4-1-5图形的分割与拼接.题库教师版

例题精讲 本讲主要学习三大图形处理方法： 1理解掌握图形的分割； 2理解掌握图形的拼合； 3理解图形的剪拼 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试通 过本 讲知识的学习， 让同学们了解不同图形的分割、拼合、 剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增 强学生的 动手操作能力 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做 图形的分割 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的 图形，就叫做 图形的拼合 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形， 则 叫做图形的剪拼 我们在图形的分割、拼合和剪拼的 过程中，都要 结合所提供的 图形特点来思考 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分 多 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割 图形 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特 别注意每条 边的长度，把相等的 边长拼合在一起，先拼少的，再 拼多的 如果是剪拼图形，要抓住“ 剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和 图形的特点，通过分析推理 和必要的计算，确定剪拼的方法 板块一 图形的分割 【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ B A O 【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题按照 规定的要求合理 分割图形，是很 讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰 富想象，提高观察能力 这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直 线都可以把长方形平均分割成两 块，根据这点给出如下分法(如右 图)： 做长方形的两条对角线，设 交点为 O 过 点任作一条直线 ，直 线 将长方形平均分割成两 块OAB 图形的分割与拼接 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 2 可见用线段平分长方形的分法是无穷多的 【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条 【解析】 无数条任何 过六边 形中心的直线均符合要求 【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的 4 个小三角形，有许多种分法请你画出 4 种不同的分法 【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 4 个等底等高的小三角形，它们的 面积必定相等而要得到这 4 个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条 边四等分，再将各分点 与这边相对的顶点连接起来就行了根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法又因为 ，所以，如果我 们把每一个小三角形的面积看做 1，那么 就可以视为把三角形的4 1 2 面积直接分成 4 等份，即分成 4 个面积为 1 的小三角形；而 可以视为先把原三角形分成两等份，2 再把每一份分别分成两等份根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形 根 据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法 A B C CB A A B C 【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的 2 个小三角形，有许多种分法请你画出 3 种不同的分法 A B CC B A CB A 【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 2 个等底等高的小三角形，它们的 面积必定相等而要得到这 2 个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条 边的中点与这边相 对的顶点连接起来就行了根据上面的分析，可得如图所示的三种分法 【例 3】 怎样把一个等边三角形分别分成 8 块和 9 块形状、大小都一样的三角形 【解析】 分成 8 块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到 4 个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的 图形 分成 9 块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上 图所示的符合条 件的图形 【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 3 of 21 3 2 1 D C BA 1 F E 2 2 1 D C BA 【解析】 直角梯形的上底为 1，下底 为 2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成 1 和 2， 边长正AD 好为 3，所以 边分成两段，找到 的三等分点 ，现在， ， ， ，所以AAEDAEBFE 还要找到 的中点 ，连接 ，就把梯形 分成完全相同的两部分如右上 图BFEB 【例 5】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两 块 AO 【解析】 用连对角线的办法找出这块长方形地的中心 O 和正方形水池的中心 A过 O、A 画一条直线， 这条直 线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图) AO 【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样除了剪正方形外，你还有别的方法吗？ 20 60 40 20 20 40 60 20 【 解 析 】 先 把 图 形 分 成 相 等 的 两 块 ，每 一 块 中 再 分 成 相 等 的 两 份 ，这 样 就 不 难 分 成 四 块 了 ，如 右 上 图 4 【例 7】 下图是一个 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方3 格的完整 【解析】 分成的两块每块有 (个)小格，并且 这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从126 对称线入手，介 绍一种分割技巧 染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置， 标上相应的符号当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情 况，具体如下图所示 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 4 5623 1 1 44 3265 4326 1 1 55 62346 2 2 6 5 511 4 3 3 4 6 2 3 4 5 511 4 3 2 56234 1 1 55 4326 【巩固】右图是一个 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方 格的完整 【解析】 因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同方格 纸一共有 (个)小格，所以分成416 的两块每块有 (个)小格，并且 这两块要关于中心点 对称，大小和形状完全一样，应用染色法，1628 