2015-2016学年河南省驻马店市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016 学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知 ab0，则下列不等式一定成立的是（ ）A B Cln （ab）0 D3 ab1【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】不等式的解法及应用【分析】不妨令 a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论【解答】解：不妨令 a=2，b=1，可得选项 A 正确，而选项 B、C、D 都不正确，故选：A【点评】本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题2一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 ，则 t=2 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）A2 B1 C D【考点】导数的几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】先求函数的导函数，然后根据导数的几何意义可知将 t=2 代入导函数可得 t=2 时，此木块在水平方向的瞬时速度【解答】解： ，s=t，当 t=2 时，v=s =2此木块在水平方向的瞬时速度为 2故选 A【点评】本题比较容易，考查导数的物理意义，同时考查了运算能力，属基础题3下列命题：（1）函数 y=+x（x0）的值域是（ ，2；（2）函数 y=x2+2+ 最小值是 2；（3）若 a，b 同号且 ab，则 +2其中正确的命题是（ ）A （1） （2） （3） B （1） （2 ） C （2） （3） D （1） （3）【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】利用基本不等式求最值说明（1）正确；利用“对勾函数 ”的单调性求得函数y=x2+2+ 的最小值说明（2）错误；由基本不等式求最值结合复合命题的真值表说明（3）正确【解答】解：对于（1） ，x0， =（x+ ） 即函数 y=+x（x0）的值域是（ ，2命题（1）正确；对于（2） ，令 t=x2+22y=x2+2+ = 在2，+）上为增函数， 命题（2）错误；对于（3） ，a，b 同号， ，则+ ab，+2由复合命题的真值表可知， +2命题 正确正确的命题是（1） （3） 故选：D【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题4已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 8=8，S 8=36，则数列 的前 100 项和为（ ）A B C D【考点】数列的求和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和 ”即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 8=8，S 8=36， ，解得 ，an=1+（n1）=n = = 数列 的前 100 项和= + =1 = 故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5给出如下四个命题：命题 p：x 0R，x +x010，则非 p： xR，x 2+x10；命题“若 x2 且 y3，则 x+y5”的否命题为“若 x2 且 y3，则 x+y5”；四个实数 a， b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc；在ABC 中， “A45” 是“sinA ”的充分不必要条件其中正确的命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】命题的真假判断与应用【专题】整体思想；定义法；简易逻辑【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断根据否命题的定义进行判断，由等比数列的性质，实数 a、b、c、d 依次成等比数列ad=bc ，反之，举出反例，判断即可；进而可判断其正确与否；根据充分不必要条件进行判断【解答】解：命题 p：x 0R，x +x010，则非 p：xR，x 2+x10；正确，故 正确，命题“若 x2 且 y3，则 x+y5”的否命题为“若 x2 或 y3，则 x+y5”；故错误，由等比数列的性质，实数 a、b、c、d 依次成等比数列ad=bc ，反之，若 a=0，c=0，ad=bc=0，但实数 a、b、c 、d 不符合等比数列的定义，故四个实数 a、b、c 、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc，正确；故 正确，若 A=15045，则 sinA= ，即“A 45”不是“ ”的充分条件，错误；故错误，故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，涉及复合命题真假的判断、四种命题、充分必要条件的判断等知识点，是基础类型的题目，难度不大6某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60的方向航行 45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A15 km B30km C15 km D15 km【考点】正弦定理的应用；余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】如图所示，设灯塔位于 A 处，船开始的位置为 B，航行 45 海里后处 C 处，根据题意算出BAC 和BAC 的大小，在ABC 中利用正弦定理计算出 AC 长，可得该时刻船与灯塔的距离【解答】解：设灯塔位于 A 