高中数学条件概率中的一题多解

条件概率中的一题多解条件概率是概率的一个难点，首先， “在某事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率”经常容易和“事件 A、B 同时发生的概率”混淆；其次，在解决条件概率问题时采取方法的不同会直接导致解决问题的难易程度不同。这就要求同学们熟练掌握解决条件概率问题的各种方法，因题而异，选择适当的方法求解。我们看下面这个例子：例：一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那么（1）先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？（2）先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？法一：利用古典概型的特点求出各事件发生的基本事件数，然后用比例求解。解：（1）设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A， “再摸出 1 个白球”为事件 B， “先后两次摸到白球”为事件 。AB则 A=（白 1，白 2） ， （白 1，黑 1） ， （白 1，黑 2） ， （白 2，白 1） ， （白 2，黑 1） ， （白 2，黑 2），事件 A 的基本事件数为 6；=（白 1，白 2） ， （白 2，白 1） ， 事件的基本事件个数为 2。B。(|)63P（2）设“先摸出 1 个白球放回”为事件 ， “再摸出 1 个白球”为事件 ， “先后两次摸1A1B到白球”为事件 。AB则 =（白 1，白 1） ， （白 1，白 2） ， （白 1，黑 1） ， （白 1，黑 2） ， （白 2，白 1） ， （白 2，1白 2） ， （白 2，黑 1） ， （白 2，黑 2），事件 A 的基本事件数为 8；=（白 1，白 2） ， （白 2，白 1） ， （白 1，白 1） ， （白 2，白 2）， 事件的1 1AB基本事件个数为 4。1(|)8PBA法二：利用条件概率公式直接求解。（1）设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A， “再摸出 1 个白球”为事件 B， “先后两次摸到白球”为事件 。， 。2321(),()4436PAPAB1()6(|)32PBA（2）设“先摸出 1 个白球放回”为事件 ， “再摸出 1 个白球”为事件 ， “先后两次摸1 1B到白球”为事件 。， 。112421(),()4PAPAB11()14(|)2PABB法三：通过问题的实质解决问题。解：（1）摸出 1 个白球之后不放回，问题就变成了“从 1 个白球和 2 个黑球中摸出 1 个白球的概率是多少？”显然， 。3P（2）摸出 1 个白球放回后，问题就变成了“从 2 个白球和 2 个黑球中摸出 1 个白球的概率是多少？”显然， 。42综上来看上面几种方法，法二是课本上给出的方法，比较“正规” ，但相比法一，多求了总的基本事件空间的基本事件数，实际问题解决中可省略；（理论依据： ，n 直接就约掉了，对结果无任何影响）12()(|)PAB而对于法一来讲，若事件较简单，可直接列出基本事件空间，数数基本事件的个数，若事件比较复杂，可通过排列组合方法求出基本事件空间的基本事件个数。这种方法在实际问题中比较通用；三种方法相比较，对此题而言，显然第三种方法最简单，前提是“题意不乱，思绪容易理清” 。下面我们把上面的例子中的数据稍作修改，再来感受一下这三种方法。变式：一袋中有 6 个黑球，4 个白球，那么（1）依次取出 3 个球不放回，已知第一次取出的是白球，则第三次取到黑球的概率是多少？（2）有放回地依次取出 3 球，已知第一次取出的是白球，则第三次取到黑球的概率是多少？法一：解：（1）设“第一次取到白球不放回”为事件 A， “第三次取到黑球”为事件 B， “第一次取到白球不放回并且第三次取到黑球”为事件 。B则 A 事件发生的基本事件数为 ；1249C事件发生的基本事件数为 （分白，白，黑 和白，黑，黑两种B1236()情况）或 （先考虑第一次和第三次的，最后考虑第二次的） 。1468C。1249(|)3PA（2）设“第一次取到白球放回”为事件 ， “第三次取到黑球”为事件 ， “第一次取到1A1B白球放回并且第三次取到黑球”为事件 。1AB则 事件发生的基本事件数为 ；1A40事件发生的基本事件数为 （先考虑第一次和第三次的，最后考虑第二次B6的） 。146103(|)5PA法二：解：所有设法与法一一致。（1）总的基本事件数为 ，310。146830291()(|)CAPBA（2）总的基本事件数为 ，3。311460()(|)15PABB法三：解：（1）第一次取到白球不放回，问题就变为“从 6 个黑球和 3 个白球中不放回地连续取 2 次球，第二次取到黑球的概率是多少？”。168293CPA（2）第一次取到白球放回，问题就变为“从 6 个黑球和 4 个白球中有放回地连续取 2 次球，第二次取到黑球的概率是多少？”。16025P另解：（2）中每次