2019届江苏省扬州市高三第一学期期中调研数学理试题

20182019学年度第一学期期中调研测试试题 高三数学(理) 201811 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上） 1已知i为虚数单位，若复数z满足 11 2 z i i ，则复数z 2函数 4 2xy 的定义域为 3已知x，yR，直线( 1) 1 0a x y 与直线 2 0x ay 垂直，则实数a的值为 4已知函数 ( )f x 为偶函数，且x0时， 3 2( )f x x x ，则 ( 1)f 5已知向量m ur (1，a)，n r ( 4 a，3 1a )，若m ur n r ，则实数a 6设ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 2 6a ， 6b ，cosB 1 2 ，那么角A的大小为 7设实数x，y满足 0 1 2 1 x y x y x y ，则3 2x y 的最大值为 8在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 2 2 ( 0)y px p 上横坐标为1的点到焦点的距离 为4，则该抛物线的准线方程为 9已知条件p：xa，条件q： 1 0 2 x x 若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值 范围是 10在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 2 2 11x ym m 的一个焦点为(3，0)，则双曲线 的渐近线方程为 1 11若函数 ( ) Asin( )f x x (A0， 0，0 2 )的部分图像如图所示， 则函数 ( )f x 在 ，0上的单调增区间 为 12在ABC中，AH是边BC上的高，点G是ABC的重心，若ABC的面积为 6 1 ， AC 5，tanC2，则(AH BC) (GB GC) uuur uuur uuur uuur 13已知正实数a，b满足2 3a b ，则 2 22 1 2 2 a b a b 的最小值是 14 已知函数 2( ) 2 2f x x x ， ( ) ln 5g x x ax （e 为 对数的 数， e2.718）对 的 0x (0，e)，在区间(0，e)上 在 个不 的 1x ， 2x ， 1( )g x 2( )g x 0( )f x ，则 数a的取值 是 、 答题（本大题共6小题，共 90分，请在答题 定区域内 答， 答时应写 、 程 ） 15（本小题满分14分） 在ABC中，已知 3AB AC AB AC uuur uuur uuur uuur ，设BAC （1）tan 的值 （2）若 3cos 5 ， (0， 2 )，cos( )的值 16（本小题满分14分） 已知a R ，函数 1( )f x a x （1）若 ( ) 2f x x 对x(0，2)，实数a的取值范围 2 （2）currency1a1时， 不“ ( ) 2f x x 17（本小题满分15分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 3 10 0x y 与O： 2 2 2 ( 0)x y r r 相 （1）直线l 点(2，1)且O所 的fifl为2 6，直线l的方程 （2）已知直线y3与O A，B 点，P是上 A，B的 一点，且直线 AP，BP与y相 M，N点点M、N的 坐标积是为定值?若是， 该定 值若不是， 理 18（本小题满分15分） ” 一中心 ，在中心 的 45方向上，到 中心 的距离分别为 2 km，2 2 km 在中心 的正方向，到中心 的距 离为 10 km 设一条直的 中心 ，且将， 到 的最 设 （如图(1)、(2)）已知 设每 的 （ ）与 fl度的平方正 ， 系数为 2设 与正方向的角， 图(2)中 COF为（ (0， 4 )）， 设三 的 为y（ ） （1）到 的最 距离 1d 的 “ （2）y的最小值 时tan的值 3 （1） （2） 19（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，C： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b 的准线方程为x2，且 焦点与 的一个点 直角三角 （1）C的方程 （2） 设直线l：y kx m 与C A，B 点 若A为的上点，M 为线 AB中点， OM fl C N， 且 6ON OM 2 uuur uuuur ，OB的fl 若 点O到直线l的距离为1， 且OA OB uuur uuur ，currency1 4 5 5 6 时，OAB的面积S的范 围 20（本小题满分16分） 已知函数 ln( ) xf x x ， 2( ) 2g x x x 4 （1） ( )f x 在点P(1， (1)f ) 的线方程 （2）若 x的不“ 2 ( ) ( ) 0f x tf x 且 三个 数 ，实数t的取值范围 （3）若 ( ) ( ) 4 ( )h x g x xf x 在 个正实数 1x ， 2x 满足 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 0h x h x x x ， ： 1 2 3x x （题） 21、（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+1 在 0 1 1 1 对应的 到的直线 点P（3，2），实数 k 的值. 22、（10分） 定 人在定区域投篮命中的概率为 2 3 ，现他在 个投篮游戏中，共投 篮3次. （1） 续命中2次的概率 （2）设命中的次数为X，X的分布列和数学期望 E(X) . 23、（10分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，AC=BC=AA1=A1C=2，平面 ACC1A1平面ABC.