浙江卷理科第4题：把函数y=cos2x 1的图像上所有点的横坐标

浙江卷理科第 4 题：把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是解法 1：把函数 ycos2 x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变)得到 y1cosx1，向左平移 1 个单位长度得到 y2cos( x1)1，再向下平移 1 个单位长度得到 y3cos(x1)令 x0，得到 y30；x ，得到 y30；结合图像，选择答案 A1（浙江省海盐县第二高级中学 郑伟；浙江省衢州高级中学 何豪明）赏析 1：用三角函数图像变换的思想解题，好！但还是没有把握图像变换之根本，请看解法 2。（浙江省衢州高级中学 何豪明）解法 2：（利用求曲线方程的方法）设 为所求曲线上的任意一点，则向上平移 1,xy个单位长度得到点 ，再向右平移 1 个单位长度得到点 ，最后把图像上,1xy1,xy所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 得到点 ，该点满足方程2,2xycos2 x1，代入得到 即为所求。因为 ；cos1yx0,cos1y，所以选择答案 A.,cs022浙江省衢州第二中学 江浩丰）赏析 1：三角函数图像的变换问题，本质上就是函数图像的组成单位点的变换问题（注意相对运动） ，这是图像变换之根本，变换教学之本质。（浙江省衢州第二中学 江浩丰）浙江卷理科第 9 题：设 ， ，0ab.若 ，则 .若 ，则Aab32Bba32a.若 ，则 .若 ，则CD解法 1：由 整理得到 ，ba32 0)2()2(bab令 ，显然 是单调递增函数，由 可得 .xf2)()(f fa所以选择 . A（浙江省杭州市余杭高级中学 吴寅静; 江苏省高淳高级中学 陶云）解法 2：（反证法）对于 A 选项。 假设 ， 为增函数， ，baxy2ba2又 0,ba)32()(ba ba)()(0，这与已知条件 矛盾， 选择 A。32ab32赏析 1：本题题干简洁、形式对称而优美.从表面看，本题涉及的是两个方程式，事实上是关于两个函数值 与 的大小比较问题。首先运用转化的思想，将方程问题转化为函数问题，然后用函数思想，)(afbf构造函数，利用函数的单调性解决问题.构思巧妙、干净利落.（浙江省杭州市余杭高级中学 吴寅静）赏析 2：对于解法 1 和解法 2，如果从 、 选项入手，很快就能得到答案，作为选择题，解题已经AB结束，无需留恋。而事实上，如果从 、 选项入手，虽然做法类似，但难度必然加大，而且会做无意CD义的劳动（因为 、 都是错的） 。因此，这里还有“选择” 的味道，考查了对选择题的敏感性，认清选CD项，快速解题，这是考查观察力、判断力等能力的根本.下面给出 、 选项的判断方法：CD由 整理可得： ，ba32 0)2()2(bab令 ，则 ，xf)( 0)fa因为 ， ， ，12(f)3(所以 ， ，而 ， ，所以 、 错误.0)(f)f213CD（江苏省高淳高级中学 陶云）赏析 3：有利于培养学生分析问题和解决问题的逻辑推理能力。（浙江省嘉兴市嘉高实验中学 胡贤辉）浙江卷理科第 10 题：已知矩形 ABCD，AB=1，BC= 。将 沿矩形的对角线 BD 所在的直线2ABD进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”， “AB 与 CD”， “AD 与 BC”均不垂直解法：如图，在矩形 ABCD 中作 AOBD,连结 OC。（1）若存在某个位置使 ACBD,而 BDAO,所以有 BD面 AOC,于是得到 BDOC,而在图（1）中发现这是不可能的，所以选项 A 不成立。（2）若存在某个位置使 CDAB,方法一：因为 CDCB,则 CD面 ABC,得面 BCD面 ABC,所以只要在翻折过程中，当 A 在面 BCD 上的射影在 BC 上就能使 CDAB。所以选项B 是正确的。