高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明圆 是 学 生 比 较 熟 悉 的 曲 线 ，初 中 平 面 几 何 对 圆 的 基 本 性 质 作 了 比 较 系 统 的研 究 ，因 此 这 节 课 的 重 点 确 定 为 用 解 析 法 研 究 圆 的 标 准 方 程 及 其 简 单 应 用 。一、设计理念设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。二、设计思路（1）突出重点 抓住关键 突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。（2）学生主体 教师主导 探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。另外，我在例题 2 的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。三、媒体设计本节采用 powerpoint 媒体，知识容量大，同时又有图形。 为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。4.1.1 圆的标准方程（教案）14.1.1 圆的标准方程教 材 ：普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 （人 教 A 版 ）数 学 （必 修 2）第 四 章 第 一 节一、教学目标1、知识目标 （1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。2、能力目标（1）进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；（2）使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；（3）增强学生用数学的意识。3、情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习热情和兴趣。二、教学重点、难点1、教学重点：圆的标准方程的推导过程及圆的标准方程的特点的明确。2、教学难点：会根据不同的已知条件，利 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 标准 方 程 。三、教学方法与手段1、教学方法：通过师生互动交流教给学生研究、解决数学问题的切实方法，在教学过程中采用“启发式” ， “探究式” ， “开放式”等教学模式，让学生学会学习，学会探索和学会与人合作。体验自主获取知识的乐趣，培养他们学习数学的兴趣。22、教学手段：使用多媒体辅助教学。四、教学过程与设计教师活动设计 学生活动设计1、复习提问、引入课题师：在初中，我们学过圆，圆的定义是怎样的？师：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？（多媒体演示）师：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？2、探索研究师：确定圆的基本条件为圆心和半径，在平面直角坐标系中，设圆的圆心坐标为 (,)Cab，半径为 r（其中 ,abr都是常数；0r） 。下面我们一起探讨圆的方程是怎样的。设 (,)Mxy为这个圆上任意一点，那么点 满足的条件是（引导学生自己列出） |PCr，如图所示由两点间的距离公式，点 M 的坐标适合的条件可以表示为 22()()xaybr式两边平方，得 引导学生从两个方面验证 22()()r为圆的方程，得出结论。方程称为圆心为 (,)Cab，半径为 r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。师：这个方程有什么特点？（形式上，左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方，括号内是差的形式，还可以看出圆心坐标（ a,b）和半径 r。 ）师：圆心在坐标原点，半径长为 r的圆的方程是什么？（ 学生回忆，并回答。学生思考。学生在课堂上与老师一起推导出圆的方程。学生思考，并一起回答。学生思考后回答。322xyr）3、尝试练习 师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定 ,abr这三个独立变量即可。多媒体演示练习练习 1：（口答）求下列圆的圆心及半径（1） 24xy （2） 22(1)3xy答案：（1） (0,)C， r （2） (,0)C， r变式： 225a()答案： (,)|r4、例题分析、巩固应用师：下面我们通过例题来看看有关圆的标准方程的问题。多媒体演示例：（1）写出圆心在坐标原点，半径长为 3的圆的方程；（2）写出圆心为 (2,3)A，半径长等于 5的圆的方程，并判断点 1(5,7)M， 51是否在这个圆上。解：（1） 2xy（2）圆心是 (,3)A，半径长等于 的圆的标准方程是2()()5xy。把点 1(5,7)的坐标代入方程2，左右两边相等，点 1M的坐标适合圆的方程，所以点 1M在这个圆上；把点 2(,)的坐标代入方程22()(3)5xy，左右两边不相等，点 2的坐标不适合圆学生完成此练习后举手，老师抽三名学生回答。学生独立思考后，在课堂练习本上完成此例举手，老师抽学生回答。4的方程，所以点 2M不在这个圆上（如下图） 。