数学运算题型汇总与解析(中)

数 学 运 算 题 型 详 讲 （ 中 ） 10.自 然 数 的 性 质 自 然 数 的 性 质 问 题 包 含 的 范 围 较 广 ， 自 然 数 的 整 除 问 题 、 奇 偶 性 问 题 、 余 数 问 题 、 最 小 公 倍 数 问 题 、 最 大 公 约 数 问 题 、 自 然 数 大 小 比 较 问 题 等 都 属 于 自 然 数 的 性 质 问 题 。 【 例 题 1】 （ 2010 年 浙 江 省 第 77 题 ） 有 一 个 自 然 数 “x”， 除 以 3 的 余 数 是 2， 除 以 4 的 余 数 是 3， 问 “x”除 以 12 的 余 数 是 多 少 （ ） A 1 B 5 C 9 D 11 【 例 题 解 析 】 本 题 给 出 数 字 较 小 ， 采 用 特 值 法 往 往 可 以 迅 速 解 题 ， 可 以 快 速 看 出 自 然 数 11 符 合 条 件 ， 11 除 以 12 商 为 0 余 数 为 11。 正 确 答 案 为 D。 【 例 题 2】 一 类 自 然 数 ， 它 们 各 数 位 上 的 和 为 2012， 那 么 这 类 自 然 数 中 最 小 的 一 个 的 前 两 位 是 ： A.11 B.12 C.10 D.59 【 例 题 解 析 】 欲 使 这 个 自 然 数 最 小 ， 就 应 该 使 这 个 自 然 数 的 位 数 最 少 ， 也 就 是 使 各 个 位 包 含 的 9 最 多 ， 由 于 2012 除 以 9 商 223 余 5， 所 以 这 个 数 的 后 223 位 均 为 9， 将 余 数 5 放 至 数 字 的 第 一 位 才 能 使 该 自 然 数 最 小 ， 故 此 数 的 前 两 位 为 59。 故 应 选 择 D 选 项 。 【 例 题 3】 已 知 A， B， C， D 和 A+C， B+C， B+D， D+A 分 别 表 示 1 至 8 这 八 个 自 然 数 ， 且 互 不 相 等 。 如 果 A 是 A， B， C， D 这 四 个 数 中 最 大 的 一 个 数 ， 那 么 A 是 （ ） A. 4 B. 5 C.6 D. 8 【 例 题 解 析 】 A 比 B、 C、 D 大 显 然 A 最 小 为 4， 又 由 于 A+B、 D+A 8， 且 每 个 数 互 不 相 等 所 以 A 最 大 是 6， C、 D 为 1、 2， B 为 3， 符 合 题 意 。 故 应 选 择 C 选 项 。 【 例 题 4】 有 一 类 自 然 数 ， 从 第 三 个 数 字 开 始 ， 每 个 数 字 都 恰 好 是 它 前 面 两 个 数 字 之 和 ， 直 到 不 能 再 写 为 止 ， 如 257， 1459 等 等 ， 这 类 数 中 最 大 的 自 然 数 是 （ ） 。 A. 202246 B. 112358 C.10112359 D. 10112358 【 例 题 解 析 】 由 于 公 务 员 考 试 一 直 延 用 选 择 题 形 式 ， 所 以 很 多 题 目 用 “答 案 选 项 验 算 法 ”是 最 为 快 捷 的 方 法 ， 而 且 为 了 提 高 ， 速 度 与 准 确 性 ， “答 案 选 项 验 算 法 ”也 往 往 是 最 佳 捷 径 。 用 此 方 法 ， 从 最 大 项 开 始 验 算 ， 很 容 易 发 现 C 不 合 题 意 ， D 最 大 答 案 为 D 【 例 题 5】 (2008 国 考 55 题 )小 华 在 练 习 自 然 数 求 和 。 从 1 开 始 。 数 着 数 着 他 发 现 自 己 重 复 数 了 一 个 数 ， 在 这 种 情 况 下 他 将 所 得 的 全 部 数 求 平 均 ， 结 果 为 7.4.请 问 他 重 复 数 的 那 个 数 是 ？ A.2 B.6 C.8 D.10 【 例 题 解 析 】 假 设 小 华 一 共 数 了 m 个 数 字 ， 重 复 数 字 为 x 则 可 列 出 (m+1) +x=7.4(m+1)。2 整 理 得 2x=(m+1)(14.8-m), 因 为 m 与 x 都 是 整 数 ， 所 以 14.8-m 所 得 小 数 部 分 为 8， 因 此 m+1 应 该 是 5 的 整 数 倍 ， 可 知 m=4 或 m=9 或 m=14 由 于 x m， 故 m=4、 x=27(舍 )； m=9、 x=29(舍 )； m=14,x=6 为 所 求 解 。 故 应 选 择 B 选 项 。 【 例 题 6】 已 知 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G、 H、 I、 K 代 表 十 个 互 不 相 同 的 大 于 0 的 自 然 数 ， 要 使 下 列 等 式 成 立 ， A 最 小 是 （ ） 。 B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F A.8 B. 9 C.19 D. 21 【 例 题 解 析 】 A=B+C 且 B=E+D， C=E+F 所 以 A=D+2E+F=G+H+2H+2I+I+K=G+3H+3I+K 令 H、 I=1、 2 最 小 的 ， 而 E=H+I+3， 又 由 于 F=I+K， D=G+H， 且 字 母 间 又 互 不 相 等 ， 这 样 K、 G 最 小 为 4、 6， 所 以 A 最 小 为 4+6+32+31=19 故 应 选 择 C 选 项 。 