江西省2017届高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年江西省重点中学协作体高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 P=0， 2， 4， 6，集合 Q=x N|x 3，则 P Q=（ ） A 2 B 0， 2 C 0， 1， 2， 3， 4， 6 D 1， 2， 3， 4， 6 2 i 为虚数单位，复数 的虚部为（ ） A 1 B 0 C i D以上都不对 3已知平面直角坐标系内的两个向量 ， ，且平面内的任一向量 都可以唯一的 表示成 = + （ ， 为实数），则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 4） B（ 4， + ） C（ ， 4） （ 4， + ） D（ ， + ） 4已知 ， ， ，则（ ） A b c a B c b a C b a c D a b c 5已知 ，则 f（ =（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 6如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 N（ N 2）和实数 ，出 A， B，则（ ） A A+B 为 ， 和 B A 和 B 分别是 ， 最大的 数和最小的数 C 为 ， 算术平均数 D A 和 B 分别是 ， 最小的数和最大的数 7某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 4 根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 y=a，若生产 7 吨产品，预计相应的生产能耗为（ ）吨 A 设当 x=时，函数 y=3得最大值，则 ） A B C D 9设 l， m 表示不同直线， ， 表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A若 l ， l m，则 m B若 l ， l m， m，则 C若 l ， l m，则 m D若 ， l ， l m， m，则 m 10过函数 图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ） A B C D 11等差数列 前 n 项和为 公差 d 0，（ 0，则（ ） A | |B | |C |D |0 12我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道： “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异 ”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等其最著名之处是解决了 “牟合方盖 ”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体 图中四分之一圆柱体 四分之一圆柱体 共部分的体积 V，若图中正方体的棱长为 2，则 V=（ ） （在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 得正方体所得面积为 得锥体所得面积为 3） A B C 8 D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上） 13 x R，使得 0 成立，则实数 m 的取值范围为 14已知等比数列 足： ， 1，则 15已知实数 x， y 满足 ，若使得 y 取得最小值的可行解有无数个 ，则实数 a 的值为 16已知双曲线 的右焦点为 F（ 2， 0），设 A， B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足 ，若直线 斜率为 ，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 17如图， 等腰直角三角形， 0，点 D 在边 延长线上，且 （ 1）求 的值； （ 2）求 长 18如图一，在边长为 2 的等边三角形 ， D、 E、 F 分别是 起，得到如图二所示 的三棱锥 A 中 （ 1）证明： （ 2）求四棱锥 D 体积 19某高校要了解在校学生的身体健康状况，随机抽取了 50 名学生进行心率测试，心率全部介于 50 次 /分到 75 次 /分之间，现将数据分成五组，第一组 50， 55），第二组 55， 60） 第五组 70， 75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 a： 4： 10 （ 1）求 a 的值 （ 2）若从第一、第五组两组数据中随机抽取两名学生的心率，求这两个心率之差的绝对值大于 5 的概率 20已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y 2=0 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） A， B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，动点 M 满足 线 椭圆交于点 P（与 A 点不重合），以 直径的圆交线段 点 N，求证：直线 定点 21设 （ x）是定义在 m， n上的函数，若存在 r （ m， n），使得 （ x）在m， r上单调递增，在 r， n上单调递减，则称 （ x）为 m， n上的 F 函数 （ 1）已知 为 1， 2上的 F 函数，求 a 的取值范围； （ 2）设 ，其中 p 0，判断 （ x）是否为 0， p上的 F 函数？ （ 3）已知 （ x） =（ x）（ x+t）为 m， n上的 F 函数，求 t 的取值范围 四、请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 =线 （ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程； （ 2）若曲线 曲线 交于 P、 Q 两点，求 |值 23已知函数 f（ x） =|2x 1| （ 1）求不等式 f（ x） 4； （ 2）若函数 g（ x） =f（ x） +f（ x 1）的最小值 a，且 m+n=a（ m 0， n 0），求 + 的取值范围 2017 年江西省重点中学协作体高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 P=0， 2， 4， 6，集合 Q=x N|x 3，则 P Q=（ ） A 2 B 0， 2 C 0， 1， 2， 3， 4， 6 D 1， 2， 3， 4， 6 【考点】 交集及其运算 【分析】 化简集合 Q，根据交集的定义写出 P Q 即可 【解答】 解：集合 P=0， 2， 4， 6， 集合 Q=x N|x 3=0， 1， 2， 3， 则 P Q=0， 2 故选： B 2 i 为虚数单位，复数 的虚部为（ ） A 1 B 0 C i D以上都不对 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解：复数 = = =i 的虚部为 1 故选： A 3已知平面直角坐标系内的两个向量 ， ，且平面内的 任一向量 都可以唯一的表示成 = + （ ， 为实数），则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 4） B（ 4， + ） C（ ， 4） （ 4， + ） D（ ， + ） 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据基底的定义可知：平面内的任一向量 都可以唯一的表示成= + ， ， 是平面内表示所有向量的一组基底即 ， 不共线即可 【解答】 解：由题意可知：平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 = + ， ， 是平面内表示所有向量的一组基底 ， 必须不共线 可得： 解得： m 4 故得 m 的取值范围是（ ， 4） （ 4， + ） 故选 C 4已知 ， ， ，则（ ） A b c a B c b a C b a c D a b c 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 = = 1， 0，即可得出 【解答】 解： = = 1， 0， 则 b a c 故选： C 5已知 ，则 f（ =（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 【考点】 函数的值 【分析】 由已知得 f（ =f（ ） = ，由此能求出结果 【解答】 解： ， f（ =f（ ） = =3 2=6 故选： B 6如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 N（ N 2）和实数 ，出 A， B，则（ ） A A+B 为 ， 和 B A 和 B 分别是 ， 最大的数和最小的数 C 为 ， 算术平均数 D A 和 B 分别是 ， 最小的数和最大的数 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序知： 该程序的作用是求出 ， 最 大的数和最小的数 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是：求出 ， 最大的数和最小的数； 其中 A 为 ， 最大的数， B 为 ， 最小的数 故选： B 7某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 4 根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 y=a，若生产 7 吨产品，预计相应的生产 能耗为（ ）吨 A 考点】 线性回归方程 【分析】 由表中数据，计算 、 ，利用线性回归方程过样本中心点（ ， ）求出 a 的值，写出线性回归方程，计算 x=7 时 的值即可 【解答】 解：由表中数据，计算得 = （ 3+4+5+6） = = （ +4+= 且线性回归方程 =a 过样本中心点（ ， ）， 即 4.5+a， 解得 a= x、 y 的线性回归方程是 = 当 x=7 时，估计 生产 7 吨产品的生产能耗为 =7+） 故选： A 8设当 x=时，函数 y=3得最大值，则 ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式： f（ x） = x），并求出 条件和正弦函数的最值列出方程，求出 的表达式，由诱导公式求出 值 【解答】 解： 函数 f（ x） =3 （ = x ）（其中 ， ） 又 x=，且 f（ x）取得最大值， =2， k z，即 =2+， k z， 2+） =+） = ， 故选： D 9设 l， m 表示不同直线， ， 表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A若 l ， l m，则 m B若 l ， l m， m，则 C若 l ， l m，则 m D若 ， l ， l m， m，则 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析 】 对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：若 l ， l m，则 m 