三角函数y=asin(ωx+φ)中的对称轴

三角函数 y=Asin（x+）中的对称轴 江苏 韩文美 正弦函数 y=sinx 的对称轴是 x=k + （kZ） ，它的对称轴总是经过它图象的最高点2 或者最低点。由于三角函数 y= 是由正弦函数 y=sinx 复合而成的，所以令)sin(xA =k + ，就能得到 y= 的对称轴方程 x= （kZ） 。通x2)i( 2 过类比可以得到三角函数 y= 的对称轴方程 x= （kZ） 。下面cosx 通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。 1解析式问题 例 1设函数 = （ ） ， 图像的一条对称轴是直线)(xf )2sin0)(xf ，求 的值。8x 分析：正弦函数 y=sinx 的对称轴是 x=k + ，令 2x+ =k + ，结合条件22 求解。0 解析： 是函数 y= 的图像的对称轴， ，8x)(xf 1)8sin( ，kZ，而 ，则 。24043 点评：由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方 程代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为 由于正弦函数 y=sinx 的周期是 2k ，所以会错误的令 =2k + 。x2 2参数问题 例 2如果函数 ysin2xacos2x 的图象关于直线 x 对称，则 a 的值为（ 8 ） A B C1 D12 分析：由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证；也可以根据对称轴的 通式求解，还可以根据最值求解。 解法一：ysin2xacos2x= sin（2x ） ，其中 cos = ，sin =21a21a ，21a 由函数的图象关于 x= 对称知，函数 ysin2xacos2x 在 x= 处取得最大值或88 最小值， sin（ ）acos （ ） ，4421a 即 （1a）= ，解得 a1，所以应选择答案：D。221 点评：过函数 y=Asin（ ）图象最值点与 y 轴平行(或重合)的直线都是函数图x 象的对称轴。 解法二：显然 a0，如若不然，x 就是函数 ysin2x 的一条对称轴，这是不可8 能的， 当 a0 时，ysin2xacos2x = ，)2cos(1)2sin12cos1(2 xaxax 其中 ， ，即 tan = ，2csa2isin 函数 y cos（2x ）的图象的对称轴方程的通式为 2xkk （kZ） ，1 xk ，令 xk ，则 = ， =k ，2k82k84 tan tan（k ）1，4 即 =1，a=1 为所求，所以应选择答案：D。a 点评：根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一 种特殊的方法。 解法三：f(x)sin2xacos2x 的图象关于直线 x 对称，8 ，令 x= ，得 ，xfxf8804ff sin acos =sin0acos0，得 a1，所以应选择答案： D。2 点评：这种解法比较巧妙，紧扣住对称性的定义，采用特殊值法代入。是不可多得的一种 快捷方便的解答方法。 3单调区间问题 例 3在下列区间中函数 ysin（x ）的单调增区间是（ ）4 A ， B 0， C ，0 D ， 2 42 分析：像这类题型，常规解法都是运用 yAsin（ x ）的单调增区间的一般结论， 由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新 意的简明而又准确、可靠的方法。 解析：函数 ysin（x ）的对称轴方程是： xk=k =k （kZ） ，424 照选择支，分别取 k1、0、1，得一个递增或递减区间分别是 ， 或3 ， ，对照选择支思考即知应选择答案：B。45 点评：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其 一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。 4函数性质问题 例 4设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对xfsin)( 称轴上的距离的最小值 ，则 的最小正周期是（ ）4 A2 B C D24 分析：根据正弦（或余弦）函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于 周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答。41 解析：设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对xfsin)( 称轴上的距离的最小值 ，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于 周期，4 41 最小正周期为 T= 4=，即选择答案：B。 点评：三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关，特别和三角函数的周期性问 题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化。 函数 y= 的对称轴是函数的一条重要性质，要准确的理解函数