2017挑战中考数学压轴试题复习（第十版）1.4因动点产生的平行四边形问题

1 4 因动点产生的平行四边形问题 课前导学 我们先思考三个问题： 1已知 A、 B、 C 三点，以 A、 B、 C、 D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？ 2在坐标平面内，如何理解平行四边形 对边 3在坐标平面内，如何理解平行四边形 对角线互相平分？ 图 1 图 2 图 3 如图 1，过 每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点 D 如图 2，已知 A(0, 3)， B( 2, 0)， C(3, 1)，如果四边形 平行四边形，怎样求点D 的坐标呢？ 点 个单位，再向上平移 3 个单位与点 A 重合，因为 D 平行且相等，所以点 C(3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点 D(5, 4) 如图 3，如果平行四边形 对角线交于点 G，那么过点 G 画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点 A、 C 到这条直线的距离相等，点 B、 关系式 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合 如图 4，点 A 是抛物线 y 2x 3 在 x 轴于点 B，线段y x 1 于点 C，那么 点 x, 2x 3)， 点 x, x 1)， 线段 的纵坐标表示为 2x 3， 线段 长 可 以 用 A 、 C 两 点 的 纵 坐 标 图 4 表示为 ( 2x 3) (x 1) x 2 通俗地说，数形结合 就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离 例 24 2014 年湖南省岳阳市中考第 24 题 如图 1，抛物线经过 A(1, 0)、 B(5, 0)、 C 10(0, )3三点 设点 E(x, y)是抛物线上一动点，且在 边形 B 为对角线的平行四边形 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）当点 E(x, y)运动时 ， 试求平行四边形 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大值 ； （ 3）是否存在这样 的点 E，使平行四边形 存在，求点 E、 F 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 岳阳 24”，拖动点 E 运动，可以体验到，当点 点 边形 思路点拨 1平行四边形 面积等于 积的 2 倍 2第（ 3）题探究正方形 确定点 E 在 垂直平分线上，再验证 图文解析 （ 1） 因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(5, 0)两点，设 y a(x 1)(x 5) 代入点 C 10(0, )3， 得 1053 a解得 23a 所以抛物线的解析式为22 2 1 0( 1 ) ( 5 ) 43 3 3y x x x x （ 2） 因为 S S 平行四边形 2S 22 1 05 ( 4 )33 210 ( 6 5 )3 21 0 4 0( 3 )33x 所以当 x 3 时， S 取得最大值，最大值为 403此时点 E 是抛物线的顶点（如图 2） （ 3） 如果平行四边形 正方形，那么点 E 在 当 x 52时， 2 2 3 5 5( 1 ) ( 5 ) ( )3 3 2 2 2y x x 此时 E 55( , )22 如图 3， 设 于点 D，恰好 2 所以 等腰直角三角形所以平行四边形 所以当 平行四边形 ， E 55( , )22、 F 55( , )22 图 2 图 3 考点伸展 既然第（ 3）题正方形 存在的，命题人为什么不让探究矩形 如图 4，如果平行四边形 矩形，那么 90 根据 B， 列方程 22 ( 1 ) ( 5 ) ( 5 )3 x x x x 或者由 1252，根据 254，列方程 225 2 2 5( ) ( 1 ) ( 5 )2 3 4x x x 这两个方程整理以后都是一元三次方程 42853x 20 0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的 事实上，这个方程可以因式分解， 51( 4 ) ( ) ( ) 022x x x 如 图 3， x 52；如图 4， x 4；如图 5， x 12，但此时点 E在 这个方程我们也可以用待定系数法解： 设方程的三个根是 52、 m、 n， 那么 42853x 20 54 ( ) ( ) ( )2x x m x n 根据恒等式对应项的系数相等，得方程组 4 4 1 0 2 8 ,1 0 1 0 4 5 3 ,1 0 2 0 n m 解得 4, 图 4 图 5 例 25 2014 年湖南省益阳市中考第 20 题 如图 1，直线 y 3x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，抛物线 y a(x 2)2 k 经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P （ 1）求 a， k 的值； （ 2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使 B 为底边的等腰三角形，求点 （ 3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、 N，使以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长 】 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 益阳 20”，可以体验到，点 Q 在线段 可以体验到，正方形的对角线为 一个顶点恰为抛物线的顶点 思路点拨 1第（ 2）题的等腰三角形只考虑 2第（ 3）题的正方形不可能 存在 对角线的情形 图文解析 （ 1） 由 y 3x 3，得 A(1, 0)， B(0, 3) 将 A(1, 0)、 B(0, 3)分别代入 y a(x 2)2 k，得 0,4 解得 a 1， k 1 （ 2）如图 2， 抛物线的对 称轴为直线 x 2， 设点 2, m) 已知 A(1, 0)、 B(0, 3)，根据 方程 12 22 (m 3)2 解得 m 2所以 Q(2, 2) （ 3） 点 A(1, 0)关于直线 x 2 的对称点为 C(3, 0)， 2 如图 3，如果 么点 M、 如图 4，当 正方形的对角线时， M、 N 中恰好有一个点是抛物线的顶点 (2, 1) 因为对角线 2，所以正方形的边长为 2 图 2 图 3 图 4 考点伸展 如果把第（ 3）题中的正方形改为平行四边形 ，那么符合条件的点 如果 对角线，上面的正方形 符合条件的， M(2, 1) 如图 5，如果 边，那么 2所以点 或 0 此时点 4, 3)或 (0, 3) 第（ 2）题如果没有限制等腰三角形 底边，那么符合条件的 点 Q 有几个？ 如图 2，当 Q(2, 2) 如图 6， 当 10 时 ，以 B 为圆心， 半径的圆与直线 x 2 有两个交点 根据 10，列方程 22 (m 3)2 10，得 36m 此时 Q(2,3 6) 或 (2,3 6) 如图 7，当 ，以 半径的圆与直线 x 2 有两个交点，但是点 (2, 3)与 A、 B 三点共线，所以 Q(2, 3) 图 5 图 6 图 7 例 26 2014 年湖南省邵阳市中考第 25 题 准备一张矩形纸片 （ 如图 1） ，按如图 2 操作： 将 折，使点 D 上的点 M，将 F 翻折，使点 D 上的点 N （ 1）求证：四边形 （ 2）若四边形 菱形， 2，求菱形 面积 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 25”，拖动点 以体验到， 当 N 在同一条直线上时，四边形 时矩形的直角被三等分 思路点拨 1平行四边形的定义和 4 个判定定理都可以证明四边形 平行四边形 2如果平行四边形 么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直用这两个性质都可以解答第（ 2）题 图文解析 （ 1）如图 3， 因为 以 又因为 1 2， 3 4，所以 1 3所以 又因为 以 四边形 图 3 图 4 （ 2）如图 4， 如果 四边形 菱形 ，那么 1 5 所以 1 2 5 由于 90，所以 1 2 5 30 所以 24， 233所以 233 所以 S 菱形 2S E 833 考点伸展 第（ 1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形还 可以这样思考： 证明四边形 证明 证明四边形 这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明 1 2 3 4 这样其实就走了弯路，因为由 1 3，直接得到 据平行四边形的定义来得快 能不能根据 相平分来证明呢？也是可以的： 如图 5，设 于点 O，根据“角角边”证明 到 因为 是得到 D 互相平