点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆 的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆心坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标是否满足方程来看点在不在圆上从代数到几何。师：在 例 1（ 2） 问 中 ， 已 判 断 点 2M不 在 圆 上 了 ， 那 么 点2M到 底 在 圆 内 ， 还 是 在 圆 外 ？师：点 0(,)xy在圆 22()()xaybr内的条件是什么？在圆上呢？在圆外呢？ 多媒体演示设 0(,)Mxy到圆心 (,)Cab的距离为 d，10 22000)()drxybr点 在 圆 内 20 (点 在 圆 上 30 22000)()a点 在 圆 外 练习：请判断 (2,3),1(,ABC与圆 21(4xy的位置关系例 2：已知圆心为 C 的圆经过点 (,)A和 (,)B，且圆心C在直线 :10lxy上，求圆心为 C 的圆的标准方程。解法 1 分析：多媒体演示抽一名学生回答。学生独立思考，自主探究，抽一名学生回答。学生独立完成老 师 抽 学 生 回 答学生独立思考，分组讨论解法，老师抽学生回答讨论的结果。5(教师板书示范后多媒体演示)解法 1：因为 (,)A， (2,)B，所以线段 AB的中点 D的坐标为 3(,)2，直线 B的斜率213,ABk因此线段 AB 的垂直平分线 l的方程是(),23yx即 0圆心 C的坐标是方程组 1xy的解。解此方程组，得32xy 所以圆心 C 的坐标是（ ,）圆心为 C 的圆的半径长22(13)()5rA所以，圆心为 C 的圆的标准方程是22()()xy师：还能用其他方法解决这个问题吗？请试试。解法 2：设所求圆的标准方程是 22()(),xaybr则抽一名学生发表自己的见解。622(1)()0abr解得 325abr所以，圆心坐标为 (3,2)所以半径 |5rCB所以，所求圆的标准方程是 22()()5xy师：除了这两种解法，还有其它解法吗？解法 3：因为圆心 C 在直线 :10lxy上所以可设 (,1)a因为 |AB所以 2222()()()(1)a解得 3a所以圆心 C (,)所以半径 |5rB所以，所求圆的标准方程是 22(3)()xy点评： 一 题 多 解 的 探 究 可 纵 向 挖 掘 知 识 深 度 ，横 向 加 强 知 识 间的 联 系 ，培 养 了 学 生 的 创 新 精 神 ，并 且 使 学 生 的 有 效 思 维 量 加 大 。5、巩固练习师：非常好！下面大家动手做如下习题。 （多媒体演示）圆 C的圆心在 x轴上，并且过点 (1,)(,3AB和 C求 圆 的方程。解：依题可设圆心 (,0)a，因为 |AB所以 22221()(1)(03)a解得 2抽一名学生说出解法。抽一名学生上黑板板书，老师再讲评。7所以圆心 (2,0)C所以半径 22|(1)(0)1rA所以，所求的圆的标准方程为 2()xy6、课堂小结师：本节课我们学到了什么？（1）牢记：圆的标准方程 22()()xaybr；（2）明确：点与圆的位置关系；（3）方法：根据题设条件列出关于 ,的方程组，解方程组得圆的标准方程。根据题设条件直接求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程。7、课外作业：P 124 A 组 2，38、拓展提升思考： BC的三个顶点的坐标，分别是 (5,1)A， (7,3)B，(2,)，求它的外接圆的方程。（多媒体演示）解：设所求圆的方程是 22()()xaybr 因为 (5,1)A， (7,3)B， (,8)C都 在 圆 上 ， 所 以 它 们 的 坐 标都 满 足 方 程 ，于是22(7)()8abr师：如何解这个方程组？师：要解出这个方程组，要展开括号，还要拿两个方程相减，方法很繁，计算量也很大，有没有更简单的方法呢？我们将会在下一节圆的一般方程中学习，且听下节精彩分解。9、备用练习（供学有余力的学生学习）（1）求以 (1,3)C为圆心，并且和直线 340xy相切的圆抽一名学生回答。学生思考，并在练习本上独立完成。引导学生集体回答。8的标准方程；（2）圆心在点 (2,1)，且截直线 1yx所得弦长为 2，求圆的方程。五、板书设计4.1.1 圆的标准方程一、圆的标准方程的定义二、点与圆的位置关系三、求圆的标准方程的方法例 2： 练习：六、教学后记圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。本课时 是圆的方程的第一课时，由于学生是在初中学习圆的相关知识，知识的遗忘较多，再加上学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，因此在教学设计时，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。我选择的教学方法是在学生学习了一个新知识后立即进行练习，从而达到让学生牢固掌握所学知识并能用所学知识来解决一些9具体问题的效果。具体的讲，在学生推导出圆的标准方程，引导学生分析圆的标准方程的结构特征后，选择了 3 道直接运用圆的标准方程的练习题，目的是让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，这些练习题都采取从易到难的梯度进行的，通过这样的训练来达到让学生充分掌握圆的标准方程的形式。我适