【 例 题 7】 某 校 人 数 是 一 个 三 位 数 ， 平 均 每 个 班 级 34 人 ， 若 将 全 校 人 数 的 百 位 数 与 十 位 数 对 调 ， 则 全 校 人 数 比 实 际 少 180 人 ， 那 么 该 校 人 数 最 多 可 以 有 （ ） 个 班 。 A. 10 B. 19 C.26 D. 29 【 例 题 解 析 】 设 百 位 数 为 a， 十 位 数 为 b， 则 有 a100+b10-（ b100+10a） =180。 解 得 ： a-b=2， 这 样 ， 这 个 三 位 数 就 要 使 百 位 上 的 数 比 十 位 上 的 数 大 2， 且 是 34 的 倍 数 ， 将 4 个 答 案 选 项 分 别 乘 以 34， 只 有 1934=646 满 足 百 位 数 比 十 位 数 大 2。 故 应 选 择 C 选 项 。 【 例 题 8】 把 一 张 纸 剪 成 6 块 ， 从 所 得 的 纸 片 中 取 出 若 干 块 ， 每 块 各 剪 成 6 块 ； 再 从 所 有 的 纸 片 中 取 出 若 干 块 ， 每 块 各 剪 成 6 块 如 此 进 行 下 去 ， 到 剪 完 某 一 次 后 停 止 。 所 得 的 纸 片 总 数 可 能 是 2011， 2012， 2013， 2014 这 四 个 数 中 的 （ ） 。 人数为一个三位数的某校，每班 34 人。 百位和十位上数字对换后。 比实际人数少的 180 人。 A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 【 例 题 解 析 】 这 道 题 貌 似 很 难 ， 但 实 际 上 我 们 只 要 认 真 分 析 其 规 律 ， 很 容 易 做 出 解 答 ， 这 样 的 题 目 是 国 内 外 招 聘 考 试 中 最 常 采 用 的 。 设 第 一 次 拿 出 a1片 剪 ， 第 二 次 拿 a2片 剪 ， 。 。 。 。 第 n 次 拿 an片 剪 则 有 第 二 次 剪 完 后 有 6-a1+6a1=6+5a1片 第 三 次 剪 完 后 有 6+5a1-a2+6a2=6+5(a1+a2) 第 四 次 剪 完 后 有 6+5(a1+a2)-a3+6a3=6+5(a1+a2+a3) 所 以 最 后 有 6+5(a1+a2+an)片 也 就 是 说 该 数 减 去 6 之 后 是 5 的 倍 数 。 答 案 为 A 【 思 路 点 拨 】 本 题 目 为 本 类 型 重 点 部 分 ， 考 生 应 重 点 掌 握 。 11.整 除 问 题 很 多 问 题 ， 实 际 上 都 可 以 用 整 除 的 方 法 求 解 ， 整 除 问 题 往 往 与 余 数 问 题 、 分 解 因 数 问 题 有 着 密 切 的 联 系 。 可 以 说 是 对 同 一 问 题 ， 不 同 角 度 的 思 考 方 法 。 【 例 1】 （ 08 河 北 省 第 59 题 ） 某 人 有 350 万 元 遗 产 ， 在 临 终 前 ， 他 给 怀 孕 的 妻 子 写 作 答 整 除 问 题 ， 应 注 意 以 下 几 点 ： 1.熟 记 能 被 基 本 数 字 （ 2/3/5） 整 除 的 数 字 规 律 。 掌 握 能 被 数 字 （ 4/8/9） 整 除 的 数 字 规 律 ： 一 个 数 当 且 仅 当 末 两 位 能 被 4 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 4 整 除 ； 一 个 数 当 且 仅 当 末 三 位 能 被 8 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 8 整 除 ； 一 个 数 当 且 仅 当 各 位 数 字 和 能 被 9 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 9 整 除 。 了 解 能 被 数 字 （ 7/11/13） 整 除 的 数 字 的 共 同 规 律 ： 当 且 仅 当 末 三 位 与 其 余 数 字 的 差 能 被 7/11/13 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 7/11/13 整 除 。 （ 如 数 字 122135， 末 三 位 数 字 为 135， 其 余 数 字 为 122， 135- 122=13， 故 122135 能 被 13 整 除 。 ） 2.对 于 “见 面 ”问 题 ， 要 弄 清 “隔 几 天 一 见 ”与 “几 天 一 见 ”的 区 别 。 若 是 N 天 一 见 ， 则 M 天 中 可 以 相 见 MN 次 ， 若 是 隔 N 天 一 见 ， 则 M 天 中 只 能 相 见 M（ N+1） 次 ， 也 就 是 说 “隔 N 天 一 见 ”相 当 于 “N+1 天 一 见 ”。 3.结 合 数 字 的 奇 偶 性 、 余 数 ， 运 用 代 入 、 特 值 、 估 算 等 方 法 也 是 解 决 整 数 问 题 的 重 要 方 法 。 