21世纪普通高等教育基础课规划教材大学物理尹国盛杨毅(河南大学)习题思考题答案

第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律 参考习题答案 1知质点的运动学方程为 x = R y = R z = 2 ),其中 R、 、 ： （ 1） 质点的运动方程的矢量形式； （ 2） 任一时刻质点的速度和加速度 解： )2/(s o s 2/(c i n ) )s i c o i o s 222 1径为 R 的轮子沿 y = 0的直线作无滑滚动时，轮边缘质点 的轨迹为 ) ) 求质点的速度；当 为常量时，求速度为 0 的点 解： )c o s( ， s 即 1 c o s s i t i + )c o s ，速度为 0 即 0)c o 0s ,2,1,0,2 1质点沿半径为 R 的圆周按规律 20 12S t b t运动，其中0、 b 都是常量 （ 1） 求 t 时刻质点的总加速度； （ 2） t 为何值时总加速度数值上等于 b ？ （ 3） 当加速度达到 b 时，质点已沿圆周 运行了多少圈？ 解： 速率 0， 切向加速度的大小 ， 法向加速度的大小R ( ，加速度nn 加速度的大小 240222 R n （ 2） a = b 时，即 402 02b ， (3) a = b 时， 12121 转动圈数 4220 1图 1示的装置中，两物体的质量为 体之间及物体与桌面间的摩擦系数都是 ，求在力 F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长 解：根据题意，由滑轮的关系可知绳内张力 T = 2F，设 f1，受力如图所示。 （ 1），若 时，此时 1 ，水平向右， 1题 1图 还受到地面对它的静摩擦力 滑动，则 ( 211 ，而 可能大于( 21 ，故 021 T = 2F （ 2）若 时， 则 内张力还是 T = 2F 111 1112 111 2 m 力如图所示，由于 ， 则 02 a 1图 1示的滑轮系统中，123 ，如果滑轮和绳的质量和转轴处的摩擦略去不计，且绳不可伸长，求 1和 解：设 1111 ， 2222 ， 3323 ， 21 2 ， 32 联立求解得 ， ， (4 ，竖直向上。 第 2章 动量和角动量 习题参考答案： 2物体上有一变力 F 作用，它随时间变化的关系如下：在 ， F 均匀地由 0 增加到f1 f1 1题 1图 A B T2 m1 m2 2 20N；又在以后 ， F 保持不变；再经 F 又从 20N 均匀地减少到 0 画出 F- t 图； 求 这段时间内力的冲量及力的平均值； 如果物体的质量为 3 始速度为 1m/s， 且 与力的方向一致，问在力刚变为 0 时，物体的 速度为多大？ 解： 根据定积分的定义，用计算面积的方法 ，可得 这段时间内力的冲量 为 01d ( 0 . 2 0 . 4 ) 2 0 N s 6 N t 力的平均值 为 6 N 1 5 . 4IF t 根据动量定理 ，有 0所以 0 6 3 1 m s 3 m m 2颗子弹由枪口射出时速率为0子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为( ) NF a b t （ a， b 为 正常数 ） ，其中 t 的 单位为秒 (s ) 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需 的 时间； 求子弹所受的冲量 ； 求子弹的质量 解： 子弹走完枪筒全长所需 的 时间 t ， 由题意， 得 ( ) 0F a b t ，所以 at b 子弹所受的冲量 t 221)( 将 t= 2 由动量定理可求得子弹的质量 20022量为 M 的 人 手里拿着一个质量为 m 的物体，此人用与水平面成 角的速率0向前跳去 当他达到最高点时，他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出 问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少 ?(假设人可视为质点 ) 解： 取如图所示坐标把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中满足动量守恒，故有 0 c o M m u 式 中 为人抛物后相对地面的水平速率， u 为抛出物对地面的水平速率得 0 c o s 的水平速率的增量为 0 c o s 而人从最高点到地面的运动时间为 0 t g所以，人跳跃后增加的距离 0 s i m x m g 2图 2示，一质量为 m 的滑块在 14圆弧形滑槽中从静止滑下 设圆弧形滑槽的质量为 M、 半径为 R， 略 去 所有摩 擦力 求当滑块 m 滑到槽底时，滑槽 M 在水平方向移动的距离 解： 以 m 和 M 为研究系统，所受的外力为重力 地面对滑槽的支持力 N，如图 所示，系统在水平方向不受外力，因此在水平方向动 量 守恒。