从中心点的一侧入手染色，逐步推进 (建议教师同时呈现六幅空的 格图，不同的变化在不同的 图上同时呈现)如下图： 3 25 16 7 3 2 6 5 4 1 8 8 7 4 3 32 8 1 7 5 4 6 8 6 5 14 2 7 8 3 1 22 7 6 4 5 85 6 3 7 1 4 4 3 2 2 1 5 6 4 78 7 6 3 5 1 8 3 2 7 7 1 4 5 3 8 6 8 5 2 4 1 6 6 78 1 1 5 4 6 3 2 3 4 7 5 8 2 【例 8】 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四 部分 【解析】 要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等， 也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份考虑先把阴影部分分成 12 个小正方 形再分成四份，这样每份正好有 3 个小正方形再看形状，三个小正方形只能排成 “”形或者“” 形答案如下图 【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两 部分如果分三部分呢？ 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 5 of 21 【解析】 从形状，面 积两方面 综合考虑，很容易就能得到答案答案如右上 图 【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形你能把它分割成 4 个形状相同、面积相等的梯形吗？ 【 解 析 】 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个 梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯 形占一份，可以考虑把每一个三角形的面 积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角 形 合 成 要 求 的 梯 形 ，这 种 类 型 的 题 目 可 以 从 中 点 入 手 ，找 到 每 个 正 三 角 形 的 中 点 并 连 接 ，如 右 上 图 【例 9】 下图是由五个正方形组成的图形把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？ 【解析】 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考 虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积 相等的图形，每个 图形的面积应 是 1 个多正方形我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方 形，分成的每块图形应有五个 这样的小正方形根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分 法也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图 【例 10】 已知左下图是由同样大小的 5 个正方形组成的试将图形分割成 4 块形状、大小都一样的图 形 【解析】 已知图形是由同样大小的 5 个正方形组成的，要分成 4 块同样大小的图形，则每块图形是 个正方54 形由此想到，若把每个正方形都分成 4 等份， 则 分割成的每一块中应包含 5 份再稍经试验，即得 右上图的解(图内部的实线为分割线) 【巩固】把右图剪成形状、大小相等的 8 个小图形，怎么剪？作出分出的小图形 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 6 【解析】 总格数为 12，用总格数除以 8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数 作图，如右图 【例 11】 下图是由 18 个小正方形组成的图形，请你把它分成 6 个完全相同的图形 【解析】 通过计算，186=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式： 与 ， 通过观察，上面的图形具有对 称性，不可能分成 6 个 ，再由 6 结合染色法，如下图 666555 4 443 33 222 1 1 1 【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形 状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树应怎样分？ 【解析】 由于土地的形状为正三角形，由 题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原 三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各 边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的 土地分成与它相等的四份，如右上图所示 【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半， 则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各 边中点，将原三角形分成面积 相等的四部分， 问题 即可解决 【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个 【解析】 图中一共有 18 个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有： (块)，而且分割成1836 大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是 ，而且上面的部分是对称的，但是只有 5 块，需O 要对称的再加上一块，再由 图 形的特点，可以判断应分为右下图的三部分 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 7 of 21 O 【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的 4 块，使每一块内都含有“奥数读本” 这四个字中的一个，该怎么剪？ 【解析】 图中“奥数” 与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它 们中间分割，因此，首先在他们中间划 出分割线，因 为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的 4 块，因为长方形是 的，所以分割后64 的每一块都有 6 小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部 分，如下图所示 答案不唯一 【例 15】 (2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的 块，4 使每一块里面都有“春蕾杯赛” 个字4 13【解析】 如下图所示： 1 答案不唯一 【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状 和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字应怎样分？ |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 8 学 习 思 考 学 习 思考 学 习 思 考 考思 习 学 54321 【解析】 看到这道题目，我们 想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由 4 个小正方形组成， 它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块， 这就控制了搜索的范 围根据原 题中各个字的具 体位置，上图中有些图形是必 须排除的，例如，如果把 图与原题右下角 的正方形重叠，其中2 “考”字出现了两次，不符合 题意，因此， 图可以先排除掉 现在，再固定某一角上的一个小正方形， 按其中的字来考虑如固定右上角写有“ 考”的小正方形来分析，只有下列 4 种可能出现的情况： 考 思 习 学 考思 学 习 学 考思 习 学 考思 习 学 习 思 考 考 思 习 学 考 思 习 学 考 思 习 学 【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有 学而思奥数五个字 O O 图 1 图 2 O O 【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它 们之间切开(图 1)，因此，首先要在它 们之间划出切分 线因为要将这个正方形切开成两 块形状和大小都一样的 图形，所以其中一 块绕中心点旋转 必180 定与另一块重合要是把切分线也绕中心点旋转 180就可得到一些新的切分线(图 2)这就为我们 解决问题提供了线索，本 题的两种解法如上 图所示 【巩固】如下图所示的正方形是由 36 个小正方格组成的如图那样放着 4 颗黑子，4 颗白子，现在要把它 切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子试问如何切割？ 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 9 of 21 【解析】 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转 、 、 之后，得到一些新的切分线，同9018270 时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一 块面积应该是 ，即含有 9 个小364 正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转 、 、 便得到其他三块，如右上图 【例 18】 如图，甲、乙是两个大小一样的正方形要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八 块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个 甲 乙 【解析】 一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求 的一块，然后再将 这块绕着正方形的中心点分 别旋转 、 、 就可以得到另外三块又因为9018270 这个正方形面积为 36 平方单位，所以分成的每一块的面积 都是 9 平方单位即每一 块都由 9 个小正 方格组成另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考 虑 将两个正方形重叠在一起，如下图所示， 为便于区别，将其中一组的“”改写成“”按要求将这重 叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个 “”和“” 图中有相同符号的“” 挨在一起的从中 间把它们切开，在它们中间划上截线并将这些截线绕中心 点旋转 、 、 得到另外三段截线如下 图利用它们设想出划分线9018270 设想分 块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里 层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并 作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转 后得到另一方格分入到另一小块中，也作上 记号180 (横线阴影)，如图 对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“”和一个“ ”每一块都有 9 个方格组成，不能断开下 图是分解了的分块过程示意图 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 10 注意到斜 线 阴影部分已经有了一个“” 和一个“ ”那么左下角包含“” 的方格就不能再分到斜线 阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分于是左上角的方格就应该分给横线阴影 部分空白部分是另外两块 下就是最后分得的结果 【例 19】 正三角形 的面积是 1 平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个ABC 六边形(如右图)，求六边形的面积 CB A 【解析】 采用分割法， 过 、 、 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面 积都相同，所以六边形 面积等于 13 平方米 【巩固】正方形 的面积是 1 平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形ABCD (如图)，求大正方形的面积 D C BA 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以 观察出，大正方形有 9 个小正方形组成，所以，大正方形 的面积是： (平方米)19 【巩固】正六边形 的面积是 1 平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下ABCDEF 图的图形，求这个图形的面积 F E D C BA F E D C BA 【解析】 采用分割法， 连接正六 边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有 12 个小三角形，原 来正六边形的面积是 1 平方米，由 6 个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是： (平方米)12 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 11 of 21 【例 20】 (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由 个边长为 厘米的小正方形15 组成的 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为 个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗5 分割后每个小图形的周长是 厘米 分割后 个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米5 3 因为总共有 个小正方形，所以分成 个大小形状相同的图形后每个图形应该有 (个)155 153 小正方形，如图 每个小图形的周长为 厘米8 个小图形的周长和： (厘米)，原图形的周长： (厘米)，所以相差5404218 (厘米)40182 1 【例 21】 如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方 形的对角线进行分割) 【解析】 要把图形分成两个相同的部分，首先要保 证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状 相同，从面积入手进行分割会使 问题更容易解决第一个图形一共有 6 个小正方形，2 个三角形，要 分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有 3 个正方形、1 个三角形，这样很容易就可以解决这个 问题了；同样， 对第二个图形，一共有 7 个正方形，2 个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯 定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在 最中间，所以考 虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有 6 个正方形，6 个三角形，分成的两块每一块都要有 3 个正方形、3 个三角形，因为最上面的两个三角形 组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个 问题了，具体分法见下图 【例 22】 (2003 年小学生数学报数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的 23 个较 小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 12 【解析】 分割的方法不唯一，如图所示 【例 23】 (2005 年小学生数学报数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的 21 个小正方 形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示 【解析】 分割的方法不唯一，如右图所示 板块二 图形的拼合 【例 24】 用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？ 