如 某 个 三 位 数 的 数 值 是 其 各 位 数 字 之 和 的 23 倍 。 则 这 个 三 位 数 为 A 702 B 306 C 207 D 203 由 备 选 项 易 知 每 个 数 字 的 各 位 数 字 之 和 都 小 于 10， 所 以 我 们 所 求 的 数 肯 定 不 大 于 230， 只 能 从 C、 D 中 来 选 ， 验 证 可 知 C 正 确 ， 故 应 选 择 C 选 项 。 下 这 样 的 一 份 遗 嘱 ： 如 果 生 下 来 是 个 男 孩 ， 就 把 遗 产 的 三 分 之 二 给 儿 子 ， 妻 子 拿 三 分 之 一 ； 如 果 生 下 来 是 个 女 孩 ， 就 把 遗 产 的 三 分 之 一 给 女 儿 ， 三 分 之 二 给 妻 子 。 结 果 他 的 妻 子 生 了 双 胞 胎 (一 男 一 女 )， 按 遗 嘱 的 要 求 ， 妻 子 可 以 得 到 多 少 万 元 ?() A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 【 例 题 解 析 】 通 过 题 目 可 知 ， 妻 子 拿 的 遗 产 是 儿 子 拿 的 遗 产 的 1/2， 是 女 儿 拿 的 遗 产 的 2 倍 假 设 女 儿 拿 的 遗 产 为 x,可 得 妻 子 拿 的 遗 产 为 2x,儿 子 拿 的 遗 产 为 4x 所 以 7x=350 即 x=50 答 案 为 B 【 例 2】 （ 2010 年 江 苏 省 第 31 题 ） 从 1 开 始 ， 自 然 数 中 ， 第 100 个 不 能 被 3 整 除 的 数 是 （ ） A 152 B 149 C 142 D 123 【 例 题 解 析 】 从 1 开 始 每 三 个 数 都 会 有 一 个 数 能 被 3 整 除 ， 即 3、 6、 9 也 即 是 说 每 个 能 被 3 整 除 的 数 的 前 两 个 是 不 能 被 3 整 除 的 ， 那 么 第 100 个 不 能 被 3 整 除 的 数 ， 肯 定 在 第 50 个 能 被 3 整 除 的 数 前 ， 第 50 个 能 被 3 整 除 的 为 150， 所 以 第 100 个 不 能 被 3 整 除 的 为 149 答 案 为 B 【 例 3】 （ 2008云 南 省 第 6题 ） 1 200这 200个 自 然 数 中 ， 能 被 4或 能 被 6整 除 的 数 有 多 少 个 ？ ( ) A.65 B.66 C.67 D.68 【 例 题 解 析 】 方 法 一 ： 1 100中 能 被 4整 除 的 共 有 50个 ， 能 被 6整 除 的 共 有 33个 ； 但 是 我 们 要 看 到 ， 能 被 12 整 除 的 数 能 同 时 被 4和 6整 除 ， 也 就 是 说 这 些 数 都 被 我 们 多 算 了 一 次 。 能 被 12整 除 的 共 有 16个 ， 那 么 能 被 4或 6整 除 的 共 有 50+33-16=67 能被 4 整除 的数 50 个 能被 6 整除 的数 33 个 能同时 被 4 和 6 整除的 数 16 个 方 法 二 ： 实 际 上 在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12中 ， 能 被 4或 能 被 6整 除 的 数 有 4 个 ， 而 之 后 每 12个 如 如 此 循 环 一 次 ， 共 16遍 零 3个 ， 共 计 67个 。 答 案 为 C 【 例 题 4】 共 有 12 盏 灯 编 号 为 1、 2、 3， 其 中 第 2、 3、 7、 11 号 是 亮 的 ， 其 余 是 关 着 的 。 从 2011 年 5 月 1 日 开 始 每 天 拉 一 盏 灯 的 灯 绳 (依 次 )。 一 年 后 ， 亮 着 的 电 灯 有 多 少 盏 ？ A、 4 B、 6 C、 8 D、 12 【 例 题 解 析 】 一 盏 灯 被 开 关 偶 数 次 后 会 与 原 状 态 相 同 ， 一 盏 灯 被 开 关 奇 数 次 后 会 与 原 状 态 相 反 。 由 于 2012 年 是 闰 年 ， 所 以 ， 一 共 将 开 关 366 次 ， 366 除 以 12， 商 是 30 余 6， 也 就 是 说 前 6 盏 灯 将 被 开 关 31 次 ， 后 6 盏 将 被 开 关 30 次 。 前 6 盏 灯 将 与 原 来 状 态 相 反 ， 后 6 盏 将 与 原 来 相 同 。 所 以 前 6 盏 中 1、 4、 5、 6、 是 亮 的 ， 后 6 盏 中 7、 11 是 亮 的 。 答 案 为 B 【 例 题 5】 (2006 年 山 东 A 卷 第 8 题 )有 四 个 自 然 数 A、 B、 C、 D， 它 们 的 和 不 超 过 400， 并 且 A 除 以 B 商 是 5 余 5， A 除 以 C 商 是 6 余 6， A 除 以 D 商 是 7 余 7。 