设在下滑 过程中， m 相对于 M 的速度为 ， M 相对地的速度为 V 。 在水平方向有 0 V M V 图 2题 2图 求解上式，得 x m设 m 在 滑槽上滑行的时间为 t， 在水平方向相对于 M 移动的距离为 R，即 00 t V 滑槽在水平方向移动的距离为 d t 第 3章 功和能 习题 参考答案： 3用在质点上的力为 76F i j （ ） ，求： 当一质点从原点运动到 3 4 1 6 r i j F 所做的功 ； 如果质点从原点运动到 3 4 1 6 r i j 求平均功率 解： 由题知， F 为恒力， 7 6 3 4 1 6 3 = F r = i j i j k 根据平均功率的定义式，得 3 5 . 6AP t 3点在外力 24 i + j 的作用下在一平面内运动 （ ） ，求下列情况下，质点从 2x运动到 3x 处该力做的功 质点的运动轨 迹 为抛物线 2 4； 质点的运动轨 迹 为直线 46 解：由 d d d y x F y F z = F r，得 (1) 质点的运动轨道为抛物线 2 4时该力做的功为 2 2 2 21 1 1 1923 41 2165 d d 2 d 4 d d 4 d J 1 0 . 8 y x y x x F y y x y x y =(2) 质点的运动轨道为抛物线 46 时该力做的功为 2 2 2 21 1 1 193 42 216 8 5 d d 2 d 4 d d 4 d J 2 1 . 2 5 y x y x x F y y x y x y = 3量为 m 的木板 B 静止在光滑桌面上，质量 也 为 m 的物体 A（ A 可视为质点）放在木板 给物体 A 一初始速度0使其在 B 板上滑动，设 A、 B 间的摩擦因数为 ，并设 A 滑到 、 B 恰好具有相同的速度 求 B 板的长度 L 及 B 板走过的距离 x 解： A 向右滑动时， B 给 A 一向左的摩擦力， A 给 B 一向右的摩擦力，摩擦力的大小为 将 A、 B 视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设 A 滑到 B 的右端时二者的共同速度为 ， 则有 0 2m 得 02再对 A、 B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功， 可设 B 不动， A 相对B 移动了 B 的长度为 L，摩擦力的功应为 ，代入质点系动能定理 22011222 m g L m m 可得 204L g为了计算 B 板走过的距离 x ，再单独对 B 板应用质点的动能定理，此时 B 板受的摩擦 力做正功 212m g x m 得 208x g3 质量为1过如图 3示的摆锤后，速率由 减少到2已知摆锤的质量为2m，摆线长度为 l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少 ? 解：由水平方向的动量守恒定律，有 1 1 22m 式中 为摆锤在圆周最低点的运动速率 为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力T 0F ，则 222 mg l 式中摆锤在圆周最高点的运动速率 又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中满足机械能守恒定律，故有 222 2 211 222 m m g l 联立 上述三个方程 求 解，可得弹丸所需速率的最小值为 212 5m . 3图 3示，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为1 10一图 3题 3图 个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘 底 30处由静止下落到盘上求此盘向下运动的最大距离2l 解： 第一个过程为泥球自由下落过程。 为 从距离顶端为 h 处自由落下，与 盘 碰撞前的速 度为 ，由机械能守恒，得 212 m m 1 第二个过程为泥球与盘碰撞过程 。 将盘和泥球看做 一个系统， 因二者之间的冲力远大于它们所受的外力 (包 括重力和弹簧的弹力 )， 而且作用时间很短，可以认为动 量守恒。设它们的质量均为 m，它 们碰撞后结合在 起 以共同的速度 V 运动。