数形结合思想在解题中的应用 毕业论文.docx

xxx学院本科毕业论文(设计)题目：数形结合思想在解题中的应用学 院 数学学院 专 业 数学与应用数学 班 级 xxxx级x班 学 号 xxxxxxxxxx 姓 名 xxx 指导教师 xxx xxx学院教务处制二一四 年 五月 xxx学院学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 年 月 日xxx学院关于论文使用授权的说明本人完全了解xxx学院有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日数形结合思想在解题中的应用摘 要数形结合就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考察，根据实际问题的需要，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。本文首先对数形结合思想方法作简要介绍。然后主要针对各种题型来研究数形结合思想方法在解题中的应用以及它的重要性，比如：集合问题、函数问题、解方程与不等式问题、三角函数问题、线性规划问题及解析集合问题等。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，简言之“数形相互取长补短”。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。关键词：数形结合思想；直观；应用；数学方法the application of the number form combining ideas in problem solvingabstractnumber form combination is the quantitative relationship between the problem space and graphics combined with investigation, according to the needs of practical problems, with the aid of graphics to study the quantitative relation or quantitative relation is used to study the properties of the graphics, is a kind of important mathematics thought method. this paper first logarithm form combining with a brief introduction of the thought method. then focuses on various questions to the number form combining ideas method in the application of problem solving as well as the importance of it, such as: collection, function problem, solving equations and inequalities problems, trigonometric functions, linear programming problems and analytical collection issues. it can make the abstract problem specific, complex problem simplification, in short number form mutual complement each other. therefore, the combination of number form should not only as a kind of problem solving methods, and should, as a kind of important mathematics thought method, it can broaden the students problem solving thinking, improve their ability of problem solving, it as a bridge knowledge into ability. keywords：several form combining ideas; intuitive; application; mathematical methods.目 录引言1一、集合问题1二、函数问题2三、方程与不等式问题4四、三角函数问题5五、线性规划问题7六、数列问题8七、解析几何问题8结束语 9参考文献10引言数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。本文就针对数形结合思想在解题中的应用简单谈一下自己的看法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，而我们在研究它们时尤其是在解题方面的研究，我们通常会把这两大部分联合起来，从而形成一种常用的数学思想方法，我们称之为数形结合思想。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好的起到化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。一、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例 1: 已知集合 , 求 。分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1-1, 由图我们不难得出。图1-1例2：已知,且, ,求集合和分析：由题意知，则5和13在集合中，则11和19在集合中， ，则3和7在集合,之外，画出图形，如图1-2所示，2和17在集合和的公共部分中，综上所述， 利用数形结合思想，很直观地得出结论：,.图1-2 由上面两个例子可以看出：利用数形结合非思想解决集合问题非常直观简单，只需要画出相应的图形，就可以从图形中直接得出答案。这不仅节省了很多推算过程，而且能使解答更加准确。因此，数形结合思想在解决集合问题时是非常方便的。二、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的性质、值域或最值，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例 3: 对于 , 取 , ，三个值的最小值。求与的函数关系及最大值。