那 么 ， 这 四 个 自 然 数 的 和 是 ： （ ） A.216 B.108 C.314 D.348 【 例 题 解 析 】 此 题 的 关 键 在 于 大 家 应 该 注 意 到 ， A 除 以 B， 商 是 5 余 5， 就 说 明 A=5B+5， 也 就 是 说 ， A 应 是 5 的 倍 数 ， 同 理 ， A 也 应 该 是 6、 7 的 倍 数 ， 这 样 A 要 满 足 同 时 能 被 5、 6、 7 整 除 ， A 也 应 该 是 5、 6、 7 的 最 小 公 倍 数 210 的 倍 数 。 而 题 目 A、 B、 C、 D 的 和 不 超 过 400， 这 样 就 可 求 出 A、 B、 C、 D 分 别 为 210、 41、 34、 29。 答 案 为 C 【 例 6】 （ 2010 年 国 考 第 48 题 ） 某 地 劳 动 部 门 租 用 甲 、 乙 两 个 教 室 开 展 农 村 实 用 人 才 培 训 。 两 教 室 均 有 5 排 座 位 ， 甲 教 室 每 排 可 坐 10 人 ， 乙 教 室 每 排 可 坐 9 人 。 两 教 室 当 月 共 举 办 该 培 训 27 次 ， 每 次 培 训 均 座 无 虚 席 ， 当 月 培 训 1290 人 次 。 问 甲 教 室 当 月 共 举 办 了 多 少 次 这 项 培 训 ? A.8 B.10 C.12 D.15 【 例 题 解 析 】 方 法 一 ： 通 过 题 目 条 件 易 知 ， 甲 教 室 可 容 纳 510=50 人 ， 乙 教 室 可 容 纳 59=45 人 ， 两 教 室 可 容 纳 人 数 差 值 为 5 人 。 假 设 27 次 培 训 均 在 乙 教 室 举 行 ， 则 培 训 人 数 应 为 45 27=1215 人 ， 与 实 际 培 训 人 数 差 值 为 1290-1215=75 人 ， 总 培 训 人 数 的 差 值 除 以 单 次 培 训 人 数 的 差 值 =甲 教 室 的 使 用 次 数 ， 即 755=15， 故 应 选 择 D 选 项 。 方 法 二 ： 由 题 目 条 件 ， 设 甲 教 室 使 用 x 次 ， 乙 教 室 使 用 y 次 ， 列 二 元 一 次 方 程 组 50x+45y=1290 x+y=27 联 立 两 方 程 ， 解 得 x=15， y=12， 故 甲 教 室 使 用 15 次 ， 故 应 选 择 D 选 项 。 方 法 三 ： 由 题 目 条 件 易 知 甲 教 室 可 容 纳 510=50 人 ， 乙 教 室 可 容 纳 59=45 人 。 由 于 参 与 培 训 总 人 数 为 1290 人 ， 可 知 乙 教 室 的 使 用 次 数 应 为 偶 数 次 。 观 察 选 项 ， 只 有 D 选 项 15 人 满 足 使 乙 教 室 的 使 用 次 数 为 偶 ， （ 27-15=12） ， 故 应 选 择 D 选 项 。 【 例 题 7】 三 位 采 购 员 定 期 去 某 商 店 ,小 王 每 隔 9 天 去 一 次 ,大 刘 每 隔 11 天 去 一 次 , 老 杨 每 隔 7 天 去 一 次 ,三 人 星 期 二 第 一 次 在 商 店 相 会 ,下 次 相 会 是 星 期 几 ? A. 星 期 一 B. 星 期 二 C.星 期 三 D.星 期 四 【 例 题 解 析 】 此 题 如 果 不 注 意 审 题 ， 很 可 能 误 以 为 求 出 9、 11、 7 的 最 小 公 倍 数 即 可 。 题 目 中 有 一 点 非 常 容 易 被 大 家 忽 略 ， 就 是 三 人 都 是 每 隔 几 天 再 去 。 隔 9 天 再 去 ， 就 是 10 天 之 后 了 。 所 以 ， 应 该 求 10、 12、 8 的 最 小 公 倍 数 ， 120 天 除253 以 7 余 1 答 案 为 C 【 重 点 提 示 】 考 生 要 区 分 “几 天 一 见 ”和 “隔 几 天 一 见 ”的 区 别 。 【 例 题 8】 已 知 2012 被 一 些 自 然 数 去 除 ， 得 到 的 余 数 都 是 10。 这 些 自 然 数 共 有 （ ） 个 。 .9 .10 .11 .12 【 例 题 解 析 】 这 道 题 的 关 键 在 能 够 对 余 数 的 定 义 深 入 理 解 。 2012 被 一 些 自 然 数 去 除 ， 余 数 是 10。 那 么 ， 这 些 自 然 数 就 应 该 可 以 被 2002 整 除 ， 且 大 于 10。 2002 分 解 因 数 为 271113， 那 么 2002 就 可 以 被 2、 7、 11、 13、 14、 22、 26、 77、 91、 143 整 除 ， 其 中 有 11143， 8 个 数 大 于 10， 再 加 上 2002 本 身 ， 一 共 是 9 个 自 然 数 满 足 题 意 答 案 为 A。 【 重 点 提 示 】 利 用 “减 余 ”的 方 法 ， 将 余 数 问 题 化 为 整 数 问 题 。 12.余 数 问 题 余 数 问 题 可 以 看 作 整 除 问 题 的 一 类 变 式 ， 寻 求 满 足 条 件 的 数 字 实 际 上 等 同 于 解 决 满 足 各 种 限 制 条 件 的 整 除 问 题 ， 此 类 问 题 对 大 家 的 要 求 主 要 是 能 够 迅 速 做 出 准 确 判 断 。 【 例 题 1】 有 一 个 数 ， 除 以 3 余 数 是 2， 除 以 4 余 数 是 1。 