沿 y 方向 的动量守恒定 律的分量 式为 2m 2 第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地 球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的始态，二者到达最低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力 (均为保守力 )做功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘 到 达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为 2222 1 1 21 1 1222 2 2m V m g l k l k l l 3 依题意，又由 1kl 4 将式 1 、 2 、 3 、 4 联立，代人数 据，可得 2 30 或 2 10 （舍去） 所以，盘向下运动的最大距离为2 30 图 3题 3图 第 4章 刚体力学 习题参考答案 2一质量为 m、半径为 R 的均匀半圆盘的质心 解： 建立 如图所示 坐标系 ，设薄板半径为 R，质量为 m面密度 22 由 质量分布的对称性可得板的质心在 x 轴上而 2242 R x 2图 2示，质量为 m、线长为 l 的单摆，可绕点 O 在竖直平面内面内摆动，初始时刻摆线被拉至水平，然后自由落下，求： 摆线与水平线成 角时，摆球所受到的力矩及摆球对点 O 的角动量； 摆球到达 B 时角速度的大小 解：摆球受力如图 2示。摆线的张力 T 通过点 O，因此其力矩 为零； 重力 G 对点 O 产生力矩，其 大小为 co sM m g l 可见 M 随 角而变化，其方向垂直 纸面向里。 由角动量定理，得 d c o M m g l t 又， 2L 代入上式，并积分，得 2300d c o s L L m g l 摆线与水平线成 角时，摆球对点 O 的角动量 为 232 s i nL m g l 图 2题 2图 当摆球摆到 B 时， 2/ ，因此摆球角动量 32 摆球到达 B 时角速度的大小 4半径为 10滑轮 ,转动惯量为 kg （ 位制）沿着切线方向作用于滑轮的边缘 试求滑轮在 4s 初的角速度 . 解：滑轮所受力矩大小为 20 . 0 5 0 . 0 3M F r t t 由转动定律 即 3050( 2积分得 232 5 1 0 3t s 时 0 s 4图 4示 ， 质量为 m 、长为 l 的均匀细棒 转轴到中心 O 点的距离为 h 并与棒垂直 ， 试求细棒对于该转轴的转动惯量 . 解：如图 在棒上距轴为 棒的质量线密度为，则该长度元的质量 轴通过 棒上距中心为 h 的点并和棒垂直时，有 22222222 121 4图 3示 ， 质量为 m 、半径为 R 的圆柱体中挖有四个半径均为3 空洞中心轴与圆柱体中心轴平行 ， 且间距均为2R。 试求圆柱体对其中心轴的转动惯量 。 解： 如果用同样的材料将空洞填满 ， 设四个小圆柱的质量为 m ，则填满后的总质量为 4， 则有 224 93m m R L 即 15 填满后大圆柱体对中心轴的转动惯量为 221 109)4(21 由平行轴定理 ,填满后的四个小圆柱对大圆柱中心轴的转动惯量为 2222 45112131214 由组合定理得 22221 90594511109 4图 4示 ,一质量均匀分布的圆盘 ， 质量为 M ， 半径为 R ，放在一粗糙的水平面上 ,圆盘可绕通 过其中心的光滑转轴 O 转动 ，圆盘与水平面间的摩擦系数为 。 开始时 ， 圆盘保持静止 ， 一质量为 m 的子弹以水平速度0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌入其中 。 试求 ： 子弹击中圆盘后 ， 圆盘所获得的角速度； 经过多长时间后 ， 圆盘停止转动（略去子弹重力造成的摩擦阻力矩） ? 解：（ 1）子弹射入时，子弹与圆盘组成的系统满足角动量守恒，则有 0 式中 2221 为子弹射入后系统对转轴的转动惯量。 解得 210（ 2）子弹射入后，对圆盘应用由角动量定理得 f 0 其中，圆盘所受摩擦力矩。 取 圆盘中半径为 r 、宽度为 圆环为质 元 ,圆盘质量面密度 为2 ，忽略子弹在圆盘中受到的摩擦力， 则圆盘所受摩擦力矩为 f )2( 则 M d 0 32)2( 故有 23 0 4半径为 R 的具有光滑竖直中心轴的水平圆盘内 ,有一人静止站立在距转轴为 人的质量为圆盘质量的101， 开始时盘 载人相对地面以角速度0匀速转动 。 如果此人垂直于圆盘半径相对盘以速率 v 沿与圆盘转动的相反方向做圆周运动 ， 如图 4示 ，已知圆盘对中心轴的转动惯量为 2210粗糙水平面 求： 圆盘相对地面的角速度； 欲使圆盘相对地面保持静止 ， 人相对圆盘的速度的大小及方向应怎样？ 解： （ 1）设圆盘质量为 M ，选人与圆盘组成的系统为研究对象，当人在盘上走动时，无外 力矩，因此系统角动量守恒 )2/1( 0 人盘盘人 ）即 )2()2(102121)2(10 22022 R 圆盘对地角速度为 （ 2）欲使圆盘对地角速度为零应有 02120 则 0221 即人应与圆盘转动方向的相同方向作圆周运动。 第 6 章 机械振动 习题 参考答案： 6若交流电压的表达式为 : 100，式中 :V 以伏特 (V)为单位 ,t 以秒 (s)为单位 ,求交流电的振幅、周期、频率和初相位 . 