分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 , , 的图像，如图2-1。易得:， , 分段观察函数的最低点，故与的函数关系式是: 图2-1它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当时, 的最大值是 2。 例 4 :若函数是定义在上的偶函数,在上是减函数，且 ,求 的的范围。解:由偶函数的性质, 关于轴对称,由在上为减函数,且 ,做出图2-2,由图像可知，所以 图2-2例5、试证明：如果函数满足，则的图像关于直线对称。分析:证明函数图像的对称性，一般地可以转化为图像上点的对称性来处理；本题证明的图像关于直线对称，可在的图像(如图2-3)上任取一点，证明关于直线的对称点也在该函数图像上即可。证明：在的图像上任取一点，点关于的对称点为，则，故点坐标也满足，故点也在该曲线上，因此可得：的图像关于直线对称。图2-3点评:结合图形进行直观感知，一方面有助于理解和记忆函数的性质，另一方面有助于得到解题思路，获得快捷的解题方法。我们知道，函数问题在中学数学中是比较困难的问题，而它困难的主要原因是函数问题是比较抽象的问题，学生们很难理解。而由上面的例子可以看出，利于数形结合思想解决函数问题就会使就会使它变的形象化，从而易于理解，这样更能激起学生学习函数的兴趣。 三、解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例 6: 已知关于的方程，有 4个不同的实根, 求实数 的取值范围。分析: 设与这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像, 如图3-1。可知：图3-1(1)直线 与 , 相切时原方程有3个根。(2) 与 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线 应介于这两者之间, 由: 得, 再由 得, , 当时, 舍去, 所以实数的取值范围是 。例 7: 若不等式, 在内恒成立, 则的取值范围是什么?分析: 原不等式可化为， ，设与，在坐标系中作出，的图像，如图当时，显然, 当时，就恒成立。 当 时, 在上图像( 如图3-2)在的图像下方, 不合题意。图3-2 当 时，在上的图像（ 如图3-3）是减函数。只需 ，就可以使，恒成立。图3-3故，所以 , 综上有 。把方程不等式转化为函数, 利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。四、解决三角函数问题有关三角函数单调区间的确定、比较三角函数值的大小及三角函数最值等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，要充分发挥三角函数的几何意义及几何运算的功能,应用形数结合的思想,使问题巧妙地得到解决。例 8： 设 ，求证: 分析: 由条件联想等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形, 如图4-1，设, 利用，可得。图4-1例 9：已知，求证:。证明: 如图4-2,在单位圆中,设, , ,则 , , 点的坐标分别为,。图中三个矩形面积分别为,。显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有。图4-2例10： 如果 ,那么函数 的最小值是多少? 分析：从三角函数的角度来看,求 的最小值是一个比较陌生的问题,但是如果把数和形式结合起来,画出相应图像(如图4-3),从几何的直观性入手,则可立刻看出结论。 解： 令，因为,所以 ， 则, ，图像为图中实线部分。 所以当即时，有最小值且最小值为 。图4-3 三角函数问题在中学数学中也是比较抽象的一类问题，而利用数形结合思想方法便可以是这类问题变的形象化、直观化、简单化。五、解决线性规划问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。例11：已知且,求 的范围。解此题可直接利用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。在平面坐标系中作出直线 ，, , ,则和表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图5-1所示，令 , ，显然为直线系在轴上截距2倍的相反数,易看出,直线 过阴影最左边的点 时,取最小值 5 ；过阴影最右边的点 时,取最大值10。即 的范围是。图5-1该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。六、解决数列问题数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。例12： 等差数列中,前项的和 ,求 的值。解：代入等差数列的求和公式,则由，得,因为，所以,。这种解法易上手,但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式,其解法又将进一步简化。由，。因为，所以。若再进一步利用的二次函数图像就可产生如下解法：由，不妨设，而 的图像是一个过坐标原点的抛物线，则由可知，该抛物线的对称轴方程是，易知,抛物线和x轴的一个交点是原点,另一交点的横坐标是，故 。这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。七、解决解析几何问题解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、面的性质及其相互关系的研究中。例 13：如图7-1 ,矩形， ， ,在 上找一点 ,使 点与 ，的连线将矩形分成的3个三角形相似。设，问: 这样的点是否存在,若存在,这样的点有几个?请说明理由。解：假设在上存在点 ，使得3个三角形相似,所以一定是直角三角形。 .， , , 于是,得，即 ,(1)当 ,即时,方程无实数解, 点不存在；(2) ,即时,方程有两个相等的正实数根, 点只有一个；(3) ,即 时, ,方程有两个不相等的正实数根, 点有两个 。图7-1说明：本题是一道几何问题,其几何量之间的关系运用代数式及方程来表示,并根据方程的理论进行了由数到形的探究 。结束语数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。“数无形时不直观, 形无数时难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关系, 是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。在学习中, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用