1_6354548_1.高考与阿波罗尼斯圆之吻

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 高考与阿波罗尼斯圆之吻 阿波罗尼斯圆 生成高考的视角 阿波罗尼 斯 圆 最早现身于我国高考是 1994 年 ,此后 ,高考多次与阿波罗尼斯圆零距 离 接触 ,使得阿波罗尼斯圆 成为此类高考试题的母题 们 特别 关注的是 阿 氏 圆 生成 高考试题 的 不同 视角 . 母题结构 :如图 ,平面内到两定点 A、 B 的距离之比为正常数 ( 1)的点 P 的轨迹是圆 , 该圆称为 阿波罗尼斯圆 ,设直线 阿波罗尼斯圆 交于 M、 阿波罗尼 斯 圆 有如下性质 : 若 A(a,0),B(b,0),则 阿波罗尼 斯 圆 :( +1)( 2 ; 若 AB=a,则 阿波罗尼 斯 圆 的半径 r=|1| 2a; 分 N 平分 外角 ,且 B=B. 母题 解 析 : 设 P(x,y),由 | | :|= 2| (+ 2(+ ( +1)( 2 ; 由 知 ,当 | ,阿 氏 圆 的半径 r=|1)( 2 当 |a 时 ,阿 氏 圆 的半径 r=|1| 2a; 由| | | | | | | |分 理可证 :分 外角 ,且 B=B. 确定 阿 氏 圆 的 基本量有 两定点 A、 B 和 距离 比 ,因此 ,设计以 阿 氏 圆 为背景问题 的 视角一般有三个 : 已知 两定点 A、B 和 距离 比 ,求 阿 氏 圆 的 方程 ,以及 阿 氏 圆 方程 的 应用 ; 已知 阿 氏 圆 的 方程 ,由 两定点 A、 B 和 距离 比 的其中之一 ,求另一 ; 利用 阿 氏 圆 的 性质解决相关问题 . 子题类型 :(2008 年 四川 高考试题 )已知抛物线 C:x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上 ,且 | 2 |则 面积为 ( ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 分析 :由 | 2 |联想到求 点 A 的 阿 氏 圆 ,然后 ,与 x 联立 ,求 |由此可求 S 解析 :由 抛物线 (2,0),准线为 x=K();由 | 2 | 点 氏 圆 : (+2上 ,代入 =0 x=2 |y|=4 21|y|=B). 点评 :本题以条件 | 2 |来隐蔽阿氏圆 ,并把阿氏圆与抛物线结合设计试题 ,这是由阿氏圆生成试题的常用手法 ;当 问题 中 含有 ,这类条件时 ,一般都可借助阿 氏 圆来 求解 . 子题类型 :(2015年 湖北 高考试题 )如图 ,圆 C与 (1,0),与 ,B(的上方 ),且 |2. ( )圆 C 的标准方程为 ; ( )过点 A 任作一条直线与圆 O:x2+ 相交于 M,N 两点 ,下列三个结论 : | | | | |;| | | 2 序号是 (写出所有正确结论的序号 ). 分析 :对于第 ( )问 ,由 切割线定理可求 |由此得点 A,进而得 圆 心 写出 圆 第 ( )问是本题的题眼 ,由结论中的比例式逆向联想 阿 氏 圆 ,由 阿 氏 圆 求 距离 比 ,即解 . 解析 :( )由 圆 C 与 x 轴相切于点 T | |2)=1 | 2 A(0, 2 B(0, 2 +1) C(1, 2 ) 圆 C:(+(2=2; ( )设 M(x,y),| | = 2 +1)2 ( 2-1) 2-1)( 2 +1)-( 2 2y= ( 2 +1)2-( 2 2,与 圆 O:x2+ 比 较 得 ( 2 +1)-( 2 2=0 = 2 +1| |1= 2 | |2 | | | | | 2 +1)-( 2 2,| | | 2 +1)+( 2 2 2 . 点评 :由 阿氏圆可以构造两类逆向型问题 :已知 两定点 A、 B 和其对应 的阿氏圆方程 ,求 距离比 ;本题就属此类 ;已知阿氏圆方程 和其对应 的 距离比 ,求两定点 A、 B. 性质 及其应用 子题类型 :(2008 年 江苏 高考试题 )满足条件 ,2 三角形 面积的最大值 . 分析 :由 2 想到求 点 C 的阿氏圆 ,为此建立坐标系 ,用解析法求解 . 解析 :因 定值 ,为求 S 只需求顶点 C 到边 离的最大值即可 ,又动 点 C 满足 2 以动点 C 的轨迹为阿波罗尼 斯 圆 r=2 2 (a=21|1, = 2 ),所以 ,S =21|AB|r=2 2 . 点评 :本 题 把阿波罗尼斯圆与 三角形 结合设计试题 ,是 氏 圆 典型 的 应用 问题 ;阿 氏 圆 具 有 丰富的几何性质 ,它 给 我们 带来了 多变的命题视角 ,尤其是与 三角形 ,或更广泛的平面几何 问题结合 . 1.(1994 年 全国高考 试 题 )已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+,动点 M 到圆 C 的切线长与 |比等于常数 ( O),求动点 M 的轨迹方程 ,说 明它表示什么曲线 . 2.(2003年北京 高考试题 )设 A(),B(c,0)(c0)为两定点 ,动点 点的距离与到 a(a0),求P 点的 轨迹方程及图形 . 3.(2005 年 江苏 高考试题 )圆 2的半径都等于 1, 分别作圆 M、 、 N 分别为切点 ),使得 2 并求动点 P 的轨迹方程 . 4.(2006 年 四川 高考试题 )已知两定点 A()、 B(1,0),如果动点 P 满足 |2|则 点 ) (A) (B)4 (C)8 (D)9 5.