解 : 交流电电压的表达式也可化为余弦形式：)2100c o s (311100s 因此有 : 振幅为 : ， 周期为 : s 10 022 T， 频率为 : 02 1002 初相位为：26质点沿 x 轴做简谐振动，其圆频率 = 10 s试分别写出以下两种初始条件下的运动学方程 （）初始位移 x，初始速度 cm/s ; （）初始位移 x，初始速度 cm/s 解： （）由题意可设质点做简谐振动的运动学方程为： )10(c 则其速度方程为： )10(s 将初始条件 0t 时， x， cm/s 分别 代入上面两式得： A c o x A s m / s 解以上两方程得： ，4 所以： )410(c o ） (2) 0t 时， A c o x s c m / s 解以上两个方程得： ，4 所以： )410(c o ） 6一简谐振动振幅 A = 12 期 T = 3 s，若 振 子在位移 x = 并向负方向运动为计时起点，请做出其位移时间曲线，并求出其运动到 x = - 所需的最短时间 解 ：若设该简谐振动的方程为： ) 那么由题意可知，该简谐振动的圆频率 ad/s 322 ， ,0时t 0s A，所以初相位为：3其其位移时间曲线图如上图所示 其运动到 x= - 时，有 )332c o s (126 t，解得：34 32 332 或t 因所求的是最短时间，上式取32，因此 s 5.0t 6一水平弹簧振子 K = 24 N/m， 重物的质量 m = 6 止在平衡位置上 ,如图 6示 设以一水平恒力 F = 10 计摩擦），使之从平衡位置向左运动了 m，此时撤去力 F 当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程 解： 由题意 可知，物体在做简谐振动，设其运动学方程为： )(c 根据能量守恒定律，系统的弹性势能为： 221J 5.0 代入数据， 从而解得： m 又因 s 2， 0 , 0 时 ， 从而解得 因此物体的运动学方程为： )2c ） 第 1 章 质点运动学和牛顿运 动定律 参考习题答案 1知质点的运动学方程为 x = R y = R z = 2 ),其中 R、 、 ： （ 1） 质点的运动方程的矢量形式； （ 2） 任一时刻质点的速度和加速度 解： )2/(s o s 2/(c i n ) )s i c o i o s 222 1径为 R 的轮子沿 y = 0的直线作无滑滚动时，轮边缘质点的轨迹为 ) ) 求质点的速度；当 为常量时，求速度为 0 的点 解： )c o s( ， s 即 1 c o s s i t i + j 当 )c o s ，速度为 0 即 0)c o 0s ,2,1,0,2 1质点沿半径为 R 的圆周按规律 20 12S t b t运动，其中0、 b 都是常量 （ 1） 求 t 时刻质点的总加速度； （ 2） t 为何值时总加速度数值上等于 b ？ （ 3） 当加速度达到 b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？ 解： 速率 0， 切向加速度的大小 ， 法向加速度的大小R ( ，加速度nn 加速度的大小 240222 R n （ 2） a = b 时，即 402 02b ， (3) a = b 时， 12121 转动圈数 4220 1图 1示的装置中，两物体的质量为 体之间及物体与桌面间的摩擦系数都是 ，求在力 F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳 1题 1图 的质量及轴承摩擦，绳不可伸长 解：根据题意，由滑轮的关系可知绳内张力 T = 2F，设 f1，受力如图所示。 （ 1），若 时，此时 1 ，水平向右，还受到地面对它的静摩擦力 滑动，则 ( 211 ，而 可能大于( 21 ，故 021 T = 2F （ 2）若 时， 则 内张力还是 T = 2F 111 1112 111 2 m 力如图所示，由于 ， 则 02 a 1图 1示的滑轮系统中，123 ，如果滑轮和绳的质量和转轴处的摩擦略去不计，且绳不可伸长，求 1和 解：设 1111 ， 2222 ， 3323 ， 21 2 ， 32 联立求解得 ， ， (4 ，竖直向上。 第 2章 动量和角动量 f1 f1 1题 1图 A B T2 m1 m2 2 习题参考答案： 2物体上有一变力 F 作用，它随时间变化的关系如下：在 ， F 均匀地由 0 增加到20N；又在以后 ， F 保持不变；再经 F 又从 20N 均匀地 减少到 0 画出 F- t 图； 求 这段时间内力的冲量及力的平均值； 如果物体的质量为 3 始速度为 1m/s， 且 与力的方向一致，问在力刚变为 0 时，物体的 速度为多大？ 解： 根据定积分的定义，用计算面积的方法 ，可得 这段时间内力的冲量 为 01d ( 0 . 2 0 . 4 ) 2 0 N s 6 N t 力的平均值 为 6 N 1 5 . 