数学教育专业毕业论文03073.doc

毕业论文题 目： 重要极限公式的研究及推广 主要内容简介:极限理论是数学分析重要理论基础,重要极限公式的证明及运用是高等数学学习中的一个重点，也是难点。但目前各种微积分教材中对此极限公式的证明、推广以及各种快捷计算方法的论述并不充分，不少学生对该公式的本质特征和计算方法缺乏全面、深刻地认识，致使不少学生在使用此公式时出现错误。争对这些问题，本文主要总结归纳了各种证明方法，并在此基础上给读者介绍几种新颖独特的证法。它们分别是利用二项式定理、利用均值不等式、伯努利不等式和其它简单不等式，巧用不等式基本性质，利用加权平均值的性质，利用确界原理等多种简洁而有意义的证法，并对其进行了归类.另外还在此基础上归纳总结了重要极限公式的六个基本特征和四个推广命题，使学生易于掌握和理解该重要极限公式，并能正确运用，从而提高学生运用创新思维灵活处理题目的能力。重要极限公式的研究及推广内容摘要：极限理论是数学分析重要理论基础，本文在研究重要极限公式常用证明方法的基础上，给读者介绍了几种新的证法，并归纳出四个推广命题和六个基本特征，使读者深刻理解和掌握该公式。证明重要极限公式的常用方法有：传统微积分教材中的构造阶梯函数法、二项式公式展开法等。本文主要以介绍新方法为主，它们分别是利用均值不等式、伯努利不等式和其它简单不等式，巧用不等式基本性质，利用加权平均值的性质，利用确界原理等多种简洁而有意义的证法，主要争对传统教材证法比较复杂，并且对公式的本质特征和计算方法缺乏全面，深刻地剖析。最后，文章分析了重要极限公式的六个基本特征和四个推广命题，并对其进行了归类，设置习题加以巩固.关键字： 重要极限；二项式公式；均值不等式；伯努利不等式；确界原理一、 重要极限公式的证明方法本文主要以介绍新颖独特的证明方法为主，对于微积分教材中传统证法不加以重述，下面主要介绍运用二项式展开式；均值不等式；伯努利不等式和其他简单不等式，巧用不等式基本性质，利用确界原理等七种方法对重要极限公式加以证明。另外对极限值e进行理论解释。（一） 运用二项式方式证明由二项式定理，有故由上面推导可知： 则类比可写出 ：因为 比较可知 即为单调增数列。又因为 所以，这表明数列有界，它位于（0,3）之间。以上证明了数列为单调递增数列且有上界，所以数列存在极限，并记为e,即e（二）运用均值不等式证明证法一：由于所以有 即有数列严格单调递增，又因任何自然数n都有即这表明单调递增有上界，所以的极限存在，且记为e.证法二：设首先证明数列为单调递增数列，然后利用均值不等式则可得到即单调递增其次证明有上界，显然有 ， 设数列，由于= 即单调递减数列从而有即有上界，由单调有界定理收敛记(三) 利用伯努利不等式.伯努利不等式令有即当n1时有即数列单调递增.又令有 即从而又因单调递增 有 即 据单调有界定理极限存在.归纳 在求上界时可令所以 即又因因单调递增 即有 得所以 即又因因单调递增 即有 得(四) 巧用不等式基本性质证明当正整数m2n时，有即在上式中分别令m=n,n+1,得到n个不等式，把它们左右两边分别相乘，并利用不等式的基本性质有即单调递增。又因为当正整数m2n时，有所以在上式中分别令得个不等式，把它们两边分别相乘，可得于是据单调有界定理极限存在。.其实任取定一正整数，若注意到当时有不等式同样可证明(五) 利用一个简单不等式的证法利用不等式其中（0）为自然数，此不等式推倒如下并且令这时则有因此严格递增又令此时则有于是据单调有界定理极限存在。(六) 利用加权平均值的性质证明设我们知道对个正数的加权平均值有等号只有当时成立,将上述公式放大变形便有即数列是单调增加的另一方面，我们取正数和整数，并且满足不等式根据上述不等式有从而有即数列是一有界数列，因此数列有极限设为即从而得证。(七) 采用确界原理证明.即采用确界原理证明e的存在性。前面已经利用均值不等式证明了 其中这表明有上界记这上界为e 由于它是最小的上界 所以 又由于n和k是任意正整数 故特令n=k 有所以有 由 有迫敛性得（八）极限的直观解释：通过数值计算的方法来理解。通过取一系列趋于无穷大的数值，观察值的变化情况（取）.2.704812.716922.718152.718272.71828.从上表中可见：当时，。即有二、 分析重要极限的六个基本特征及四个推广命题(一) 基本特征1、 括号内的函数或数列都具有“1+0”型的形式。2、 加数部分趋于0，指数部分趋于无穷。3、 指数与加数互为倒数。4、 极限式子只与形式有关，与用什么变量无关。5、 极限式子括号内部分的极限值为1，指数部分极限值为无穷。6、 极限式子中的变量无论在实数域内还是整数域内变化都不影响其结果。（二）推广 通过上述对重要极限公式的分析证明和本质特征的把握，我们可以归纳出以下四个命题。它们的核心还是六个基本特征，下面介绍四个推广命题。命题一：设，（，以下无穷小量均指非零情形） 则有 （这里没有写变量的变化趋势是指变量的任何一种变化趋势结论都成立。其中可以表示任何函数或变量或式子，下同）命题二：设 则有命题三：设与是同一极限过程下的等价无穷小量，则在此极限过程下有 命题四：设，则有 （二） 例题例1：求注：对于形式不符合重要极限公式的题目，要设法经过变换使其与重要极限公式产生联系，然后计算。快捷、简单、准确。解：例2：求解：三、小结上述通过对重要极限公式的不同证法，能使读者从不同角度理解和掌握重要极限公式，各种解法分别从二项式公式；均值不等式；伯努利不等式和其它一些简单的不等式出发，巧妙运用不等式基本性质，利用加权平均值的性质，利用确界原理等多种简洁而有意义的证法，归类证明。证法新颖独特，使学生易于接受，启发学生创新思维。在证明的基础上，通过总结归纳，得出重要极限公式的六个基本特征和四个推广命题，直观、简洁，优化解题过程，是复杂的题目简单化，是抽象的极限问题具体化。这对于培养学生思维的创新性，敏感性，发散性有非常重要的意义。参考文献： 【1】 华东师范大学数学系 数学分析 2001【2】 数学分析刘玉琏主编，高等教育出版社【3】 陈传璋，金福临，朱曼炎，欧阳光中。