数量方法第三章课后习题答案详解

第三章 随机变量及其分布 课后部分习题答案详解（P99） 3.1 用随机变量来描述掷一枚骰子的实验结果，并写出它的分布律。 解：令 为骰子出现的点数。 为出现点数的概率，则它的分布律为x()px 1 2 3 4 5 6()px6161 3.2 某实验成功的概率为 代表两次成功之间实验失败的次数。写出 的分,XX 布律。 解： x 0 1 2 3 ()p()p2(1)p3() 3.3 下表列出的能否为某个随机变量的分布律？为什么 x 1 2 3()p 0.15 0.45 0.6 解：上表不能为随机变量的分布律；因为 0.15+0.45+0.6=1.21.概率不能超 过 1. 3.4 产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为 55%、 25%、 19%、1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量 表示检X 验结构，并写出其分布律。 解： x 1 2 3 4()p 0.55 0.25 0.19 0.01 3.5 设某种实验成功的概率为 0.7，现独立地进行 10 次这样的实验。问是否可以 用一个服从二项分布的随机变量来描述这 10 次试验中成功的次数？如何描述？ 写出他的分布。 解：设“10 次试验中成功的次数为 ”则它的分布为：,01,2x1010.73,kkPXC 3.6 如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结 果，企业 A 的平均投资回报比企业 B 的高，但是其方差也比企业 B 的大。你应 该如何回答客户提出的如下问题： （1）是否意味着企业 A 的投资回报肯定比企业 B 的高？为什么？ （2）是否意味着客户应该为企业 A 而不是企业 B 投资？为什么？ 解：（1）不一定；平均值大且方差大，说明企业 A 尽管回报高但不稳定， 而企业 B 虽然回报比 A 低，但相比较而言稳定。所以，说一定高就不对了。 （2）上面说了，A 的均值大，但方差也大，说明高回报要付出高风险， 至于具体要投哪个企业，要看投资人属于那种类型的决策者。 3.7 某公司估计在一个时间内完成某任务的概率如下： 天数 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 （1）求该任务能在 3 天（包括 3 天）之内完成的概率； （2）求完成该任务的期望天数 （3）该任务的费用由两部分组成20000 元的固定费用加每天 2000 元， 求整个项目费用的期望值。 （4）求完成天数的标准差。 解：（1）P(3 天之内完成，包括 3 天)=P(1 天完成)+ P(2 天完成)+ P2 天完 成) =0.05+0.20+0.35=0.60 （2）设 =完成任务的天数，则完成该任务的期望天数为，X （天）()10.52.30.54.30.13.2E （3）总费用=固定费用+ 每天费用 天数（可变费用） 所以， （元）()=()2.640Ex总 费 用 （4）先求出 的分布2x2 1 4 9 16 25 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 2()0.5.20.3516.250.13Ex22()DEx 其标准差 （教材后面的答案值得商榷）9 3.8 设 X 与 Y 为随机变量， 在下列情况()3,()2,(),()4.XYDXY 下，求 和 ：(3)E3D （1）Cov(X,Y)=1 (2) Cov(X,Y)=0 (3) Cov(X,Y)=-1 解：本题利用公式： ()=3()3(2)1EXYEY 【教材 90 的公式】(3)9()2,856,DXYCovCovX （1） =11； ()-179D （2） =11；()E3=0XY （2） =11；3XY()85-6（ ） 3.9 查表求： 0.5.20.975.,ZZ 解：在求上分位点时，若 Z 的下标小于 0.5，就用 1 减去，然后查表，即所得； 若 Z 的下标大于 0.5，就先直接查表，然后加上负号，即所得； ，0.050.5，直接查表 0.975，得到 1.96；即 ；0.975Z 0.975- ，0.90.5，直接查表 0.9，得到 1.28；即 ；. .=128Z 3.10 一工厂生产的电子管寿命 X（以小时计算）服从期望值为 的正态分=160 布，若要求： ，允许标准差最大为多少？1200.8P 解：先对要求进行正态分布标准化，然后查表，得到一个不等式后求解。 1220XX = 0616P = 440X = 00004()()()1() = 421.8 即， ； ；查表 0.9 对应的数为 1.28；04.8+1().90()9， 所以， . 3.5.28； 解 得 3.11 某玩具公司计划通过它的销售网推销一种新玩具，计划零售价为每套玩具 10 元。对 这种玩具有三种设计方案：方案一需要一次性投资 10 万元，投产后每套玩具成本 6 元；方 案二需要一次性投资 16 万元，投产后每套玩具成本 5 元；方案三需要一次性投资 25 万元， 投产后每套玩具成本 4 元；.这种玩具的未来市场需求不确定，但估计有三种可能，即需求 量为 30000 套的概率为 30%，需求量为 120000 套的概率为 50%，需求量为 200000 套的概 率为 20%。 （1）用最大期望收益法决定该公司应该采用哪种设计方案； （2）假设需求量为 120000 套的概率为 P,试在需求量为 200000 套的可能性为 20%的 条件下，求不改变（1）中决策的最小的 P 值。 解：需求量的期望= =109000（套）=10.9 万30%+1205+20% 套 （1）方案一的期望收益= （万元） ；收益=收入-成本.9-63.（ ） 方案二的期望收益= （万元）1058（ ） 方案三的期望收益= （万元）.-420.（ ） 40.438.533.6 所以，用最大期望收益法决定该公司应采用第三种设计方案。 （2）方法同上面一样，只是多了一个未知数 P.，同理如下。 需求量（万套） 3 12 20 概率 80%-P P 20% 需求量的期望= =9P+6.4(万套)3-+120.（ 0.8） 方案一的期望收益= （万元） ；(96.4)-1=365.P（ ） 方案二的期望收益= （万元）54P（ ） 方案三的期望收益= （万元）(.)0-2.（ ） 要保持 这个式子不变，解不等式；5413.P5631. 解得 P0.29 上式成立4.9-0.4P 即，不改变（1）中决策的最小的 P 值为 0.29。 3.12 某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下： 需求量（本） 50 100 150 200 概率 20% 40% 30% 10% 假定每本新书的订购价为 4 元，销售价为 6 元，剩书的处理价为 2 元。用最大期望收 益确定该书店订购新书的数量。 解：需求量的期望值= （本）50.2+1.50.3+0.1=5 115 处于 100 和 150 之间，那么是订购 100 本呢还是订购 150 本呢？根据题目要 求算出它们的收益，哪个大就选哪个。 若订 100 本时，市场需求为 115，即供不应求，100 本全部卖完，所以 收益= （元）10-=（