与 位置关系不确定，不正确； 若 l ， l m， m，则 、 位置关系不确定，不正确； 若 l ， l m， m，则 m ，不正确； 若 l ， l m，则 m 或 m，因为 ， m，所以 m ，正确 故选 D 10过函数 图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范 围，则倾斜角的范围可求 【解答】 解：由函数 ，得 f（ x） =2x， 设函数 图象上任一点 P（ 且过该点的切线的倾斜角为 （ 0 ）， 则 f（ x） =2x=（ x 1） 2 1 1， 1， 0 或 过函数 图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为 0，） ， ） 故选 B 11等差数列 前 n 项和为 公差 d 0，（ 0，则（ ） A | |B | |C |D |0 【考点】 等差数列的性质 【分析】 根据题意，由（ 0 分析可得（ a6+a7+ a6+a7+a8+ 0，结合等差数列的性质可得（ a6+a7+ a6+a7+a8+ 0（ a7+ 0， 又由 公差 d 0，分析可得 0， 0，且 | |即可得答案 【解答】 解：根据题意，等差数列 ，有（ 0， 即（ a6+a7+ a6+a7+a8+ 0， 又由 等差数列，则有（ a6+a7+=3 a6+a7+a8+=2（ a7+ （ a6+a7+ a6+a7+a8+ 0（ a7+ 0， （ a7+号， 又由公差 d 0， 必有 0， 0，且 | | 故选： B 12我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道： “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异 ”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何 体的体积相等其最著名之处是解决了 “牟合方盖 ”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体 图中四分之一圆柱体 四分之一圆柱体 共部分的体积 V，若图中正方体的棱长为 2，则 V=（ ） （在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 得正方体所得面积为 得锥体所得面积为 3） A B C 8 D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 得正方体所得面积为 得锥体所得面积为， 3，求出 S3=由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可 【解答】 解：在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截， 记截得两圆柱体公共部分所得面积为 得正方体所得面积为 截得锥体所得面积为 可得 ， 3， 由 S3=得 = 则则 V=8 = 故选： A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上） 13 x R，使得 0 成立，则实数 m 的取值范围为 m 2 或 m 2 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 若 x R，使得 0 成立，则 =4 0，解得实数 m 的取值范围 【解答】 解：若 x R，使得 0 成立， 则 =4 0， 解得： m 2 或 m 2， 故答案为： m 2 或 m 2 14已知等比数列 足： ， 1，则 【考点】 等比数列的通项公 式 【分析】 由已知等式求得 一步求出 ，开方取正值得答案 【解答】 解：在等比数列 ，由 1，得 ， 解得 ，又 ， ， 则 故答案为： 15已知实数 x， y 满足 ，若使得 y 取得最小值的可行解有无数个，则实数 a 的值为 1 或 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，令 z=y，则 y=z 则 z 表示直线 y=z 在 y 轴上的截距，截距越大， z 越小，结合图象可求 a 的范围 【解答】 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示： 若使得 y 取得最小值的可行解有无数个，结合图象可知， 则 z=y，与约束条件的直线 x y+1=0 与 x+2y 8=0 平行， a=1 或 故答案为： 1 或 16已知双曲线 的右焦点为 F（ 2， 0），设 A， B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足 ，若直线 斜率为 ，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 A（ 则 B（ 满足 ，再由点 A 在双曲线上且直线 斜率，得到关于 a、 b 的方程组，联解消去 到关于 a、 b 的等式， 结合 b2+a2=出 a= 1，可得离心率 e 的值 【解答】 解：根据题意，设 A（ 则 B（ 焦点 F（ 2， 0）， ， 可得 =（ 2）（ 2） ， 即为 ， 又 点 A 在双曲线上，且直线 斜率为 ， ， 由 联解消去 =1， 又 F（ 2， 0）是双曲线的右焦点，可得 b2= 代入 ，化简整理得 8=0，解之得 +2 或 4 2 ， 由于 ，所以 +2 不合题意，舍去 2 =（ 1） 2， a= 1， 离心率 e= = = +1， 故答案为： +1 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 17如图， 等腰直角三角形， 0，点 D 在边 延长线上，且 （ 1）求 的值； （ 