问 这 个 数 除 以 12 余 数 是 几 ？ （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【 例 题 解 析 】 依 照 题 干 条 件 ， 可 以 取 得 满 足 此 条 件 的 最 小 整 数 解 为 5， 5 除 以 12 余 5。 故 应 选 择 B 选 项 。 这 里 请 注 意 一 个 问 题 ， 3 和 4 的 最 小 公 倍 数 是 12， 那 么 每 个 数 除 以 3 余 数 、 除 以 4 余 数 情 况 ， 每 12 个 数 就 是 一 次 循 环 。 也 即 是 说 ， 任 意 一 个 数 加 上 n 倍 的 12， 其 除 以 3 余 数 、 除 以 4 余 数 情 况 ， 都 是 一 样 的 。 【 例 题 2】 （ 2010 年 黑 龙 江 省 第 44 题 ） 一 个 小 于 100 的 整 数 与 5 的 差 是 4 的 倍 数 ， 与 5 的 和 是 7 的 倍 数 ， 这 个 数 最 大 是 多 少 ?( ) A 85 B 89 C 97 D 93 【 例 题 解 析 】 这 道 题 可 用 代 入 试 算 法 ， 因 为 要 找 最 大 的 数 ， 所 以 可 从 选 项 中 从 大 往 小 试 算 ， 97+5=102， 无 法 被 7 整 除 ， 排 除 C 项 。 93+5=98， 可 以 被 7 整 除 ； 93-5=88， 可 以 被 4 整 除 ， 所 以 答 案 为 D 项 。 解 答 余 数 问 题 ， 需 要 注 意 以 下 几 点 ： 1.余 数 问 题 要 熟 练 掌 握 余 数 问 题 的 基 本 公 式 ： 被 除 数 =除 数 商 +余 数 余 数 问 题 中 余 数 永 远 小 于 除 数 只 要 将 余 数 问 题 中 的 余 数 用 加 减 法 处 理 掉 ， 一 切 余 数 问 题 就 成 为 了 整 除 问 题 。 2.方 阵 问 题 N 排 N 列 的 方 阵 共 有 N2人 ； N 排 N 列 的 方 阵 ， 最 外 层 有 4N-4 人 ； 方 阵 中 相 邻 的 两 圈 人 数 ， 外 圈 人 数 比 内 圈 多 8 人 。 此 外 ， 在 很 多 方 阵 问 题 中 ， 最 后 一 排 不 一 定 排 满 ， 可 能 为 不 大 于 每 排 人 数 的 任 意 一 个 数 。 3.多 个 数 字 的 余 数 问 题 同 时 满 足 被 A 整 除 余 X， 被 B 整 除 余 Y的 数 可 以 表 示 为 nk+m， 其 中 k 为 A、 B 的 最 小 公 倍 数 ， m 为 同 时 满 足 被 A 整 除 余 X， 被 B 整 除 余 Y的 最 小 的 整 数 。 如 11 是 被 3 整 除 余 2， 被 5 整 除 余 1 的 数 字 中 的 最 小 的 数 字 ， 则 15n+11 也 一 定 满 足 相 同 条 件 。 解 决 此 类 问 题 通 常 从 满 足 某 一 条 件 的 最 小 的 自 然 数 入 手 ， 同 时 ， 代 入 试 算 法 也 是 解 答 此 类 问 题 的 一 种 重 要 解 题 方 法 和 验 算 方 法 。 【 例 题 3】 （ 08 广 西 第 11 题 ） 参 加 阅 兵 式 的 官 兵 排 成 一 个 方 阵 ， 最 外 层 的 人 数 是 80 人 ， 问 这 个 方 阵 共 有 官 兵 多 少 人 ( ) A 441 B.400 C.361 D.386 【 例 题 解 析 】 在 N 排 方 阵 中 ， 最 外 排 一 定 有 4N-4 个 人 ， （ 4N-4 表 示 最 外 排 每 边 人 数 4-每 顶 点 重 复 计 算 的 四 个 人 ） 。 则 有 4N-4=80， 解 得 N=21 21 排 的 方 阵 ， 共 有 212=441 人 。 故 应 选 择 A 选 项 。 【 例 题 4】 （ 09 四 川 省 公 考 第 13 题 ） 学 校 给 一 批 新 入 校 的 同 学 分 宿 舍 ， 若 每 个 房 间 住 7 人 ， 则 6 人 没 有 床 位 ， 若 每 个 房 间 住 8 人 ， 则 空 出 3 个 房 间 ， 新 同 学 人 数 是 （ ） A 188 B 194 C 206 D 216 【 例 题 解 析 】 设 共 有 x 个 房 间 那 么 可 以 得 出 ： 7x+6=8(x-3) 所 以 x=30 也 即 新 同 学 人 数 为 216 人 答 案 为 D 【 例 题 5】 (2006 年 国 家 考 试 一 卷 第 50 题 ) 一 个 三 位 数 除 以 9 余 7， 除 以 5 余 2， 除 以 4 余 3， 这 样 的 三 位 数 共 有 （ ） 。 A 5 个 B 6 个 C 7 个 D 8 个 【 例 题 解 析 】 954=180,即 满 足 条 件 的 三 位 数 每 增 加 或 减 少 180， 同 样 满 足 条 件 ， 从 100 到 999 这 900 个 三 位 数 中 ， 符 合 条 件 的 应 该 为 900/180=5 个 ， 为 187， 367， 547， 727， 907。 