三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结 山东 田振民 一：函数的定义域问题 1. 求函数 的定义域。1sin2xy 分析：要求 的定义域，只需求满足 的 集合，即只需求出满01sin2x 足 的 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个2sinx 周期上的适合条件的区间，然后两边加上 即可。kZ 解：由题意知需 ，也即需 在一周期 上符合的角01sinx21sinx23, 为 ,由此可得到函数的定义域为6767,kZ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（ 1）正、余弦函数、正切函数的定义域。 （2）若函 数是分式函数，则分母不能为零。 （3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。 （4）若函 数是形如 的函数，则其定义域由 确定。 （5）当函数是有,0logaxfya xf 实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1） （2）xysin3 2sinco2xy 分析：利用 与 进行求解。1coi 解：（1） sx5,1y （2） .0,4,1sinsinsi2in2i 22 yxxxxy 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数 是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1） （2）xysin1 662sinxxy （3） （4）sin5co2xy 32,1cos432 xxy 分析：（1） （2）可利用 sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3） （4） 可利用二次函数 在闭区间 上求最值得方法。cbaf2)(nm, 解：(1) 21sin;261si1sin1sin02 minmax yxyxxx 时当时 ，当 (2) .1)3cos(5132cos,)32cos( minmax yxyx 时 ，； 当时 ，当 (3) 222 95in4in5siin,i,48yx 当 ，即 时， 有最小值 ；sin1(kZ）y 当 ，即 ， 有最大值 1。x2 (4) 413,21cos45y32 ,21cos,21cos,2,)(3sco minmax2 yxx xxy 时 ，即当时 ， 、 即从 而 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2） tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则， 常常把给出的函数变成以下几种形式； （1） 一次形式（2） 或 的形式，通过 来确sinxsin()xfycos()xfy()1fy 定或其他变形来确定。 三：函数的周期性 例 求下列函数的周期 xf2cos)(1)62sin()(f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函 数去处理。 （1） 把 看成是一个新的变量 ，那么 的最小正周期是 ，就是说，当x2us 且必须增加到 时，函数 的值重复出现，而u增 加 到 2ucos 所以当自变量 增加到 且必须增加到 时，函数值),(xxx 重复出现，因此， 的周期是 。xy2sin （2） 即6i)62sin(x 的周期是 。 )62sin()(2sin(41i xfx 4 小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量 的系数有关。一般地，函数 或 （其中 为常数， 的周期)sin(xAy )cos(xAy,A),0Rx 。2T 四函数的奇偶性 例 判断下列函数的奇偶性 xxfxf sin1co)(2sin()(1 2 分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。 解：（1）函数的定义域 关于原点对称。R 是 偶 函 数 。)(sin)si()(,sin)sin()( xffxxfxxf （2 函数应满足 函数的定义 .,230i1 ZkR， 且函 数 的 定 义 于 为 域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。 评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证 是)(xf 否等于 或 ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。)(xff 五：函数的单调性 例：下列函数，在 上是增函数的是（ ）,2 xyAsin.xyBcosxyC2sinxyD2cos 分析： 判 断 。在 各 象 限 的 单 调 性 作 出与可 根 据 co.,2 解： 与 在 上都是减函数， 排除 ， ，sinyxcos2）,AB2x 知 在 内不具有单调性， 又可排除 ， 应选 。2,ix,CD 小结：求形如 的函数的单调区间，可以通)0,)(cos)sn( xAyAy 其 中或 过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是： 式 的 方 向 相 同 （ 反 ） 。的 单 调 区 间 对 应 的 不 等 与时 ， 所 列 不 等 式 的 方 向）视 为 一 个 整 体 ； （把 “)(cos),(sin )0(2“0)1RxyRx yA 练习：1. 函数 的定义域为（ ）sin10.1,0,., xDCZkxBA 2. 函数 ， 的值域是( )6cos(y2,0 1,2,3,12,3. CBA 3. 函数 的周期为 ，则 =-.)0(4sinxy2 4. 下列函数中是偶函数的是（ ） 1sinsinsin2i. xyDxyxyBA 5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ） （1） （2） （3） （4）xysin2,0i,ixycos43. DC 6. 在区间 上，下列函数为增函数的是（ ）2,0 xyDxyxyBxyA cossin