【解析】 建议用等腰直角三角板，把不同的 边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的 纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图： 【巩固】用 3 个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？ 【解析】 这 种 类 型 的 题 需 要 学 生 亲 自 操 作 ，建 议 教 师 准 备 材 料 与 学 生 互 动 一 共 可 以 拼 成 如 下 图 的 几 种 形 状 ： 【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、 一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图 【解析】 能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平 行四边形五种图形建 议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一 些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示 【例 25】 下面哪些图形自身用 4 次就能拼成一个正方形？ 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 13 of 21 【解析】 用 4 块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成 一个大正方形，拼法见下图 【例 26】 用下面的 3 个图形，拼成右边的大正方形 【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有 16 个，只能组成 的正方形，使用目标倒推法，在右边的大4 正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了， 如下图： 【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中 【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有 16 个，只能组成 的正方形，目标倒推，在右边的大正方形4 中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标 号的位置，具体如下图所示： |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 14 【例 27】 有 6 个完全相同的 ，你能将它们拼成下面的形状吗？ 【解析】 利用染色法以及图形的对称性， 对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成 1 11 1 1 1 2 2 2 2 22 1 11 1 1 1 3 3 333 3 2 2 2 2 22 1 11 1 1 1 【例 28】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图： ( ) ( ) ( )ABC 已有 型板 30 块，要购买 、 两种型号板若干，拼成 正方形 10 个， 型板每块价格 5 元，C5B 型板每块价格为 4 元请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买 、 两种C C 板要花多少元？ 【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有 30 个 型板最好能用上，而价格较贵的 型板尽可能少用，因为 型A A 与 型的面积都为 3，所以在拼成的 的正方形中，除了 型外，余下的面积应能被 3 整除有B5 或 能被 3 整除知，只能用 4 块 型板或 1 块 型板，考 虑尽可能多地使用2549251C 型板，有如下图 1、图 2 的拼法：A B C C C C BA AAA AAB C A 图 1 图 2 图 1 的拼法要花 (元)，图 2 的拼法要花 (元)，因 为只有 30 块 型板，所以4526459A 在 10 快 的正方形中，图 2 的拼法只能有 4 块，剩下 6 块用图 1 拼法，共需：5 (元)94269 【例 29】 试用图 a 中的 8 个相等的直角三角形，拼成图 b 中的空心正八边形和图 c 中的空心正八角星 【解析】 把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同 时，斜边上的一个锐角顶点与 直角顶点重合，像 这样依次摆 放下去，便可得空心正八边形若把一个直角三角形的斜边与另一个直 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 15 of 21 角三角形的直角边的一部分重合，但 顶点均不重合，依次 摆 放下去，便可由这八个相等的直角三角形 组成空心正八角星 板块三 图形的剪拼 【例 30】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形 【解析】 要用分成的四块组成三角形，那么剪成得 图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有 好几种组成图形的时候我们 可以换位思考，看如何将三角形、平行四 边形、梯形分成大小相等的三 角形如图所示： 【例 31】 把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形 【解析】 因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边 长和，而是等于小正方形的对 角线的长，所以要沿着两个小正方形的 对角线剪开再进行拼接，如右 图 【例 32】 将下图分成 4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形 【解析】 总共有 36 块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有 6 个单位，具体切拼方法如下： 【例 33】 试将一个 的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形49 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 16 【解析】 已知长方形格数 (个)，所以正方形的边长应为 6 个格，因此可以把长方形上半部分成 3 个9436 格、6 个格，下半部分成 6 个格、 3 个格，分成相等的两 块，合起来正好拼成一个边长为 6 个格的正方 形，如右下图 【巩固】长方形的长和宽各是 9 厘米和 4 厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正 方形 【解析】 已知长方形面积 (平方厘米)，所以正方形的边长应为 6 厘米，因此可以把长方形上半部剪36 下 6 厘米，下半部剪下 3 厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为 6 厘米的正方形，如右 下图 36 3 6 4 2 3 3 3 6 4 2 【例 34】 将下图分成两块，然后拼成一个正方形 