2）求 长 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知可求 ， ，在 ，由正弦定理即可计算得解 （ 2）设 CD=x，则 ，在 由余弦定理即可计算得 解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）因为 等腰直角三角形， 所以 ， 又 所以 ， 在 ，由正弦定理得 ，即 （ 2）设 CD=x，则 ， 在 ： 2 ， 解得： x=1，即 18如图一，在边长为 2 的等边三角形 ， D、 E、 F 分别是 起，得到如图二所示的三棱锥 A 中 （ 1）证明： （ 2）求四棱锥 D 体积 【 考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明 （ 2）推导出 棱锥 D 体积 A 此能求出结果 【解答】 证明：（ 1） 在边长为 2 的等边三角形 ， D、 E、 F 分别是 B、 中点， 将 起，得到如图二所示的三棱锥 A 中 ， 平面 平面 解：（ 2）在 ， ， D=1， ， ， 四棱锥 D 体积 19某高校要了解在校学生的身体健康状况，随机抽取了 50 名学生进行心率测试，心率全部介于 50 次 /分到 75 次 /分之间，现将数据分成五组，第一组 50， 55），第二组 55， 60） 第五组 70， 75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 a： 4： 10 （ 1）求 a 的值 （ 2）若从第一、第五组两组数据中随机抽取两 名学生的心率，求这两个心率之差的绝对值大于 5 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）求出各组的频数，即可求 a 的值 （ 2）若从第一、第五组两组数据中随机抽取两名学生的心率，确定基本事件的个数，即可求这两个心率之差的绝对值大于 5 的概率 【解答】 解：（ 1）因为第二组数据的频率为 5=50=8， 第一组的频数为 2a，第三组的频数为 20，第四组的频数为 16，第五组的频数为4 所以 2a=50 20 16 8 4=2a=1 （ 2）第一组的数据有 2 个，第五组的数据有 4 个，故总的基本事件有 15 个， 符合题意的基本事件有 8 个， 所以这两个心率之差的绝对值大于 5 的概率 20已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y 2=0 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） A， B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，动点 M 满足 线 椭圆交于点 P（与 A 点不重合），以 直径的圆交线段 点 N，求证：直线 定点 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由以原点为圆心，椭圆的短 半轴长为半径的圆与直线 x y 2=0相切，求出 ，再由椭圆的离心率为 ，求出 a=2，由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）设 M（ 2， t），则直线 方程为： ，联立 ，得，由此利用韦达定理、直线斜率、圆的性质，结合已知条件能证明直线 定点 【解答】 解：（ 1） 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y2=0 相切 原点到直线 x y 2=0 的距离 ， ， 又椭圆 的离心率为 ， ， 则 ， a=2， 椭圆 C 方程为 证明：（ 2）设 M（ 2， t），则直线 方程为： 联立 ，消去 y 得 ， ，则 故 又以 直径的圆上与线段 于点 N，则 直线 程为 ，即 ， 直线 定点 O（ 0， 0） 21设 （ x）是定义在 m， n上的函数，若存在 r （ m， n），使得 （ x）在m， r上单调递增，在 r， n上单调递减，则称 （ x）为 m， n上的 F 函数 （ 1）已知 为 1， 2上的 F 函数，求 a 的取值范围； （ 2）设 ，其中 p 0，判断 （ x）是否为 0， p上的 F 函数？ （ 3）已知 （ x） =（ x）（ x+t）为 m， n上的 F 函数，求 t 的取值 范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出 （ x）的导数，求出极值点，由新定义求得 a 的范围； （ 2）求出 （ x）的导数，运用零点存在定理可得 （ 0， p），使得 （ 0， （ x）在 0， 为单调递增，即可判断； （ 3）求得 （ x）的导数，设方程 22x+t=0 的判别式为 =4 8t，讨论判别式小于等于 0，或大于 0，求出单调区间，由新定义即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1） 的导数为 ， 令 （ x） =0x=1 a （ 1， 2） a （ 1， 0）， 又 （ x）在 1， 1 a上为单调递增，在 1 a， 2上单调递减， （ x）为 F 函数 a （ 1， 0） （ 2） （ x） =p（ x+x2+x3+ x 0， p（ x）在 0， p上为单调递减， 又 （ 0） =p 0， （ p） = 0， （ 0， p），使得 （ =0， （ x）在 0， 为单调递增， 在 p上单调递减， （ x）是 0， p上的 F 函数； （ 3） （ x） =（ x）（ x+t）的导数 为 （ x） =（ 2x 1）（ 22x+t）， 方程 22x+t=0 的判别式为 =4 8t， 当 0 即 时， 22x+t 0 恒成立， 此时 时， （ x） 0， （ x