处，船开始的位置为 B，航行 45km 后处 C 处，如图所示DBC=60，ABD=30 ，BC=45ABC=6030=30，BAC=180 60=120ABC 中，由正弦定理 ，可得 AC= = =15 （km ） 即船与灯塔的距离是 15 （km ） 故选：A【点评】本题给出实际应用问题，求某个时刻船与灯塔之间的距离着重考查了利用正弦定理解三角形及其应用的知识，属于基础题7抛物线 y=x2 被直线 y=x+4 截得的线段的长度是（ ）A B2 C D6【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】联立抛物线与直线方程，求出交点坐标，代入两点之间距离公式，可得答案【解答】解：由 得： 或 ，即抛物线 y=x2 与直线 y=x+4 交点坐标为 A（ 2，2） ，B（4，8） ，故抛物线 y=x2 被直线 y=x+4 截得的线段 AB 的长度|AB|= =6 ，故选：D【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的位置关系，两点之间的距离公式，难度中档8已知 x，y 满足不等式组 若当且仅当 时，z=ax+y（a0）取得最大值，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （，+ ） C （0， ） D （，+ ）【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 z=ax+y（a 0）得 y=ax+z（a0）直线 y=ax+z（a 0）是斜率为a0，y 轴上的截距为 z 的直线，要使（3，0）是目标函数 z=ax+y（a0）取最大值的唯一的最优解，则满足ak AB=，解得 a故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义9已知三角形ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长是（ ）A18 B21 C24 D15【考点】数列与三角函数的综合【专题】综合题【分析】设三角形的三边分别为 a、b、c，且 abc0，设公差为 d=2，三个角分别为、A、B、C ，则 ab=bc=2，a=c+4，b=c+2，因为 sinA= ，所以 A=60或 120若 A=60，因为三条边不相等，则必有角大于 A，矛盾，故 A=120由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长【解答】解：不妨设三角形的三边分别为 a、b、c，且 a bc0，设公差为 d=2，三个角分别为、A、B 、C，则 ab=bc=2，a=c+4，b=c+2，sinA= ，A=60或 120若 A=60，因为三条边不相等，则必有角大于 A，矛盾，故 A=120cosA=c=3，b=c+2=5，a=c+4=7这个三角形的周长=3+5+7=15故选 D【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用10已知 m、n、s、t 为正数，m+n=2， =9 其中 m、 n 是常数，且 s+t 最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆 =1 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）Ax2y+1=0 B2x y1=0 C2x+y 3=0 Dx+2y 3=0【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】由题设知（ ） （s+t）=n+m+ = ，满足时取最小值，由此得到 m=n=1设以（1，1）为中点的弦交椭圆 =1 于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由中点从坐标公式知 x1+x2=2，y 1+y2=2，把 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）分别代入 x2+2y2=4，得 ， ，得 2（x 1x2）+4（y 1y2）=0，k= ，由此能求出此弦所在的直线方程【解答】解：sm 、n、s、t 为正数，m+n=2 ， =9，s+t 最小值是，（ ） （s+t）的最小值为 4（ ） （s+t）=n+m+ = ，满足 时取最小值，此时最小值为 =2+2 =4，得：mn=1，又： m+n=2，所以，m=n=1设以（1，1）为中点的弦交椭圆 =1 于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由中点从坐标公式知 x1+x2=2，y 1+y2=2，把 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）分别代入 x2+2y2=4，得，得 2（ x1x2）+4（y 1y2）=0，k= ，此弦所在的直线方程为 ，即 x+2y3=0故选 D【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用11已知双曲线 =1（a0，b0） ，过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A、B两点，若双曲线右顶点在以 AB 为直径的圆内，则双曲线离心离的取值范围为（ ）A （2，+） B （1，2） C （，+） D （1， ）【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出图形如图，由右顶点 M 在以 AB 为直径的圆的内部，得|MF|AF|，将其转化为关于 a、b、c 的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得 e2e20，解之即可得到此双曲线的离心率e 的取值范围【解答】解：由于双曲线 =1（a0，b0） ，则直线 AB 方程为：x= c，其中 c=，因此，设 A（c，y 0） ，B（c，y 