高中数学必修五《等比数列前n项和》教案

1等比数列的前 n 项和教案一、教学目的1、理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题2、通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质3、通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美二、教学重点、难点、关键教学重点：等比数列的前 n项和公式的推导及其简单应用教学难点：等比数列的前 n 项和公式的推导。教学关键：推导等比数列的前 n 项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。三、教具、学具准备多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。四、教学方法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然” ，还要“知其所以然” ，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。本节课将采用“多媒体优化组合激励发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。五、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔” 。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。2根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了创设情景观察归纳讨论研究即时训练总结反思任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。抓住学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；同时从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，帮助学生培养勇于探索、不断创新的思维品质。六、教学过程1、复习回顾，引旧导新（1）等比数列 na的定义及通项公式 1(2)naq，1nqa。（2）等比中项：如果 a,b,c 成等比，则 bc。（3）等比数列 na的一些结论：mnnqanmqpap时 ， 则2、创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？师：同学们，你能解释这是为什么吗？本节课我们研究等比数列前 n 项和 ，通过学习，我们就可以很容易解释这个问题了。 （板书课题）2.5 等比数列的前 n 项和一般地，等比数列的前 n 项和用 ns表示，即： 12na。设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极3性故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我再问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数 23631+。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和这时我对他们的这种思路给予肯定设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法” ，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教 师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同 时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。3、师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问： 23631+是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探讨 1：设 2363+，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）探讨 2：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2 则有 s363464=，记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发现？设 计 意 图 ：留 出 时 间 让 学 生 充 分 地 比 较 ，等 比 数 列 前 n 项 和 的 公 式 推 导 关 键 是 变 “加 ”为 “减 ”，在 教 师 看 来 这 是 “天 经 地 义 ”的 ，但 在 学 生 看 来 却 是 “不 可 思 议 ”的 ，因 此 教 学 中 应 着 力 在 这 儿 做文 章 ，从 而 抓 住 培 养 学 生 的 辩 证 思 维 能 力 的 良 好 契 机 。经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： 6421s。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观教师推导全过程。师：为什么（1）式两边要同乘以 2 呢？生：乘以 2 后使得（1）式与（2）式出现相同的项，从而可以实现两式相减，消去相同的项。设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。4、类比联想，解决问题4这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列 na，首项为 1a，公比为 q，如何求前 n 项和 ns呢？在此让学生自主完成，并叫一名学生上黑板，然后对每个学生在自觉研究时遇到的难题进行指导点拔。设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学 习的愉快和成就感。在学生推导完成后，我再问： 由 nn1(-q)s=a-得n1a-qs，对不对呢？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？q=1 时是什么数列？此时 ?ns（这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础）即： 11)(qnaS再次追问：结合等比数列的通项公式 1nnaq，如何把 ns用 1a、 n、 q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）即：111nnaqS设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受， 变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、 类比和综合的能力这一 环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。5、讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？方法二：我们知道, 2-1 n-2n11 11s=a+qaq=+(aqa) 。那么我们能否利用这个关系而求出 ns呢？即：提取公比 q，有： 221111nnnSaaq（ ） ）（ 11nqaSa5nnqaSq1)1(1)naq方法三：根据等比数列的定义又有 2134n-1aa=q ，能否联想到等比定理从而求出 ns呢？即：利用等比定理 12a34qan1S2qaSqn1)(11n设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望， 营造一个让学生主动观察、思考、 讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 1nnqsa, 这其实就是关于 ns的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于 课本，对学生的思维发展有促进作用。6、例题讲解，形成技能例 1、口答下列各题：(1)求等比数列 1,248 的前 10 项的和；(2)已知等比数列 na中， 12， 3q，求 3s；(3)请利用第(2)题的数据，自己编题，改求 1a或求 q，并求解(自己拟题能巩固和深化所学的知识)生：(口答)（1）1010()235s（2）33()26s6(3)生甲：已知：q=3， 326s求 1a解：313()as， 1。生乙：已知： 12， 36s。求 q。解： 3()qs， 2103或 q=-4。例 2、已知 na为等比数列，且 nsa， 2nb，(ab0)，求 3ns。师：要求 3s，需知 1，q，而已知条件为 s和 2n能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？生甲： 1() (1)nnasq2112()() (2)nnnaqb（1）式除以（2）式得： na，即 1 (3)nq将（3）式代入（1）式得： 1()b，则21ab，32313()()nnaqabs以下再化简即可师：这位同学处理问题很巧妙他没有分别求得 1a与 q的值，而改为求 nq与1aq的值，这样使问题变得简单些，请问同学们，这样解这个题目是否有问题呢？生乙：我认为第（1）式就有问题，他附加了条件 1q，而对 情况没有考虑师：对！使用等比数列前 n 项和公式时，要特别注意适用条件，即 1q时，1nsa； q时， 11()nnnaqs。7(含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1 情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性)(学生演算习题，教师投影出正确答案)解：设数列的公比为 q。若 1(此时数列为常数列)，则 1nsa，21nsab，此时， ，则 313()2nnsasb或 。若 1q，即 2b，则由已知1() )nqs212() (2)nnab又因为 0，所以由（2）式除以（1）式得：21nqba，即 1nbqa，所以1 (3)nbqa将（1）式式变形后代入（3）式得：21naqab，于是数列的前 3n 项的和为：3222313()1().nnaqabbs x师：(小结)这节课我们从已有的知识出发，用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法)推导出了等比数列的前 n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识如已知 1a，n，q，则选择1()nSaq已知 a1，q，a n，则选择1nnS对含字母的题目一般要分别考虑 q=1 和 q1 两种情况，不能附加条件，统一按11()nnnaqs去解题。8小结：等比数列的通项公式 1naq和前 n 项和公式 11()nnnaqs中，从1,naqs这五个量中，只要知道任意三个量，均可求得其余两个量。7、加强练习，深化认识（1）求 3215,648,2的前 n 项和（2）求 ,的前 n 项和（3）求数列 )0(1132aa 的前 n 项和。（4）画一个边长为 2cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形,依此类推,这样一共画了 10 个正方形, 求这 10 个正方形的面积的和。8、总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法方面总结：(1) 等比数列的前 n 项和公式(2) 公式的推导方法错位相减法(3) 求和思路构造常数列或部分常数列。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。9、故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.841019粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459 倍，显然国王兑现不了他的承诺。 设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。10、布置作业课本 69P习题 2.5 第 1、2 题。11、教学信息反馈五分钟测验“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案应该是多少？9教案说明本教案的内容是等比数列的前 n 项和的第一节课，现将该节课设计意图简单介绍如下：根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例公式应用” ，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。 其中，案例是基础，使学生感知教