答 案 选 A 【 重 点 提 示 】 每 隔 这 三 个 数 的 最 小 公 倍 数 ， 都 会 有 一 个 满 足 条 件 的 数 【 例 题 6】 （ 2005 浙 江 第 13 题 ） 自 然 数 P 满 足 下 列 条 件 ： P 除 以 10 的 余 数 为 9， P 除 以 9 的 余 数 为 8， P 除 以 8 的 余 数 为 7。 如 果 ： 100 。 故 应 选 择 D 选 项 。 【 例 题 2】 （ 2007 年 浙 江 第 22 题 ） 如 图 所 示 ， 矩 形 ABCD 的 面 积 为 1， E、 F、 G、 H 分 别 为 四 条 边 的 中 点 ， FI 的 长 度 是 IE 的 两 倍 ， 问 阴 影 部 分 的 面 积 为 多 少 ？ A. B. C. D.3 141165247 【 例 题 解 析 】 连 接 FG 与 EH， 如 下 图 所 示 E、 F、 G、 H 分 别 为 各 边 中 点 ， AFE FBG GCH EHD 面 积 均 等 于 矩 形 ABCD 的 面 积81 故 四 边 形 EFGH 面 积 = 矩 形 ABCD 的2 面 积 =0.5 EF GH， 过 I 点 做 垂 线 I 交 GH 于 O 有 IO GH 且 IO EF IGH 的 面 积 = GHIO2 IFG 的 面 积 + EIH 的 面 积 =IFIO2+IEIO2=EFIO2 EF=GH IGH 的 面 积 = IFG 的 面 积 + EIH 的 面 积 IGH 的 面 积 = 四 边 形 EFGH 面 积 =0.2521 应 选 择 B 选 项 。 【 例 题 3】 ABC 的 面 积 为 1 个 单 位 ， 延 长 AC 的 一 倍 到 D， 延 长 CB 的 二 倍 到 E， 延 长 BA 的 3 倍 到 F， 连 接 三 个 点 形 成 DEF， 求 DEF 的 面 积 。 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【 例 题 解 析 】 连 接 辅 助 线 BD， ABC 与 BCD， 等 底 等 高 ， 所 以 ， 而 BCD 与 ECD 的ABCS= 高 是 相 等 的 ， 底 的 比 是 1： 3， 所 以 S ECD=3S BCD=3， 连 接 辅 助 线 AE， AEC 与 ECD 等 底 等 高 。 所 以 ， S EAC=S ECD=3 大 家 再 看 ， AB:BF=1:4， 所 以 S EFB =4S EAB=8， AF:AB=3:1， 所 以 36AFDBS S EFD =S AFD+S EFB+ S ECD + S ABC=18 故 应 选 择 D 选 项 。 【 例 题 4】 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 120 平 方 厘 米 ， E、 H 分 别 是 AD 和 DC 的 中 点 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 A. 14 B.16 C. 17 D. 18 【 例 题 解 析 】 这 道 题 难 度 有 些 大 ， 但 是 包 含 了 很 重 要 的 求 面 积 技 巧 。 FHC 与 DHF 等 底 等 高 ， S FHC= S DHF。 F 为 对 角 线 BD 上 的 一 点 ， E、 H 都 是 正 方 形 ABCD 边 上 的 中 点 ， 所 以 FED 与 FDH 全 等 ， 所 以 S EFD= S FDH= S FHC= S EDC31 而 S EDC= S ABCD=30cm241 所 以 S FDE=S FDH=S FHC=10cm2 从 BC 的 中 点 J 做 垂 线 交 BH 于 I， 从 J 做 垂 线 到 EC， 交 点 于 K， 大 家 很 容 易 证 明 BIJ、 JKC、 JIK、 IGK 与 GHC 全 等 。 所 以 S GHC= S BHC= 30cm2=6cm251 S FGH= S FHC-S GHC=10-6=4cm2 所 以 SFDHG=S FDH+S FHC=10+4=14cm2 答 案 为 A （ 2） 周 长 问 题 解 决 周 长 问 题 的 关 键 是 要 准 确 找 出 所 求 特 殊 图 形 与 题 目 中 所 给 的 基 本 图 形 之 间 的 关 系 ， 找 出 变 化 规 律 即 可 解 决 。 【 例 题 1】 图 中 阴 影 部 分 为 正 方 形 ， 那 么 图 中 最 大 的 长 方 形 周 长 是 多 少 厘 米 ？ A.25 B.30 C.32 D. 35 【 解 析 解 析 】 设 正 方 形 的 边 长 为 a， 则 有 长 边 为 6+9-a， 周 长 为 2(6+9-a)+2a=30cm 故 应 选 择 B 选 项 。 【 例 题 2】 （ 09 云 南 11 题 ） 如 图 ， 它 是 由 15 个 同 样 大 小 的 正 方 形 组 成 。 如 果 这 个 图 形 的 面 积 是 375 平 方 厘 米 ， 那 么 ， 它 的 周 长 是 ( )。 A 150 B 155 C 160 D 165 【 例 题 解 析 】 每 个 正 方 形 的 面 积 为 37515=25 平 方 厘 米 ， 边 长 为 5 厘 米 。 周 长 为 532=160 厘 米 ， 故 应 现 在 C 选 项 。 