0） ， ，解之得 y0= ，得|AF|= ，双曲线的右顶点 M（a，0）在以 AB 为直径的圆内部|MF| |AF|，即 a+c ，将 b2=c2a2，并化简整理，得 2a2+acc20两边都除以 a2，整理得 e2e20，解之得 e2（舍负）故选：A【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题12已知 f（x）为定义在（，+）上的可导函数，且 f（x）f （x）对于 xR 恒成立（e 为自然对数的底） ，则（ ）Ae 2013f（2014）e 2014f（2013）Be 2013f（2014）=e 2014f（ 2013）Ce 2013f（2014）e 2014f（2013）De 2013f（2014）与 e2014f（2013）大小不确定【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】根据选项的特点，令 g（x）= ，对其进行求导，根据已知条件 f（x）f（x） ，可以判断 g（x）的单调性，从而可判定选项的正确与否【解答】解：f（x）为定义在（ ，+）上的可导函数，且 f（x）f （x） ，令 g（x）= ，g（x）= = ，f（ x）f（x） ，g（x）0，g（x）是 R 上的减函数，g（ 2014）g（2013） ， ，e2013f（2014）e 2014f（2013） ，故选 C【点评】此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数 g（x）=，同时考查了分析问题的能力，是一道好题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分.13已知函数 f（x）=x 4lnx，则曲线 y=f（x）在点（1， f（1） ）处的切线方程为 3x+y4=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题【解答】解：函数 f（x）=x4lnx ，所以函数 f（x）=1，切线的斜率为：3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y 4=0故答案为：3x+y 4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导14已知实数，m，18 成等比数列，则圆锥曲线 +y2=1 的离心率为 或 2 【考点】椭圆的简单性质；等比数列的通项公式；双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用等比数列的中项的性质，可得 m，讨论 m=3，m=3，由椭圆和双曲线，即可得到 a，b，c，可得离心率【解答】解：实数，m，18 成等比数列，可得m2=18=9，解得 m=3，当 m=3 时， +y2=1，a= ，b=1，c= = ，即有 e= ；当 m=3 时，y 2 =1，a=1，b= ，c= =2，即有 e=2故答案为： 或 2【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题15有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“ 是乙或丙获奖 ”乙说：“ 甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“ 是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 丙 【考点】进行简单的合情推理【专题】计算题【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的 ”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意故答案为：丙【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大16设函数 y=f（x）在区间（a，b）的导函数 f（x） ，f （x）在区间（a，b）的导函数f（x） ，若在区间（ a，b）上 f（x）0 恒成立，则称函数 f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知 f（x）= x4mx3x2，若当实数 m 满足|m|2，函数 f（x）在（a，b）上为凸函数，则 ba 的最大值是 2 【考点】导数的运算【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】利用函数总为“凸函数”，即 f（x）0 恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可【解答】解：由函数 得，f （x）=x 2mx3，当|m|2 时，f（x）=x 2mx30 恒成立当|m|2 时，mxx 23 恒成立当 x=0 时，f （x）= 30 显然成立当 x0， ，m 的最小值是 2 从而解得 0x1；当 x0， ，m 的最大值是 2， ，从而解得1x 0综上可得1x 1，从而（b a） max=1（1）=2，故答案为：2【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义） ，考查知识迁移与转化能力，属于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题 p：“x 1，ax+ 恒成立”；，命题 q：“ 函数 f（x）=x 3+ax2+2ax+1 在 R上存在极大值和极小值”，若命题“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，求实数 a 的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出 p，q 为真时的 a 的范围，根据命题“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，得到 