4IF t 根据动量定理 ，有 0所以 0 6 3 1 m s 3 m m 颗子弹由枪口射出时速率为0子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为( ) NF a b t （ a， b 为 正常数 ） ，其中 t 的 单位为秒 (s ) 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需 的 时间； 求子弹所受的冲量 ； 求子弹的质量 解： 子弹走完枪筒全长所需 的 时间 t ，由题意， 得 ( ) 0F a b t ，所以 at b 子弹所受的冲量 t 221)( 将 t= 2 由动量定理可求得子弹的质量 20022量为 M 的 人 手里拿着一个质量为 m 的物体，此人用与水平面成 角的 速率0向前跳去 当他达到最高点时，他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出 问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少 ?(假设人可视为 质点 ) 解： 取如图所示坐标把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中满足动量守恒，故有 0 c o M m u 式 中 为人抛物后相对地面的水平速率， u 为抛出物对地面的水平速率得 0 c o s 的水平速率的增量为 0 c o s 而人从最高点到地面的运动时间为 0 t g所以，人跳跃后增加的距离 0 s i m x m g 2图 2示，一质量为 m 的滑块在 14圆弧形滑槽中从静止滑下 设圆弧形滑槽的质量为 M、 半径为 R， 略 去 所有摩擦力 求当 滑块 m 滑到槽底时，滑槽 M 在水平方向移动的距离 图 2题 2图 解： 以 m 和 M 为研究系统，所受的外力为重力 地面对滑槽的支持力 N，如图 所示，系统在水平方向不受外力，因此在水平方向动 量 守恒。设在下滑 过程中， m 相对于 M 的速度为 ， M 相对地的速度为 V 。 在水平方向有 0 V M V 求解上式，得 x m设 m 在滑槽上滑行 的时间为 t， 在水平方向相对于 M 移动的距离为 R，即 00 t V 滑槽在水平方向移动的距离为 d t 第 3章 功和能 习题 参考答案： 3用在质点上的力为 76F i j （ ） ，求： 当一质点从原点运动到 3 4 1 6 r i j F 所做的功 ； 如果质点从原点运动到 3 4 1 6 r i j 求平均功率 解： 由题知， F 为恒力， 7 6 3 4 1 6 3 = F r = i j i j k 根据平均功率的定义式，得 3 5 . 6AP t 3点在外力 24 i + j 的作用下在一平面内运动 （ ） ，求下列情况下，质点从 2x运动到 3x 处该力做的功 质点的运动轨 迹 为抛物线 2 4； 质点的运动轨 迹 为直线 46 解：由 d d d y x F y F z = F r，得 (3) 质点的运动轨道为抛物线 2 4时该力做的功为 2 2 2 21 1 1 1923 41 2165 d d 2 d 4 d d 4 d J 1 0 . 8 y x y x x F y y x y x y =(4) 质点的运动轨道为抛物线 46 时该力做的功为 2 2 2 21 1 1 193 42 216 8 5 d d 2 d 4 d d 4 d J 2 1 . 2 5 y x y x x F y y x y x y = 3量为 m 的木板 B 静止在光滑桌面上，质量 也 为 m 的物体 A（ A 可视为质点）放在木板 给物体 A 一初始速度0使其在 B 板上滑动，设 A、 B 间的摩擦因数为 ，并设 A 滑到 、 B 恰好具有相同的速度 求 B 板的长度 L 及 B 板走过的距离 x 解： A 向右滑动时， B 给 A 一向左 的摩擦力， A 给 B 一向右的摩擦力，摩擦力的大小为 将 A、 B 视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设 A 滑到 B 的右端时二者的共同速度为 ， 则有 0 2m 得 02 再对 A、 B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功，可设 B 不动 ， A 相对B 移动了 B 的长度为 L，摩擦力的功应为 ，代入质点系动能定理 22011222 m g L m m 可得 204L g为了计算 B 板走过的距离 x ，再单独对 B 板应用质点的动能定理，此时 B 板受的摩擦 力做正功 212m g x m 得 208x g3 质量为1过如图 3示的摆锤后，速率由 减少到2已知摆锤的质量为2m，摆线长度为 l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少 ? 