方差的专家点评

关注概念形成 领悟概念本质 3.4 方差评课 南师附中新城初中 叶旭山 义务教育课程标准（2011 年版）指出，统计观念主要表现在：能从统 计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据 的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数 据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑方差这节课是在研究了 平均数、中位数、众数等反应一组数据的集中程度之后，进一步研究反应一组 数据离散程度的统计量极差、方差、标准差.通过前面的学习学生已经能够 熟练运用平均数、中位数、众数等来描述一组数据，但面对新的情境和问题， 学生会提出新的质疑，需要借助新的刻画方式和工具来处理数据和解释现 象南师附中新城初中郑隽老师上的这节课有如下几个特点： 一、精心设置问题情境，激发学生探究热情 “创设问题情境，让学生在情境中学习数学”是义务教育课程标准 （2011年版）倡导的一个重要理念高质量的数学问题情境，首先在数学课堂 教学中，任何数学问题情境的创设都应该围绕“为课堂教学提供有效的服务” 这一根本目标来进行我们教师必须紧扣课堂的教学内容和学习任务来进行设 计数学问题情境，创设数学问题情境的设计要符合学生的认知规律，要符合 “最近发展区”理论，教师必须高度关注学生已有的知识和经验（包括生活经 验和学习新内容的经验）基础，为掌握概念本质奠定基础在本节课的教学中， 教师通过以下情境的设置，激发了学生的探究热情情境如下：2015年世乒赛 将在苏州举行，在使用乒乓球的大小时其尺寸有严格的要求，乒乓球的标准直 径为40mm质检部门对A、B两厂生产的乒乓球的直径进行检测，从A 、B两厂 生产的乒乓球中各抽取了10只，测量结果如下（单位：mm）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0， 39.9，40.0，40.1 B 厂： 40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，40.1，39.9，40.2，39.8，40.0 问题1 你能从哪些角度认识这些数据？ 问题2 通过计算发现，A、B两厂生产的乒乓球的直径的平均数都是 40mm，极差都是0.4 mm怎样更精确地比较这两组数据的离散程度呢？ 2 其中问题1的设置符合“最近发展区”理论，是在学生熟悉数据集中程度的 基础上提出来的，学生用“平均数、中位数、众数”等去分析这组数据，同时 这样的情境也为引出新课内容作好铺垫，大部分学生都能从极差的角度去重新 分析数据；问题2让学生体会到极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小 情况，而无法刻画其他数据的对整组数据波动的影响情况换句话说，极差仅 反映这组数据中两个极端值的离散程度，并不能真正反映这组数据离散的整体 情况从某种意义上讲它仅能说明这组数据的离散范围，而不能表示这组数据 的整体离散程度因此，这样的设计大大激发了学生对寻找新的数量来刻画整 组数据波动大小的热情 二、延长概念形成过程，理解概念内在本质 概念是思维的细胞数学概念是数学的逻辑起点，是学生学习数学知识的 基 石，也是数学思维的出发点，把握概念的核心就是把握教学的重点和难点，显 然本节课的重点在于理解方差的概念，难点就在于理解方差产生的必要性和它 在现实生活的意义本节课的设计教师循循善诱、精益求精、深入浅出，引导 学生真正体验概念形成的“心路历程” ，理解方差概念的内在本质 教师引导学生观察由两组数据绘制成的散点图，请学生用一句话概括看到 图形之后的直观感受，也就是借助图形帮助学生直观感受数据的波动程度，教 师追问：“你能从数的角度刻画刚才的直观波动程度吗” ，这在激发学生探 究热情的同时也延长概念形成过程，有利于学生理解方差的内在本质教师在 对于“标准差”概念的引入也设计的十分巧妙教师在讲解如下例题之后，问 方差的单位是什么？显然方差的单位（cm 2）是毫无意义的，那么如何解决这个 问题呢？从而引出“标准差”概念，这其实就是在延长概念形成过程，理解概 念内在本质 例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖 ， 参加表演的女演员身高（单位：cm）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 三、充分发挥课堂民主，激活学生数学思维 凤凰初中数学配套教学软件_专家点评 在方差概念的引入过程中，要解决每个数据与平均数作差后相加，结果会 因为每项的正负不同而相抵消的问题. 学生提出不同的方式，课堂上基本呈现 两种代表性的方式，一是对差取绝对值，二是对差进行平方等在此教学过程 中，教师充分发挥课堂民主，给学生畅所欲言的机会，进而激活学生数学思维， 引导学生说出解决问题的本质对差取绝对值法，即设一组数据与平均数作差 后取绝对值，将这些数据相加就能消除正负相抵的问题，教师并没有采取回避 的方式，而后让学生说出自己的理由教师引导学生无论哪种方式，样本容量 不同，显然不能直接作比较，有没有办法来改进这个量，使其科学公平呢？学 生再次畅所欲言，进一步激活学生数学思维，最后由学生得出结论：当两组数 据样本容量不同时，可以“用均差绝对值之和的平均数” （即“平均差” ）或者 “用均差平方之和的平均数” （即方差）来衡量更为科学 教师在最后让学生列举出方差、标准差的生活实例，再次充分体现了教师 的课堂民主意识，学生在畅所欲言的举例过程中再次体会方差在现实生活中的 意义，从而达成“应用极差和方差概念解释实际问题中数据的离散程度，并形 成相应的数学经验”的教学目标 至于有学生可能会有疑问为什么不采用这种简捷的“平均差”法，而用较 复杂的方差（标准差） 来刻画数据的离散程度呢？教师可以做适当点拨（“平 均差”的计算必须依靠绝对值，不适合进一步的代数运算，不利于进一步的统 计分析） ，也可以引导有兴趣的同学查阅资料作进一步理解，从而拓广知识面 总之，对照本节课的教材内容和教学设计，教师对教材的内容作了深入的 研究，教学目标定位准确，并依据教学目标对教材内容进行了有机整合（如增 加了芭蕾舞演员的实例，提高了趣味性，同时为标准差的产生作好铺垫） ，同时 在此基础