p，q 一真一假，从而求出 a 的范围即可【解答】解；关于命题 p：“x 1，ax+ 恒成立”，令 g（x）=x+ =x+1+ 11，当且仅当 x=0 时“ =”成立，a1；关于命题 q：“函数 f（x）=x 3+ax2+2ax+1 在 R 上存在极大值和极小值 ”，即 f（x）=x 2+2ax+2a 与 x 轴有 2 个交点，=4a28a0，解得：a2 或 a0，若命题“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，则 p，q 一真一假，p 真 q 假时： ，解得：0a 1，p 假 q 真时： ，解得：a2，综上，a0 ，1 （2，+） 【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性问题，考查复合命题的判断，是一道中档题18在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 a=2csinA（）确定角 C 的大小；（）若 c= ，且ABC 的面积为 ，求 a+b 的值【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】计算题【分析】 （1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得 sinC 的值，进而求得 C（2）先利用面积公式求得 ab 的值，进而利用余弦定理求得 a2+b2ab，最后联立变形求得a+b 的值【解答】解：（1）由 及正弦定理得： ，sinA0，在锐角ABC 中， （2） ， ，由面积公式得 ，即 ab=6由余弦定理得 ，即 a2+b2ab=7由变形得（a+b） 2=25，故 a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用19已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADAB ，AD=AB=CD=1，PD面 ABCD，PD= ，E 是 PC 的中点（1）证明：BE面 PAD；（2）求二面角 EBDC 的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角【分析】 （1）取 PD 的中点 F，连结 EF、AF，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理，证出四边形 ABEF 为平行四边形，得 BEAF，再利用线面平行的判定定理即可证出 BE面 PAD；（2）分别以 DA、DB、DP 为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系可得 B、C、P、E 各点的坐标，从而算出向量 、 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方程算出=（1，1，）为平面 BDE 的一个法向量，结合平面 ABCD 的一个法向量为=（0，0，1） ，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角 EBDC 的大小【解答】解：（1）取 PD 的中点 F，连结 EF、AF，E 为 PC 中点，EFCD，且 EF= ，在梯形 ABCD 中，AB CD，AB=1 ，EF AB，EF=AB，四边形 ABEF 为平行四边形，BEAF，BE平面 PAD，AF平面 PAD，BE平面 PAD（2）分别以 DA、DB、DP 为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示可得 B（1，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0， ） ，E（0，1， ） =（1，1，0） ， =（1，0， ）设=（x，y，z）为平面 BDE 的一个法向量，则取 x=1，得 y=1，z= ， =（1，1， ）平面 ABCD 的一个法向量为 =（0，0，1） ，cos，= = ，可得，=45因此，二面角 EBDC 的大小为 45【点评】本题在四棱锥中证明线面平行，并且求二面角的大小着重考查了线面平行判定定理、利用空间向量的方法研究平面与平面所成角大小等知识，属于中档题20已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2+2kn（kN +） ，且 Sn 的最大值为 4（1）求数列a n的通项 an；（2）令 bn= ，求数列b n的前 n 项和【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】 （1）利用二次函数的性质可知 时，S n 有最大值 4，求出 k，再利用数列中 an 与 Sn 关系：当 n=1 时，a 1=S1，当 n2 时， an=SnSn1 解决（2）由（1）知 ，利用错位相消法求和【解答】解：（1）由条件知 时，S n 有最大值 4，所以k2+2kk=4k=2，k= 2（舍去） 由条件知 当 n=1 时，a 1=S1=3当 n2 时，a n=SnSn1=52n 经验证 n=1 时也符合 an=52n故数列a n的通项公式为 an=52n（nN +）（2）由（1）知设数列b n的前项和为 Tn ，两式相减得 =所以，【点评】本题考查算了通项公式求解，错位相消法数列求和，考查数列中 an 与 Sn 关系的应用和计算能力21已知 f（x）=xlnx，g（x）=x 3+ax2x+2（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）对任意 x（0，+） ， 2f（x）g（x）+2 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；转化思想【分析】 （1）先求出其导函数，再让其导函数大于 0 对应区间为增区间，小于 0 对应区间为减区间即可 （注意是在定义域内找单调区间 ）（2）已知条件可以转化为 alnxx 恒成立，对不等式右边