方法二：在翻折过程中，由于要判断的是斜线 AB 和平面 BCD 内的直线CD 的垂直关系，所以只要看 AB 在平面 BCD 上的射影是否能与 CD 垂直，又因为 CDCB，所以只要点 A 在面 BCD 上的射影在 BC 上就能使 CDAB。方法三：用草稿纸当作矩形，在四个角上标上 ABCD，在翻折过程中，发现当 A 在面 BCD 上的射影落在 BC 上时 CDAB。再由 CDCB，点 A 在面 BCD 上的射影在 BC 上，所以 CD面 ABC，从而证明自己的判断是正确的。（3）存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.由（2）的判断过程得知必须 A 在面 BCD 上的射影在 CD 上，由图(2) 可以看出，这是不可能的，所以选项 C 不成立。（4）由(1)(2)(3) 的判断结果得选项 D 也不成立。（浙江省海盐县教研室 沈顺良；浙江省衢州高级中学 应水平）赏析 1：解决折叠问题的根本方法是把握好折叠前后图形中各元素之间关系的变与不变。（浙江省衢州高级中学 应水平）赏析 2：动态折叠问题，涉及到构成三棱锥的三对对棱的垂直问题，是基本图形的考查。在折叠的动态过程中，考查了线线垂直、线面垂直和面面垂直的相关判定定理和性质定理。（浙江省海盐县教研室 沈顺良）解法 2:作三棱锥 如右图(1), 图(2)ABCDAB CDE(1)ABCD(2)EABCDO)1(ABCDO)2(考虑选项 A,假设 ,如图(2)作 ,并连接 CE,则由 ACBDAEBDBDAECBACE又,又由图(1)知, 不可能,故 A 错误.BDE考虑选项 B, 假设 , , 如图(2), ,因此 ,C平 面 D, ,故翻折到使 时, 直线 与直线 垂直. 故 B 正确.2,1ACA1BCD考虑选项 C, 假设 , , 如图(2), ,因此 ,此时DBD平 面 AC中, 直角边 斜边 ,矛盾.故 C 错.RtB2考虑选项 D，由前面的判断，显然 D 错误.赏析：题目表面看是翻折的动态问题，本质是三棱锥的线线、线面的垂直静态问题，动中求静.题设创新，但背景熟悉. 文字表述简洁.化归思想方法和反证法.（ 江西省玉山一中 周海华）浙江卷理科第 13 题：设公比为 的等比数列 的前 项和为 若 ，0qnanS23a，则 432Saq解法 1：显然公比 ，因为 ，所以 是关于 的一次1111nnn naqaaqSnSna函数，由 ， 可知 ，解得 ，故 23Sa432Sa132qa132qa（江苏省徐州市第一中学 张培强）赏析 1：题目条件结构优美， 是关于 的一次函数，这才是试题结构的本质所在nSna（江苏省徐州市第一中学 张培强）理科第 15 题：在 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC 10，则 _ABC解法 1：因为 = )()(CA= 2= = = MCA25916 第15第 AB CM（浙江省海盐县教研室 沈顺良；江苏省徐州市第一中学 张培强；宁夏盐池高级中学 李彦鹏；浙江省衢州高级中学 应水平）赏析 1：转化为互为相反的两个向量的和是零向量进行解题。（浙江省衢州高级中学 应水平）赏析 2：将所求向量运算转化为基本向量加减乘运算来解决。（浙江省海盐县教研室 沈顺良）赏解3：向量运算的几何形式，通过向量间的线性表示来转化（江苏省徐州市第一中学 张培强）欣赏 4：主要考查向量的线性运算，数量积应用能力，解题蕴含化归思想，目标意识。（宁夏盐池高级中学 李彦鹏）解法 2：假设 ABC 是等腰三角形，由 AM3，BC 10，得 ABAC 34所以 cosBAC ， 。431022ABCcos16ABC（河北省河间市第一中学南校区 王兵权）赏析 1：填空题只要结果，无需过程，用特例解决，变动为静，本来可以做到“简单快捷，不易出错”的效果。