解：由水平方向的动量守恒定律，有 1 1 22m 式中 为摆锤在圆周最低点的运动速率 为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力T 0F ，则 222 mg l 式中摆锤在圆周最高点的运动速率 又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中满足机械能守恒定律，故有 图 3题 3图 222 2 211 222 m m g l 联立 上述三个方程 求 解，可得弹丸所需速率的最小值为 212 5m . 3图 3示，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为1 10一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘 底 30处由静止下落到盘上求此盘向下运动的最大距离2l 解： 第一个过程为泥球自由下落过程。 为 从距离顶端为 h 处自由落下，与 盘 碰撞前的速 度为 ，由机械能守恒，得 212 m m 1 第二个过程为泥球与盘碰撞过程 。 将盘和泥球看做 一个系统， 因二者之间的冲力远大于它们所受的外力 (包 括重力和弹簧的弹力 )， 而且作用时 间很短，可以认为动 量守恒。设它们的质量均为 m，它 们碰撞后结合在 起 以共同的速度 V 运动。沿 y 方向 的动量守恒定 律的分量 式为 2m 2 第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地 球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的始态，二者到达最低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力 (均为保守力 )做功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘 到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为 2222 1 1 21 1 1222 2 2m V m g l k l k l l 3 依题意，又由 图 3题 3图 1kl 4 将式 1 、 2 、 3 、 4 联立，代人数据，可得 2 30 或 2 10 （舍去） 所以，盘向下运动的最大距离为2 30 第 4章 刚体力学 习题参考答案 2一质量为 m、半径为 R 的均匀半圆盘的质心 解： 建立 如图所示 坐标系 ，设薄板半径为 R，质量为 m面密度 22 由 质量分布的对称性可得板的质心在 x 轴上而 2242 R x 2图 2示，质量为 m、线长为 l 的单摆，可绕点 O 在竖直平面内面内摆动，初始时刻摆线被拉至水平，然后自由落下，求： 摆线与水平线成 角时，摆球所受到的力矩及摆球对点 O 的角动量； 摆球到达 B 时角速度的大小 解：摆球受力如图 2示。摆线的张力 T 通过点 O，因此其力矩 为零； 重力 G 对点 O 产生力矩，其 大小为 co sM m g l 可见 M 随 角而变化，其方向垂直 纸面向里。 由角动量定理，得 d c o M m g l t 图 2题 2图 ， 2L 代入上式，并积分，得 2300d c o s L L m g l 摆线与水平线成 角时，摆球对点 O 的角动量 为 232 s i nL m g l 当摆球摆到 B 时， 2/ ，因此摆球角动量 32 摆球到达 B 时角速度的大小 4半径为 10滑轮 ,转动惯量为 kg （ 位制）沿着切线方向作用于滑轮的边缘 试求滑轮在 4s 初的角速度 . 解：滑轮所受力矩大小为 20 . 0 5 0 . 0 3M F r t t 由转动定律 即 3050( 2积分得 232 5 1 0 3t s 时 0 s 4图 4示 ， 质量为 m 、长为 l 的均匀细棒 转轴到中心 O 点的距离为 h 并与棒垂直 ， 试求细棒对于该转轴的转动惯量 . 解：如图 在棒上距轴为 棒的质量线密度为，则该长度元的质量 轴通过 棒上距中心为 h 的点并和棒垂直时，有 22222222 121 4图 3示 ， 质量为 m 、半径为 R 的圆柱体中挖有四个半径均为3 空洞中心轴与圆柱体中心轴平行 ， 且间距均为2R。 试求圆柱体对其中心轴的转动惯量 。 解： 如果用同样的材料将空洞填满 ， 设四个小圆柱的质量为 m ，则填满后的总质量为 4， 则有 224 93m m R L 即 15 填满后大圆柱体对中心轴的转动惯量为 221 109)4(21 由平行轴定理 ,填满后的四个小圆柱对大圆柱中心轴的转动惯量为 2222 45112131214 由组合定理得 22221 90594511109 4图 4示 ,一质量均匀分布的圆盘 ， 质量为 M ， 半径为 R ， 放在一粗糙的水平面上 ,圆盘可绕通过其中心的 光滑转轴 O 转动 ，圆盘与水平面间的摩擦系数为 。 开始时 ， 圆盘保持静止 ， 一质量为 m 的子弹以水平速度0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌入其中 。 试求 ： 子弹击中圆盘后 ，