【 例 题 3】 (2003 年 浙 江 一 卷 第 19 题 )如 图 所 示 ， 以 大 圆 的 一 条 直 径 上 的 六 个 点 为 圆 心 ， 画 出 六 个 圆 的 周 长 紧 密 相 连 的 小 圆 。 请 问 ， 大 圆 的 周 长 与 大 圆 内 部 六 个 小 圆 的 周 长 之 和 相 比 较 ， 结 果 是 （ ） A.大 圆 的 周 长 大 于 小 圆 的 周 长 之 和 B. 小 圆 的 周 长 之 和 大 于 大 圆 的 周 长 C. 一 样 长 D.无 法 判 断 【 解 析 解 析 】 公 考 中 的 图 形 题 ， 关 键 是 找 出 其 解 题 思 路 ， 思 路 找 对 ， 就 会 迎 刃 而 解 。 因 为 圆 的 周 长 = d， 圆 的 周 长 只 与 直 径 有 关 。 所 以 在 大 圆 直 径 上 无 论 取 多 少 点 为 圆 心 ， 做 出 的 小 圆 周 长 之 和 均 等 于 大 圆 周 长 。 故 应 选 择 C 选 项 。 【 例 题 4】 (2004 年 浙 江 A 卷 第 17 题 )右 图 是 由 9 个 等 边 三 角 形 拼 成 的 六 边 形 ， 现 已 知 中 间 最 小 的 等 边 三 角 形 的 边 长 是 a， 问 这 个 六 边 形 的 周 长 是 多 少 ？ （ ） A . 30a B. 32a C. 34a D.无 法 计 算 【 例 题 解 析 】 我 们 设 最 大 的 正 三 角 形 边 长 为 b 第 二 大 的 三 角 形 边 长 为 b-a 第 三 大 的 三 角 形 边 长 为 （ b-a） -a 第 四 大 的 三 角 形 的 边 长 为 2 六 边 形 的 周 长 为 6a+5a+5a+4a+4a+3a+3a=30a 故 应 选 择 A 选 项 。 【 例 题 5】 (2003 年 广 西 考 试 一 卷 44 题 )如 图 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 长 方 形 拼 成 正 方 形 EFGH， 中 间 阴 影 为 正 方 形 。 已 知 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 长 方 形 面 积 的 和 是 32cm2， 四 边 形 ABCD 的 面 积 是 20cm2。 问 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 长 方 形 周 长 的 总 和 是 多 少 ? A 32cm B 56cm C 48cm D 68cm 【 解 析 解 析 】 这 一 类 题 目 只 要 大 家 认 真 观 察 ， 凭 大 家 的 聪 明 才 智 找 出 其 解 题 思 路 是 不 难 的 。 SABCD- （ S 甲 +S 乙 +S 丙 +S 丁 ） = S 阴 影 =20- =4213 S 阴 影 + S 甲 +S 乙 +S 丙 +S 丁 = SEFGH=32+4=36 则 EFGH 的 边 长 为 6， 周 长 为 24， 甲 乙 丙 丁 的 周 长 和 是 EFGH 的 两 倍 。 所 以 甲 乙 丙 丁 的 周 长 和 是 242=48。 故 应 选 择 C 选 项 。 （ 3） 其 它 类 平 面 几 何 问 题 【 例 题 1】 （ 09 江 西 14 题 ） 一 个 等 腰 三 角 形 ， 两 边 长 分 别 为 5cm， 2cm， 则 周 长 为 多 少 厘 米 ？ A 12 B 9 C 12 或 者 9 D 无 法 确 定 【 例 题 解 析 】 由 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 可 知 ， 另 一 条 边 只 能 是 5cm， 所 以 周 长 为 12cm， 故 应 选 择 A 选 项 。 【 例 题 2】 （ 2010 年 江 苏 省 第 38 题 ） 若 一 个 三 角 形 的 所 有 边 长 都 是 整 数 ， 其 周 长 是 偶 数 ， 且 已 知 其 中 的 两 边 长 分 别 10 和 2000， 则 满 足 条 件 的 三 角 形 总 个 数 是 （ ） A 9 B 10 C 7 D 8 【 例 题 解 析 】 根 据 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 可 设 第 三 边 为 x x+102000,x-10B 的年龄时，M 年后，A 年龄为 A+M，B 年龄为 B+M，此时必有 。此种性质实际上是年龄问题与自然B 数倍数性质的结合，通过此法可以快速判定年龄间倍数关系的变化规律。 x+y+z=100 联 立 两 方 程 ， 可 消 去 未 知 数 x、 z 直 接 解 得 y=36。 故 此 题 应 选 择 C 选 项 。 【 重 点 提 示 】 作 答 此 类 题 目 时 ， 应 注 意 年 龄 的 “同 增 同 减 性 ”， 即 n 人 的 年 龄 在 m 年 后 ， 必 定 总 共 增 长 mn 岁 ， n 人 的 年 龄 在 m 年 前 ， 必 定 总 共 减 少 mn 年 。 