但是，该解法有“小题大做”的感觉，请看解法 3 和解法 4（河北省河间市第一中学南校区 王兵权）解法3：取 ，则 ， ，因为ABC2AMC3cos4MAC，所以 298coscos134178167B（江苏省徐州市第一中学 张培强）赏解1：把握直角三角形中三角函数的定义，利用特殊图形法，简洁明快（江苏省徐州市第一中学 张培强）解法 4：因为 ， ,0,0AMCBAMC所以 16.B()() 2 2BAM（浙江省衢州高级中学 何豪明）赏解1：把握互相垂直的向量的数量积为零的特点，利用特殊图形法，简单明了（浙江省衢州高级中学 何豪明）解法 5：由题意，AM3，MBMC5，所以 ABC()()MBAC 16.2（河北省河间市第一中学南校区 王兵权）赏析 1：向量运算的三角形法则，平面向量基本定理的灵活应用。（河北省河间市第一中学南校区 王兵权）解法 6：由题意， 6，所以 ， |ABC22| 36ABCABC10，所以 ，|ABC22| 10 得 4 3610064，所以 16. （河北省河间市第一中学南校区 王兵权；浙江省衢州高级中学 应水平）赏析 1：平面向量加减运算的平行四边形法则，整体思想和方程思想的灵活应用。（河北省河间市第一中学南校区 王兵权）赏析 2：利用任何一个向量都可以表示为若干个向量的和或差的形式进行解答。（浙江省衢州高级中学 应水平）解法 7：以点 M 为原点，MC 所在直线为 轴的正方向，建立平面直角坐标系。设 A ，C(5,0),x (,)xyB(-5,0)则 ， ， ，所以(5,)ABxy(5,)ACy229AMxy.BC。2. 16C（宁夏盐池高级中学 李彦鹏）赏析 1：坐标法是解决向量问题的常用方法。（宁夏盐池高级中学 李彦鹏）解法 8：以 M 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 B（5，0） ，C（5，0） ，设 ，则 A（3 ，3 ） ，Ccosin所以 （53 ，3 ）（53 ，3 ）9 25+9 16.ABcsicosin2cos2sin（河北省河间市第一中学南校区 王兵权；江苏省徐州市第一中学 张培强）赏析 1：坐标法是把向量问题转化为代数问题的桥梁和纽带。（河北省河间市第一中学南校区 王兵权）赏解 2：向量运算的代数形式，将向量关系坐标化（江苏省徐州市第一中学 张培强）理科第 16 题：定义：曲线 上的点到直线 的距离的最小值称为曲线 到直线 的距离.已知曲线Cl Cl到直线 的距离等于曲线 到直线 的距离，则实数axyC21: xyl: 2)4(:2yxxy:_.解法 1：曲线 表示圆心为2)4(:2yx)4,0(半径为 的圆，它到直线 的距离就是圆心到l直线 的距离减去半径，即 .l 2将直线 平移至与曲线 相切，xyl: axyC1:设切点为 ，则 到直线 的距离即为曲线 到直线 的距离.),(0Pl1Cl因为 ， ，所以 ，则 ，12xy20xy40所以点 到直线 的距离为： ，解得 或 ，Pl14a9a47由图像可知， ，所以 .0a9（江苏省高淳高级中学 陶云）赏析 1：新定义问题，对考生来说，公平性高，能有效考查学生的阅读理解能力，适应新情境的能力以及利用所学知识解决新问题的能力.该题的本质是直线与圆、直线与抛物线的位置关系，选择不同的思维角度，就会产生不同的解题方法，一般有代数方法和几何方法两种.而该解法却利用了导数的几何意义，这是亮点.（江苏省高淳高级中学 陶云）解法 2：（几何法）圆 上的点到直线的距离为圆心到直线的距离减去半径，是 。2)4(2yx 2（也可以通过求出直线 y=x 的平行线 y=x+b 与圆相切时对应的 b，然后求两条平行线的距离） 。根据最短距离是 ，观察图象，则与直线 y=x 距离为 的平行线 y=x+2 与抛物线2 相axy2切， 消去 y 得： ，=0 解得2xya0ax49axyOoy（浙江省海盐县教研室 沈顺良；江苏省徐州市第一中学 许丽）赏析 1：通过新定义的形式是来考查最值问题。本题通过平移直线求最短距离，较好地简化了解题过程。将圆上动点化归为圆心到直线的距离与半径的差，将抛物线上动点化归为抛物线与直线相切的问题。