现以边AC的中点D为坐标点，平面ABC内垂直 AC的直线为 5 x ，直线AC为 y ，直线DA 1为 z 空间直角坐标系， 决以 问题: （1）面直线AB与A1C所角的余fi值 （2）直线AB与平面A1BC所角的正fi值. 24、（10分）已知正项数列 an 满足 an+1=anan2(nN ) . （1） : 0a11 ，且currency1 n2 时， an 1 n+2 （2） : i=2 n ailn(n+1) . 参考答案 13 i 2( ,2 3 1 2 4 2 51 6 4 73 8 3x 9 2a 10 5 2y x 11 ( 3,0) (区间开闭皆可) 121 13 13 5 14 3,4,5,6,7 15 ：（1） 3AB AC AB AC uuur uuur uuur uuur ， 3 cosAB AC AB AC uuur uuur uuur uuur ， 所以 1cos 3 ，又因为0 ，所以 2 21 2sin 1 cos 1 ( ) 3 3 tan 2 6分 （2） 3cos 5 ， (0, )2 4sin 5 8分 6 （ 1 ） 知 ： 2sin 3 ， 3 1 4 2 3 3 4 6cos( ) cos cos sin sin 5 5 153 3 14分 16 ：（1） ( ) 2f x x 对 (0,2)x 1 2a xx 对 (0,2)x 1 2 2 2x x ，currency1且 currency1 1 2x x ， 2 2x 时取号 2 2a 6分 （2）currency1 1a 时， 1( ) 1 | |f x x ， ( ) 2f x x 11 2 | | xx （*） 若 0x ，则（*）可化为： 22 1 0x x ，所以x 9分 若 0x ，则（*）可化为： 22 1 0x x ， ： 1x 12x ， 0x 12x 12分 可 ，（*）的 为 1( , 2 14分 17 ：直线 3 10 0x y 与 2 2 2: ( 0)O x y r r 相 心O到直线 3 10 0x y 的距离为 |10 | 10 1 9r 2分 （1）记心到直线l的距离为d，所以 10 6 2d currency1直线l与x垂直时，直线l的方程为 2x ，满足题 3分 currency1直线l与x不垂直时，设直线l的方程为 1 ( 2)y k x ， (1 2 ) 0kx y k 所以 2 |1 2 | 2 1 kd k ， 3 4k ， 时直线l的方程为3 4 10 0x y 6分 综上，直线l的方程为 2x 3 4 10 0x y 7分 7 （2）设 0 0( , )P x y 直线 3y 与O A、B 点，不妨取 (1,3), ( 1,3)A B ， 直线PA、PB的方程分别为 0 0 33 ( 1) 1 yy x x ， 0 0 33 ( 1) 1 yy x x 令 0x ， 0 0 0 0 0 0 3 3(0, ), (0, ) 1 1 x y x yM N x x ，则 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 3 3 9 1 1 1M N x y x y x yy y x x x （*） 13分 因为点 0 0( , )P x y 在C上，所以 2 2 0 0 10x y ， 2 2 0 010y x ，代入（*）“ M Ny y 2 2 0 0 2 0 9 (10 ) 10 1 x x x 为定值 15分 18 ：（1） COF ，在中心 的45方向上，且到中心 的距 离为 2km 4AOE 1 2 sin( )4d 4分 （ 2 ） 分 别 设 点 ,B C到 直 线 EF的 距 离 为 2 3,d d （ 1 ） 知 ： 2 32 2 sin( ), 10 sin4d d 2 2 2 1 cos( 2 ) 1 cos 22 2( 2 sin( ) (2 2 sin( ) ( 10 sin ) 20 4 4 2 2y 20 10(sin 2 cos 2 ) 20 10 2 sin(2 )4 ， (0, )4 9分 (0, )4 32 ( , )4 4 4 currency12 4 2 时， min 20 10 2y （ ） 12 分 时2 4 22tantan 2 11 tan ， ： tan 2 1 14分 答： 设三条 的 为( 20 10 2 ) ， 时 tan的值为 2 1 15分 19 ：（1）因为 焦点与 的一个点的 线 直角三角 ，所以 2a c ， 又准线方程为 2x ， 到 2 2ac ， 8 2, 1a c ，所以 2 2 2 1b a c 所以，C的方程为 2 2 1 2 x y 4分 （2）设 1 1( , )B x y ，而 (0,1)A ，则 1 1 1( , ) 2 2 x yM ， 6 2ON OM uuur uuuur ， 1 16 6(1 )( , ) 4 4 x yN 因为点 ,B N在上，所以 2 21 1 2 2 1 1 12 3 3(1 ) 1 16 8 x y x y ，将 “ 边 时乘以8 3 再减去上“， 1 1 3y ， 2 1 16 9x 8分 所以 2 2 2 1 1 16 1 17( ) 9 3 3OB x y 9分 （3）点O到直线l的距离为1， 2 | | 1 1 m k ，化简 ： 2 21 k m 联直线l的方程与C的方程： 2 2 1 2 y kx m x y ， 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 1 22 2 4 2 2, 1 2 1 2 km mx x xx k k ，且 28 0k 11分 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) (1 ) ( )OA OB xx y y xx kx m kx m k xx km x x m uuur uuur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2(1 ) 1 2 1 2 1 2 m k m m k m k k m m k mk m k k k 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 