【 例 题 3】 （ 2009 年 北 京 17 题 ） 父 亲 今 年 44 岁 ， 儿 子 今 年 16 岁 ， 当 父 亲 的 年 龄 是 儿 子 的 年 龄 的 8 倍 时 ， 父 子 的 年 龄 和 是 多 少 岁 ? A 36 B 54 C 99 D 162 【 例 题 解 析 】 分 析 题 干 中 条 件 “父 亲 今 年 44 岁 ， 儿 子 今 年 16 岁 ”可 知 当 前 父 亲 年 龄 是 当 前 儿 子 年 龄 的 2.75 倍 。 依 据 自 然 数 的 性 质 (A、 B、 M 均 为 正 自 然 数 , 且 1) BA 0， B-M0， 且 1) 可 知 要 使 “父 亲 的 年 龄 是 儿 子 的 年 龄 的 8 倍 ”， 须 使 两 人 的 年 龄 共 同 减 小 。 即 两 人 此 时 的 年 龄 和 定 小 于 当 前 年 龄 和 44+16=60， 因 此 可 首 先 排 除 C、 D 选 项 。 又 知 两 人 父 子 两 人 年 龄 差 为 44-16=28 设 儿 子 年 龄 x 岁 时 父 亲 的 年 龄 是 儿 子 的 年 龄 的 8 倍 ， 可 列 方 程 8x-x=28， 解 得 x=4。 此 时 两 人 年 龄 和 为 49=36。 故 应 选 择 A 选 项 。 此 题 也 可 利 用 上 述 步 骤 ， 使 用 排 除 、 代 入 相 结 合 的 方 法 ， 快 速 作 答 。 【 重 点 提 示 】 解 答 年 龄 题 时 ， 一 定 要 把 握 “两 人 年 龄 差 为 定 值 ”这 一 重 要 特 点 ， 以 帮 助 考 生 快 速 解 答 年 龄 问 题 。 同 时 ， 还 应 注 意 联 系 其 他 数 学 知 识 （ 如 此 题 用 到 的 自 然 数 性 质 ） ， 结 合 代 入 法 、 排 除 法 快 解 年 龄 问 题 。 【 例 题 4】 (2004 年 广 西 第 44 题 ) 某 公 司 制 定 的 退 休 政 策 叫 “70 条 款 ”， 即 职 员 的 工 龄 加 年 龄 至 少 要 70 年 。 如 果 一 女 职 员 在 1986 年 她 32 岁 时 进 入 该 公 司 ， 问 到 哪 一 年 她 才 有 资 格 退 休 ? A 2003 年 B 2004 年 C 2005 年 D 2006 年 【 例 题 解 析 】 设 到 公 元 x 年 ， 她 才 有 资 格 退 休 。 该 职 员 每 工 作 一 年 ， 工 龄 和 年 龄 各 增 长 一 年 ， 即 到 x 年 时 ， 她 的 工 龄 和 年 龄 共 增 长 了 （ x-1986） 2 年 。 故 有 方 程 （ x-1986） 2+32=70， 解 得 x=2005。 答 案 为 C 【 思 路 点 拨 】 作 答 此 题 ， 应 注 意 按 题 目 中 的 “70 条 款 ”， 该 职 工 每 工 作 一 年 ， 年 龄 和 工 龄 各 增 长 一 年 。 以 此 为 突 破 口 ， 可 轻 松 列 出 方 程 。 【 例 题 5】 （ 2007年 四 川 省 第 8题 ） 祖 父 年 龄 70 岁 ， 长 孙 20 岁 ， 次 孙 13 岁 ， 幼 孙 7 岁 ， 问 多 少 年 后 ， 三 个 孙 子 的 年 龄 之 和 与 祖 父 的 年 龄 相 等 ？ ( ) A.10 B.12 C.15 D.20 【 例 题 解 析 】 设 x 年 后 三 个 孙 子 的 年 龄 之 和 与 祖 父 的 年 龄 相 等 。 可 知 x 年 后 祖 父 年 龄 增 长 x 岁 ， 三 个 孙 子 年 龄 共 增 长 3x 岁 。 可 列 方 程 70+x=20+13+7+3x 解 得 x=15 故 此 题 应 选 择 C 选 项 。 【 思 路 点 拨 】 解 答 此 类 问 题 ， 应 注 意 找 到 “祖 父 ”与 “孙 子 ”的 年 龄 增 长 关 系 ， 即 当 祖 父 有 n 个 孙 子 时 ， 若 干 年 后 “孙 子 ”年 龄 的 总 增 长 数 一 定 为 祖 父 年 龄 增 长 数 的 n 倍 。 【 例 题 6】 (2008 年 国 家 考 试 第 52 题 )5 年 前 甲 的 年 龄 是 乙 的 三 倍 ， 10 年 前 甲 的 年 龄 是 丙 的 一 半 ， 若 用 y 表 示 丙 当 前 的 年 龄 ， 下 列 哪 一 项 能 表 示 乙 当 前 的 年 龄 ？ A. B. C. D.3y-55y103103y 【 例 题 解 析 】 y 为 丙 当 前 年 龄 ， 那 么 y-10 为 丙 10 年 前 的 年 龄 ， 则 为 甲102 10 年 前 的 年 龄 ， 为 甲 5 年 的 年 龄 。 那 么 乙 五 年 前 的 年 龄 为 ， 则 乙 当2 6 前 年 龄 为 。56 故 此 题 应 选 择 A 选 项 。 【 例 题 7】 (2005 年 国 家 考 试 一 卷 49 题 )甲 对 乙 说 ： 当 我 的 岁 数 是 你 现 在 岁 数 时 ， 你 才 4 岁 。 乙 对 甲 说 ： 当 我 的 岁 数 到 你 现 在 岁 数 时 ， 你 将 有 67 岁 。 甲 乙 现 在 各 有 ： （ ） A 45 岁 ， 26 岁 B 46 岁 ， 25 岁 C 47 岁 ， 24 岁 D 48 岁 ， 23