（浙江省海盐县教研室 沈顺良）赏析 2：虽是新定义问题，但属我们熟悉的环境（江苏省徐州市第一中学 许丽）理科第 17 题：设 a R，若 x0 时均有( a1)x1( x 2ax1)0，则 a_解法 1：当 时， ，不合题意，(1)y故 因为一次函数a和二次函数 的图象均过定()yx2xa点 ，如图，当 x0 时均有(a1)x1( x 0,12ax1)0，所以这两个函数的图象在 轴的右边且同y时在 轴的上方或同时在 轴的下方，因为 M( ，0)x 1a在 y1(a1)x 1 上，所以函数 y2x 2ax1 的图象一定也过点 M( ，0) ，代入得1a，解得 （舍去 a=0） 203（湖北省孝昌县第二高级中学 高丰平；浙江省衢州高级中学 应水平；江苏省徐州市第一中学 许丽；江苏省高淳高级中学 陶云；浙江省开化中学 李承法；浙江省海宁中学 徐建平）赏析 1：此解法的优美之处在于把一个一元高次不等式问题转化为函数的图象来解决，使解题过程运算简单，思路简捷，充分体现数形结合思想的强大魅力。（浙江省衢州高级中学 应水平）赏析 2：不等式问题涉及到恒成立方面的知识，数形结合，简洁明快（湖北省孝昌县第二高级中学 高丰平）赏析 3：把握动函数图象过定点，利用一次函数和二次函数的图像性质，且它们的函数值同号进行解题（江苏省徐州市第一中学 许丽）赏析 4：把握不等式的特点：一个一次函数与一个二次函数的函数值同号。结合函数图像，将问题转化为两个函数图像的另一个交点在 x 轴上的问题进行求解。（江苏省高淳高级中学 陶云）解法 2：设 ，由 且 ，2()1)(1)(0)fxaxax(1)0f(2)f即 ，则 =2(03)a3检验，当 = ， 时， 成立。x211()(0fxx（浙江省宁波市第四中学 魏定波；江苏省徐州市第一中学 许丽）赏析 1：试题内涵丰富，考查函数性质和不等式的综合运用，突出了思维的灵活性与广阔性，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。（浙江省宁波市第四中学 魏定波）赏析 2：解填空题不妨试试特殊值法。（余姚八中 陈钰清）赏析 3：恒成立问题中求参数的值，取特殊值也是一个好方法（江苏省徐州市第一中学 许丽）解法 3： 11122 xaxaxa在 时均成立，02 x所以 在 时均成立.12ax而 xxx 12122 当 时，因为 ，所以 ，又因为当 时不等式恒成02xa1220x立，考虑到 在 上单调递增， 在 上单调递减，又xxf12,0g,， ，所以 ，得到 .3maxff 23ming23a当 时，因为 ，所以 ，当 时恒成立，考虑到2x12xx1在 上单调递增， 在 上单调递减，又xxf1,g,2， ，所以 ，得到 .23minff 23maxg3a综上可知： 符合题意。23a（吴起高级中学 胡汉明）赏析 1：分离参数法是求参数问题的一般性方法（不等式问题转化为恒成立问题求解） （吴起高级中学 胡汉明）解法 4：结合三次函数的图象，由韦达定理得出 对应的012ax两根为一正一负。当 a=1 时代入显然不成立，因此对应方程的第三根是，要使对 x0 均有关于 x 的一元三次函数值非负，又1ax，对应函数只能是如右图的图象，即要求 ，且对应方(0)f 01a程的第三根与前面一元二次方程的正根是重根。将第三根 代入二次方程 ，解得满x 012ax足条件的 （舍去 a=0） 。23a（浙江省海盐县教研室 沈顺良；浙江省上虞市教体局教研室 陈尧明）赏析 1：几何对代数的辅助作用，代数对几何的确定作用。涉及函数方程思想，数形结合思想，分类讨论思想。（浙江省海盐县教研室 沈顺良）赏析 2：函数与方程、化归与转化的数学思想，体现了 “多考点想，少考点算”的命题理念。（浙江省上虞市教体局教研室 陈尧明）理科第 21 题：如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ，)0(1:2baCyx21)1,2(P0不过原点 的直线 与 相交于 两点，且线段 被直线 平分.OlBA,ABOP（）求椭圆 的方程；（）求 面积取最大值时直线 的方程. Pl（）解：由条件易知直线 的斜率 一定存在且不为 0，lk设直线 的方程为AB=+(0)yxb求斜率 的方法一：k设 ， ，线段 的中点为 。