1 2 m k k k k ， 所以 2 12 1k OAB 的面积 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 | | 1 ( ) 4 2 2 2S AB k x x k x x xx 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 (1 )1 2 2 (1 ) 2 (1 2 ) (1 2 ) k k kk k k 14分 9 因为 2 (1 )S 在 4 5 , 5 6 为单调减函数， 且currency1 4 5 时， 2 2 5S ，currency1 5 6 时， 10 6S ， 所以 OAB 的面积S的范围为 10 2 2 , 6 5 16分 20 ：（1） ln( ) xf x x ， (1) 0f ，所以P点坐标为(1,0) 又 21 ln( ) xf x x ， (1) 1f ，则线方程为 0 1 y x ， 所以函数 ( )f x 在点 (1, (1)P f 的线方程为 1 0 x y 3分 （2） 21 ln( ) ( 0) xf x xx x (0, )e e ( , )e ( )f x 正 0 负 ( )f x 单调增 极大值 单调减 2 ( ) ( ) 0f x tf x ， ( ) ( ) 0 f x f x t 1 0t 时， ( ) 0f x ( )f x t ，满足条件的 数 无数个，舍 2 0t 时， ( ) 0f x ， 0x 且 1x ，满足条件的 数 无数个，舍 3 0t 时， ( ) 0f x ( )f x t ，currency1 ( ) 0f x 时，无 数 currency1 ( )f x t 时，不“且 三个 数 ，又 ln 3(3) 3f ， ln 2(2) (4) 2f f ， ln 5(5) 5f 因为 ( )f x 在(0, )e 递增，在( , )e 递减所以 (5) (4)f t f ， ln 5 ln 25 2t ， ln 2 ln 52 5t 所以实数t的取值范围为 ln 2 ln 52 5t 8分 （3） 2( ) 2 4ln h x x x x ， 10 因为 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 h x h x x x ， 所以 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 22 4ln 2 4ln 0x x x x x x x x ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 2 4lnx x x x x x xx xx ， 令 1 2t xx ， 2( ) 2 4ln ( 0)t t t t t ， 11分 则 2( 1)( 2)4( ) 2 2 ( 0)t tt t t t t ， currency1 (0,1)t 时， ( ) 0t ，所以函数 2( ) 2 4ln ( 0)t t t t t 在(0,1)上单调递减 currency1 (1, )t 时， ( ) 0t ，所以函数 2( ) 2 4ln ( 0)t t t t t 在(1, ) 上单调递增 所以函数 2( ) 2 4ln ( 0)t t t t t 在 1t 时，取 最小值，最小值为314分 因 为 在 个 正 实 数 1 2,x x ， 满 足 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 h x h x x x ， 所 以 2 1 2 1 2( ) 2( ) 3x x x x ， 2 1 2 1 2( ) 2( ) 3 0x x x x ，所以 1 2 3x x 1 2 1x x 因为 1 2,x x 为正实数，所以 1 2 3x x 16分 （试部分） 21 ：设直线 1y kx 上 点 ( , )M x y 在 0 1 1 1 对应的 到的点 ( , )M x y ，则 0 1 1 1 x x y y y x y ， x y y x y ， x x y y x 5分 代入直线方程 1y kx ： ( ) 1x k x y ，将 (3,2)P 代入上“， ： 2k 10 分 22 ：（1）设 ( 1,2,3)iA i 示第i次投篮命中， iA 示第i次投篮不中设投篮 续 命中2次为事件A，则 1 2 3 1 2 3( ) ( )P A P AA A AA A = 2 2 1 1 2 2 83 3 3 3 3 3 27 4分 （2）命中的次数X 可取0，1，2，3 32 1( 0) (1 ) 3 27P X ， 1 1 2 3 2 2 2( 1) ( ) (1 ) 3 3 9P X C ， 2 2 1 3 2 2 4( 2) ( ) (1 ) 3 3 9P X C ， 32 8( 3) ( ) 3 27P X X 0 1 2 3 11 P 127 29 49 827 8分 所以 2 4 8( ) 1 2 3 29 9 27E X 答：X 的数学期望为2 10分 23（1）根据题中空间直角坐标系可知： A(0, 1 ,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0, 3 )， 1分 1(2,2,0), (0,1, 3)AB AC uuur uuuur 1 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1 0 ( 3) 2cos , 4| | | 2 2 ( 1) ( 3) AB ACAB AC AB AC uuur uuuuruuur uuuur uuur uuuur 3分 设面直线 AB与 1AC的所角为 ，则 (0, 2 ， 1 2cos | cos , | 4AB AC uuur uuuur 4分 （2）（1） ： 1 (2,1, 3), ( 2,0,0)AB BC uuur uuur ，设平面 1ABC的法向量为 ( , , )n x y zr ， 1n AB n BC