【解析】 图形的面积等于 16 个小方格，如果以每个小方格的边长为 1，那么拼成的正方形的边长应该是 4因 为图形是缺角长方形， 长为 6，宽为 3，应将宽加 1，长减去 2 便可得一个正方形，所以分割成两块后， 右边的一块应向上平移 1(原来宽为 3，向上平移使宽为 4)，向左平移 2(原来长为 6，向左平移使长 为 4)如右下 图所示 【例 35】 将图 1 分成 4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 17 of 21 图 1 图 2 图 3 【解析】 经过计数可以发现， 图形是由 16 个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有 4 个这样的 小正方形，共有 4 排把大图形分成完全一 样的 4 个图形，每个图形的面积都是小正方形的 4 倍现在 来考虑形状由于 这个图形具有 对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一 样的图形，只要沿大 图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个是图 2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个 形状、大小都相同的图形即可下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法如果把上图中每个小正 方形的边长看作 1 个单位，那么这个图形中的最长边有 4 个单位，其次 为 3；显然，要把它分成完全 一样的两个图形，每个 图形的最 长边只能为 3，具体分法见图 3，用同样的方法，可以将与上面的图形 完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的 图形，如右上 图 【例 36】 小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来 做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪 拼呢？ 【解析】 要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形 的边重合，假设拼好的长方形以 为长， 现在要把 补到 的位置上，这就要求这两个三BCADECG 角形完全一样， 显然，只要取 、 分别为 、 的中点即可所以首先连接 的中点 和DE ABD 的中点 ，将 沿 剪开，再按 顺时针方向旋转 180即可如下图所示ACEA GED A B C 【例 37】 试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形 【解析】 方法一：三角形与长方形的不同在于：角、 边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角， 加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形 两条边的中点，这样才能拼出一个 长方形，如左下 图 方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形， 作三角形的中位线，旋转 180即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下 图 方法一： 方法二： 【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形 |初一数学基础-提高-精英学生版| 第 1 讲 第页 18 方法一： 方法二： 【解析】 方法一：考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个 大的三角形，如左上图所示 方法二：连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转 180即可，如右上图所 示 【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形 方法一： 方法二： 【解析】 将例题逆推即可 【例 38】 把一个正方形分成 8 块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面 积相等 【解析】 连接正方形的对角线，把正方形分成了 4 个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分 成 4 个小等腰直角三角形和 4 个等腰梯形(如图所示) ，出于分成正方形、长方形面积相等的要求 考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和 长方形了(如图 、所示) 8 7 6 5 4 3 2 1 1 256 7 3 4 8 【例 39】 有一块长 8 米、宽 3 米的长方形地毯，现在要把它移到长 6 米、宽 4 米的新房间里请找出一 种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪 裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？ 【解析】 地毯的面积为 平方米，新房 间的面积为 平方米，两者 虽然长、宽不相等，但面积相24642 等通过对比不难发现：地毯的 长比房间的长多 2 米，房间的宽比地毯的宽多 1 米，因此，我 们可以把 地毯看做由 12 个 (平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到 题目的要求，只1 要使原地毯的长缩短一小格即减少 2 米，使原地毯的宽增加一小格，即增加 1 米，我们可以沿对角 线的方向，把它剪成阶梯形的两 块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互 相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动 1 米，再向右平行移动 2 米，即得右下图 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 19 of 21 【 例 40】 如 何 把 一 个 长 20 厘 米 、 宽 12 厘 米 的 长 方 形 切 成 两 块 ， 拼 成 一 个 长 16 厘 米 、 宽 15 厘 米 的 新 长 方 形 4343 4334 43 4343 43 图 图de 【解析】 因为原长方形比新长方形的长多 4 厘米，新 长方形比原长方形的宽多 3 厘米，因此我们把原长方形 分成 20 个长 4 厘米， 宽 3 厘米的小 长方形因为新长方形的长为 16 厘米，所以原长方形的长应减少 一个小长方形，而新 长方形的 宽为 15 厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形可以沿对角线 的方向，把它切成 阶梯状的两 块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，k 即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长 方形 具体操作中可按图 中的粗线把长方形分成两块，一移一错一对，便可得到如 图 所示的长为 16d e 厘米，宽为 15 厘米的新长方形 【例 41】 长方形长 24 厘米，宽 15 厘米把它剪成两块，使它们拼成一个长 20 厘米，宽 18 厘米的长方 形 4 4 4 4 3 4 3 3 4 3 3 24 15 3 3 3 3 20 18 3 4 4 34 4 4 【解析】 长方形面积 (平方厘米)，拼成的 长方形面积 (平方厘米)，面积相等，只21560 186 是长、 宽不等，但它们都可以分成 30 个 43 的小长方形，拼成的长方形的一半应有 15 个 的小43 长方形，即 所以才有如上图的剪切方法3 【例 42】 如下图长方形的长、宽分别为 120 厘米、90 厘米，正中央开有小长方形孔，长为 80 厘米，宽 为 10 厘米，要拼成面积为 100 平方厘米的正方形问如何切分，能使划分的块数最少 【解析】 切分前面积为 (平方厘米)， 应与