 轴平行、位于和处的两条无限长平行 2 a x ax 2 1 均匀带电直线，电荷线密度分别为和。求 z 轴上任一点的电场强度。 解解 无限长带电直线在线外任一点的电场强度 r E 0 2 所以 P 点的场强 21 2 2 0 4 2 z a E 21 2 2 0 4 2 z a E 由对称性知合场强的 z 方向分量为零，x 方向分量 cos2 x EE 而 21 2 2 4 2 cos z a a 所以 方向指向 x 轴负方向 22 0 4 2 cos2 za a EE 12-13 如图所示，在半径为 R，体电荷密度为的均匀带电球体内点处放一个点电荷 O q。试求：点 O、P、N、M 处的场强 (、O、P、N、M 在一条直线上)。 O 解解 由电场叠加原理 2 OO0 qO 4 r q EEE 内 0 OM 2 NO0 2 ON0 3 OM 2 NO0 qN 344 3 4 4 r r q r r r q EEE 内 E- - a/2 x y z -a/2 O + PEx E+ 0 OP 2 PO0 2 OP0 3 OP 2 PO0 qP 344 3 4 4 r r q r r r q EEE 内 2 OM0 3 2 NO0 2 OM0 3 2 MO0 qM 344 3 4 4r R r q r R r q EEE 内 12-14 一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为 R，内半径为 R/2，并有 电荷 Q 均匀分布在环面上细绳长 3R，也有电荷 Q 均匀分布在绳上， 如图所示,试求圆环中心 O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上) 解解 先计算细绳上的电荷在 O 点产生的场强选细绳顶端作坐标原点 O，x 轴向下为正在 x 处取一电荷元 dq = dx = Qdx/(3R) 它在环心处的场强为 2 0 1 44 d d xR q E 2 0 412 d xRR xQ 整个细绳上的电荷在环心处的场强 2 0 3 0 2 0 1 16412R Q xR dx R Q E R 圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强 0 2 E 由此，合场强 方向竖直向下 i R Q iEE 2 0 1 16 12-15 电量 q 均匀分布在长为 2l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为 a 的点 P 的电 势(以无穷远为零电势点)。 解解 取如图所示的电荷元 dq，它在 P 点产生的电势为x l q qd 2 d xal x l q xal q u 2 d 82 d 4 1 d 00 则整个带电直线在 P 点产生的电势为 a al l q xal x l q xal x l q U l 2 ln 82 d 82 d 8 0 2 0 00 12-16 两个半径均为 R 的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q 和-Q，两球心相 距离为 d(d2R)。求两求心间的电势差。 解解 设带正电的球壳中心的电势为，带负电的为。 1 U 2 U O R 3R R/2 E1 x R 3R x dx O P x dq dx O x 根据电势叠加原理有 d Q R Q U 00 1 44 d Q R Q U 00 2 44 两球心间的电势差 dR Q d Q R Q UUU 11 222 000 2112 12-17 两根半径都是 R 的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间距为 d(d2R)，单位 长度上的带电量分别为+和-。求两直线间的电势差。 解一解一 由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电场强度为 rdr E 00 22 两导线间的电势差为 R Rd r rd r r rEU Rd R Rd R Rd R lnd 2 d 2 d 000 解二 由带正电直导线产生电势差为 R Rd r r rEU Rd R Rd R ln 2 d 2 d 00 AB 由带负电直导线产生电势差为 R Rd r r rEU R Rd R Rd ln 2 d 2 d 00 AB 因此两导线间的电势差为 R Rd UUU ln 0 ABAB 12-18 电荷面密度分别为+和-的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的 x 轴上 的-a 和+a 的位置上。设坐标原点 O 处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。 解解 无限大带电平板外场强的大小为 0 2 E 0 0 13 0 0 10 0 0 12 dd0 dd dd0 a Uax x rEUaxa a Uax E a a x x a a x lElE lE lElE 内内 内内 内内 - R E- xd P rd-rO E R + - a/ 0 a/ 0 a -a O U x 12-19 两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为，单位长度带电量为，外筒半径为 1 R 1 ，单位长度带电量为。求：图中 a、b 两点间的电势差；当零参考点选在轴线处 2 R 2 ab U 时，求。 a U 解解 以垂直于轴线的端面与半径为 r，长为 l，过所求场点的同轴柱面为封闭的高斯面。 rlE S 2d SE 根据高斯定理 q S 0 1 d SE 所以 2 0 21 21 0 1 1 2 2 0 Rr r RrR r Rr E 2 b 0 2 a b 0 1 ab ln 2 ln 2 dd b 2 2 aR R R R rErEU R R R R 内内 a 1 0 1 aOa ln 2 d 1 aR R rEUU R R 内 12-20 一半径为 R 的均匀带正电圆环，其线电荷密度为。在其轴线上有 A、B 两点，它 们与环心的距离分别为，。一质量为 m、带电量为 q 的粒子从点 A 运ROA3ROB8 动点 B，求在此过程中电场力作的功。 解解 由于带电圆环轴线上一点的电场强度为 23 22 0 4xR qx E 所以 A、B 两点间的电势差为 R R R R x xR qx rEU 8 3 23 22 0 8 3 AB d 4 d 0 21 2 2 0 21 2 2 0 12 84 2 34 2 RR R RR R 因此从点 A 运动点 B 电场力作功 0 AB 12 q qUW 12-21 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 q。沿径矢方向上有一均匀带电细线，线电荷密 度为，长度为 l，细线近端离球心的距离为。设球面和线上的电荷分布不受相互作用的 0 r 影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。 解解 1 取坐标如图，在距原点为 x 处取线元 dx，dx 的电量为，该线元在带电球面xqdd 电场中所受电场力为 x x q qxEFd 4 dd 2 0 整个细线所受电场力为 lrr ql x xq F lr r 000 2 0 4 d 4 0 0 dq 在 q 的电场中具有电势能 x x q x