1,)xy又2(,)AB2,Mm由 ，消去 ，2=+34by整理得 22+841=0kxbxoyM xABPOy则 22=643+410kbkb1228+=34kbx所以可求得线段 的中点ABM22,3+4kb因为 在直线 上，所以OP22=得 （舍去）或=0kk赏析：联立方程求解是解析几何中解决问题的通法，学生很容易想到，但当用韦达定理和判别式后该如何进行下一步常常会犯难，此解法的亮点在于应用点在曲线上的性质使解题得以延续。求斜率 的方法二：设 ， ，线段 的中点为 。1,)Axy又2(,)BAB2,Mm由 , 两点都在椭圆上可知，213+4=23+4=1y两式相减得： 1221212+=0xxyy3442121 myyk赏析：点差法求解，也是学生较易使用的方法，本方法的优点是计算量较小。求斜率 的方法三：因为线段 的中点可设为 ，AB,M所以可设直线 的参数方程为 ( 为参数 ) 代入 得=2+cosinxtymt23+4=1xy2 23+sin43cosi16-0t t122(+n)=-=0imt a也即 32ABk赏析：此方法利用了直线的参数方程中的直线的倾斜角的直观性求斜率，对于学过直线参数方程的学生还是一种很好的解法。求斜率 的方法四：设直线 的方程是AB22+=433mxy化简得： 3+2-8=0xym赏析：将椭圆方程折射为一个圆，利用过圆 上的点 的切线方程为 写出2+=xyr0,xy20+=xyr直线 的方程，求解斜率的过程就显得更加快捷简单。AB求截距 的方法：b在求出斜率 的前提下，由联立直线方程和椭圆方程的解题过程可知k， 2=31012+=3xb所以 2 2129+=16ABkxb设点 到直线 距离为 ，则Pd284=3+设 的面积为 ，则S，其中223416Sb,0,2b令 ， 2=u46=417+bbbb 所以当且仅当 ， 取到最大值17u故当且仅当 ， 取得最大值。=bS综上，所求直线 方程为l3+27-=0xy赏析：写出面积 的表达式并不难，但求最值时会受阻。学生就是想到用导数的方法求解也会半途而废，其原因是，学生往往会把函数展开后进行求导，虽然求导简单，但导函数是一个三次函数，分解因式比较难而使解答无法继续。此解法的亮点在于直接利求导数的乘法法则求导，使所得的导数有利于因式分解，求出导函数的零点，使解答过程顺利完成，求得最后的答案。（浙江省衢州高级中学 夏咏芳 崔 征）理科第 22 题：已知 ， ，函数 .0abR3()42fxabx()证明：当 时，1x（）函数 的最大值是 ；()f2a（） + ；x20ab（）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围.1()f,1xab解法 1：（） （）证明： ， ， ，0a1x2()4fxabx令 ，()gx24abx当 时， 又 ， 0ma()(),gg(0),(1)fgfmax()0,1x1,f（）证ax 3,2,(),a, .abfgf bab法 1：只需证 , minaxmax()()0,()=(0)1fxfff又 21fxab当 b0 时， 0 在 0 x1 上恒成立，21fb此时 ,成立maxmin()=3,()(),()20fffbf当 b0 时， 216faxbxa当 ,即 时，函数 在 上单调递减，6a()f0,1，成立；minmax()=3, ()120fxffbfa当 ,即 时，此时函数 在 单调递减，在 上单调递16ba06()f60又 16b又增，此时 的最小值为 ；fx43ba当 时，02ba即证 ；44()203636bbaa令 则 ，即证 ，而 显然成立。,bta3(0,)1t3419当 时，26即证 令 则 ，即证44()20336bbaaa,6bt3,1，令 ，324610t32()61htt则 ，所以函数 在 上单调递减，所以(