2015年高考数学（理科）新一轮总复习考点突破课件：9.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第 1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (一 )考纲点击 1理解分 类 加法 计 数原理和分步乘法 计数原理 2会用分 类 加法 计 数原理和分步乘法 计数原理分析和解决一些 简单 的 实际问题 (二 )命题趋势 1从考 查 内容看， 对 本 节 的考 查 主要 侧重于两个原理的 应 用，主要 题 型 为 利用两个原理解决一些 计 数 问题 2从考 查 形式看，多以 选择题 、填空 题的形式出 现 ，常与排列 组 合 结 合在一起命题 ，属中档 题 1 分类加法计数原理 完成一件事有 n类 不同的方案，在第一类 方案中有 m1种不同的方法，在第二 类 方案中有 m2种不同的方法， ，在第 n类方案中有 mn种不同的方法， 则 完成 这 件事情共有 N 种不同的方法m1 m2 mn (1)从集合 1,2,3， ， 10中任意 选 出三个不同的数，使 这 三个数成等比数列， 这样 的等比数列的个数 为 ( ) A 3 B 4 C 6 D 8 对点演练 解析： 以 1为首项的等比数列为 1,2,4； 1,3,9； 以 2为首项的等比数列为 2,4,8； 以 4为首项的等比数列为 4,6,9，共 4个 把这四个数列顺序颠倒，又得到 4个数列，故所求数列有 8个 答案： D (2)(2013福建 )满 足 a， b 1,0,1,2，且关于 x的方程 ax2 2x b 0有 实 数解的有序数 对 (a， b)的个数 为 ( ) A 14 B 13 C 12 D 10 解析： 当 a 0时，关于 x的方程为 2x b 0，此时有序数对 (0， 1)， (0,0)， (0,1)，(0,2)均满足要求；当 a0时， 4 4ab0， ab1，此时满足要求的有序数对为 ( 1， 1)， ( 1,0)， ( 1,1)， ( 1,2)， (1，1)， (1,0)， (1,1)， (2， 1)， (2,0)综上，满足要求的有序数对共有 13个，选 B. 答案： B 2 分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n个不同的步 骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方法， ，完成第 n步有 mn种不同的方法，那么完成 这 件事情共有 N 种不同的方法m1m2 mn (1)有不同 颜 色的四件 衬 衣与不同 颜 色的三条领带 ，如果一条 领带 与一件 衬 衣配成一套则 不同的配法种数是 _ 答案： 12 对点演练 (2)某次活 动 中，有 30人排成 6行 5列， 现 要从中 选 出 3人 进 行礼 仪 表演，要求 这 3人中的任意 2人不同行也不同列， 则 不同的 选法种数 为 _(用数字作答 ) 解析： 其中最先选出的一个人有 30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个 5行 4列的队形，故选第二个人有 20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 4行 3列的队形，此时第三个人的选法有 12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是 302012 7 200. 答案： 7 200 分 类 加法 计 数原理与分步乘法 计 数原理是解决排列、 组 合 问题 的基 础 并 贯 穿始 终 分 类 加法 计 数原理中，完成一件事的方法属于 其中一 类 并且 其中一 类 ， 简单的 说 分 类 的 标 准是 “ ，一步完成 ”而分步乘法 计 数原理中，各个步 骤 相互依存，在各个步 骤 中任取一种方法，即是完成这 件事的一种方法， 简单 的 说 步与步之 间的方法 “ ，多步完成 ”只属于不重不漏相互独立 (1)三 边长 均 为 正整数，且最大 边长为 11的三角形的个数是 _ (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数 为 _题型一 分类加法计数原理的应用 【 解析 】 (1)用 x， y表示另两边长，且不妨设 1xy11，要构成三角形，必须 xy12. 当 y取值 11时， x 1,2,3， ， 11，可有 11个三角形； 当 y取值 10时， x 2,3， ， 10，可有 9个三角形； 当 y取值 6时， x只能取 6，只有一个三角形 由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是： 11 9 7 5 3 1 36(个 )，故共有 36个 (2)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成 8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8个， 7个， 6个， 5个， 4个， 3个， 2个， 1个由分类加法计数原理知：符合条件的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36(个 ) 故共有 36个 法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是 9，则十位可以是 1,2,3， ， 8中的一个，故共有 8个； 个位是 8，则十位可以是 1,2,3， ， 7中的一个，故共有 7个； 同理个位是 7的有 6个； 个位是 2的有 1个 由分类加法计数原理知：符合条件的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 136(个 )故共有 36个 【 答案 】 (1)36 (2)36 【 归纳提升 】 分 类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理针对训练 解： 以 m的值为标准分类，分为五类 第一类： m 1时，使 nm， n有 6种选择； 第二类： m 2时，使 nm， n有 5种选择； 第三类： m 3时，使 nm， n有 4种选择； 第四类： m 4时，使 nm， n有 3种选择； 第五类： m 5时，使 nm， n有 2种选择 共有 6 5 4 3 2 20种方法， 即有 20个符合题意的椭圆 有六名同学 报 名参加三个智力 竞赛项 目，在下列情况下各有多少种不同的报 名方法？ (不一定六名同学都能参加 ) (1)每人恰好参加一 项 ，每 项 人数不限； (2)每 项 限 报 一人，且每人至多参加一 项； (3)每 项 限 报 一人，但每人参加的 项 目不限 题型二 分步乘法计数原理的应用 【 解 】 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3种不同选法，由分步乘法计数原理， 知共有选法 36 729(种 ) (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6种选法，第二个项目有 5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法 654 120(种 ) (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法 63 216(种 ) 【 归纳提升 】 利 用分步乘法计数原理解决问题： 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事 2 (2014内蒙古呼和浩特二模 )奥 运 选 手选 拔 赛 上， 8名男运 动员 参加 100米决 赛 其中甲、乙、丙三人必 须 在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8八条跑道的奇数号跑道上， 则 安排 这 8名运 动员 比 赛 的方式共有 _种针对训练 解析： 分两步安排这 8名运动员 第一步：安排甲、乙、丙在人，共有 1、 3、 5、 7四条跑道可安排，所以安排方式有432 24(种 ) 第二步：安排另外 5人，可在 2、 4、 6、 8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有 54321 120(种 ) 安排这 8人的方式有 24120 2 880(种 ) 答案： 2 880 若一系列函数的解析式相同， 值 域相同，但定 义 域不同， 则 称 这 些函数 为 “孪 生函数 ”，那么函数解析式 为 y 2x2 1， 值 域 为 5,19的 “孪 生函数 ”共有 ( ) A 10个 B 9个 C 8个 D 7个 题型三 两个原理的综合应用 【 归纳提升 】 用 两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步 (1)分类要做到 “不重不漏 ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 (2)分步要做到 “步骤完整 ”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析 3 (2013山东 )用 0,1，