(2002 年 全国高考 试 题 )已知点 P 到两个定点 M(),N(1,O)距离的 比为 2 ,点 N 到直线 距离为 N 的方程 . 6.(2014年 湖北 高考试题 )已知 圆 O:x2+和点 A(),若定点 B(b,0)(b 常数 满足 :对 圆 ,都有 | |则 b= ; = . 7.(2013 年 江苏 高考试 题 )如图 ,在平面直角坐标系 ,点 A(0,3),直线 l:y=2设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上 . ( )若圆心 C 也在直线 y=过点 A 作圆 C 的切线 ,求切线的方程 ; ( )若圆 C 上存在点 M,使 圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 . 8.(2011年 浙江 高考试题 )P, ,点 ,且 ( 0,且 1),点 ,设 S=f( )( 0,且 1),则以下判断正确的是 ( ) (A)f( )在 (0,1)上是增函数 ,在 (1,+ )上是减函数 (B)f( )在 (0,1)上是减函数 ,在 (1,+ )上是减函数 (C)f( )在 (0,1)上是增函数 ,在 (1,+ )上是增函数 (D)f( )在 (0,1)上是减函数 ,在 (1,+ )上是增函数 9.(2009 年 无锡第一次质检 试题 )已知椭圆 C:222(ab0)的左 、 右焦点分别为 半焦距为 c,若点 P 是圆 M:(+16| | 21 . 10.(2012 年 辽宁五校协作体高二数学竞赛 试题 )已知 圆 C:x2+,点 A(),直线 l:. ( )求与 圆 C 相切 ,且与直线 ( )若 在直线 为坐标原点 )上 ,存在点 B(不同于点 A)满足 :对于 圆 点 P,都有试求满足条件的 点 B 的 坐标 . 11.(2012 年福建省高一数学竞赛试题 )已知圆 C:(+(=m,点 A(4,6),B(s,t). ( )若 312,且直线 圆 C 截得的弦长为 4,求 m 的值 ; ( )若 s,t 为正整数 ,且圆 C 上任意一点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值 ( 1),求 m 的值 . 12.(2011 届南通市高三期末 考试 题 )已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是 . 13.(原创 题 )在 ,内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 上的高 ,且 C,则cb+ . 14.(2011 年同济大学等九所高校自主招生试题 )在 ,D 是 A 的平分线 ,且 AD=k ( )求 k 的取值范 围 ; ( )若 面积为 1,问 C 最短 ? 设 切点为 T,由 | | |= 2| |+1= 2| x2+= 2(+ ( 2-1) 2-1) 2x+4 2; 当 =1时 ,x= 当 1时 ,()2+11322)2是圆心为 (1222,0),半径 =11322的圆 . 设 P(x,y),则由 |a| |=B|2 (x+c)2+y2=+ (); 当 a=1 时 ,x=0 是 中垂线 ; 当 a 1 时 ,(+122,所以 ,动点 P 的轨迹是以 (1122)为圆心 , |122半径的圆 . 以直线 线段 建立平面直角坐标系 ;则两圆心分别为 2,0),0),设 P(x, y),则 |=|-|=(x+2)2+理 |=(+ 2 (x+2)2+(+ (+ 的轨迹方程为 (+3. 由题 知点 P 的轨迹是阿 氏 圆 ,故求圆的面积 ,圆的半径 r=2(a=21|23, =2),所以 ,圆的面积为 4 B). 设 P(x,y),由 题可知点 圆 :(+;由 点 00 直线 y=33(x+1),代入 (+ 得 :=0 x=2 3 P(2+ 3 , 3 +1),P(2+ 3 ,- 3 P(2- 3 , 3 P(2- 3 ,- 3 +1) PN:y= y=. 由 | | ,圆 O:x2+是 阿波罗尼 斯 圆 ,因 若 A(,0),B(b,0),则 阿波罗尼 斯 圆 :x2+2,其中 ,b= 1 =21 =b b= =21. ( )由 142xy C(3,2) 圆 C:(+(=1;设 切线 =0,由1|13|2 k=0,切线 :y=3,y=- 43x+3; ( )由 圆心 C在 圆心 C(a,2设 M(x,y),由 y+1)2=4 点 (0,圆心 ,半径为 2的圆 D 上 ,又 点 M 在 圆 C 上 圆 C 与 圆 |20 为定值 ),由题可知点 M 的轨迹是阿波罗尼 斯 圆 ,故 f( )=圆的面积 ,圆的半径 r=|122a| f( )= |122a|2=421122 在 (0,1)上是增函数 ,在 (1,+ )上是 减函数 A). 令1122c=35c =2| | 21; ( )直线方程 :y=3 5 ; ( )(法一 )设 B(t,0),P(x,y), (+ 2(x+5)2+对满足 x2+ 的任何实数对 (x,y)恒成立 2(5 2+ t)x+34 2,对 x 恒成立 2(5 2+t)=0,34 2 =53,1(舍去 ),t=5(舍去 ) B(); (法二 )由 A()及 阿波罗尼 斯 圆 x2+ b=3 =53 =B(). ( )m=8; ( )设 P(x,y),由 | | ( 2-1) 2-1) 2 2y+ 2(