江西省高考数学回顾及对教学的启示

江西省高考数学回顾及对教学的启示江西省南康中学 蒋晓东（发言稿）一、江西省高考数学自主命题回顾（一）五年简单回顾1、主要特点纵观江西省自 2005 年高考数学自主命题以来的试题，有 “平稳过渡，稳中求变；对接课标，深化能力；坚持公平，注重甄别；全面考查，人文关怀”的命题特点。2005 年专家评价：1、立足基础，突出重点；2、强调方法，考查能力；3、构建情景，考查应用；4、注意新增内容考查，促进高中课改发展；5、难度适中，区分合理。2006 年专家评价：1、注重基础，突出主干；2、重视方法应用，强化数学思想；3、能力立意，体现交汇；4、分散难点，层层把关；5、区分文理，注重个性。2007 年专家评价：1、突出对主干知识的考查；2、重视思维，突出思想；3、合理交汇，适度综合；4、人文关怀，文理有别。2008 年专家评价：1、全面考查、突出主干；2、重视思想方法，考查数学能力；3、适度综合，体现交汇；4、关注文理差异，体现人文关怀。五年来江西卷在全面考查基础知识的基础上，注重 对主干知 识的考查，注重 对数学思想和方法的考查，注重对考生能力的考 查，同 时试题体现了基 础性、综合性、现实性和层次性，用适度的综合，多角度、多层 次、全面考查考生的综合数学素养。2、试卷难度江西卷的难度一直是一个大家比较关注的问题。从下面的20052009 年高考江西数学卷难度系数表中我们可以看出，除 2007 年理科有个小的跳跃外，五年来试题难 度基本保持平稳。但整体感 觉稍难，比如近两年；有一些题的得分率太低，比如 08、09 年的解析几何大题和压轴题。个人认为，如果平均分能控制在 80分左右最为理想。20052009 年高考江西数学卷难度系数表文 科 理 科年 份 平均分 难度系数 平均分 难度系数2005 58.13 0.39 76.42 0.512006 65.60 0.44 69.22 0.462007 73.58 0.49 89.24 0.592008 62.98 0.42 69.37 0.462009 63.10 0.42 69.01 0.46五年平均 64.68 0.432 74.65 0.498（二）2009 年江西卷数学试题分析2009 年江西省高考数学卷遵循考试大纲的要求，借 鉴前四年自主命 题的成功经验，认真贯彻教育部考试中心专家对前四年的评价意见，特 别 是对 2008 年试题的评价意见， 结合我省中学数学教学实际，全面考 查数学基础知识，主干知识内容构成了试卷的主体；注重通性通法，淡化特殊技巧，着重考查考生对数学思想和方法的理解，检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想与方法的掌握程度；以能力立意，考 查考生对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活应用，检测考生知 识迁移能力、 进一步学习 的潜能。试卷既展示了高考数学命题多元化及自主创新精神，又体 现了新课程理念， 实现了 较好的难度、信度，区分度和甄别功效，是一份比较成功的试 卷。我们先看几个表格：表一：2009年江西卷文、理科各 题均分及 难度系数 文 科 理 科满分 实得分 难度系数 满分 实得分 难度系数选择题(1-12) 60 42.33 0.71 60 41.08 0.68填空题(13-16) 16 4.26 0.27 16 5.52 0.3517题 12 4.90 0.41 12 6.52 0.5418题 12 3.62 0.30 12 6.46 0.5219题 12 3.70 0.31 12 3.06 0.2620题 12 3.84 0.32 12 4.34 0.35科 类分值题号21题 12 0.4 0.03 12 1.72 0.1422题 14 0.05 0.004 14 0.31 0.02全卷 150 63.10 0.42 150 69.01 0.46从表一中我们可以看到，文理科的 选择题的难度还是比较 适中的，但整卷 难度梯度太大了点，就是说后面太“ 翘”了点。如果填空 题再有一个比较容易得分的题，大 题的前两题或者后两题降底点难度的话，整卷 难度就可能达到较理想的效果。表二：2009 年江西文科数学卷知识点分布题号 知识点 题号 知识点1 简易逻辑-命题 12 导数的几何意义2 函数的定义域 13 向量的垂直关系3 集合的运算 14 立体几何的面积与体积计算4 三角函数的周期 15 不等式，直线与圆5 函数的奇偶性与求值 16 数形结合，直线与圆，直线系6二项式定理，整除性问题17导数的应用，不等式，二次函数的图像与性质7 双曲线的离心率 18 概率8等差、等比数列的通项与求和19解三角形，向量9立体几何-线面关系20立体几何面面垂直的证明，线 面角，点到面得距离10 等可能事件的概率 21 数列求和11 信息题，函数图像判别 22 椭圆，直线与圆的位置关系表三：2009 年江西理科数学卷知识点分布题号 知识点 题号 知识点1 复数的概念 12 函数的定义域和值域2 函数的定义域 13 共线向量3 集合的运算 14 立体几何-体积计算4 三角函数的最值 15 不等式，直线与圆5 导数的几何意义 16 数形结合，直线与圆，直线系6 椭圆的离心率 17 函数，导数，不等式7 二项式定理 18 概率，期望8 数列求和 19 三角函数的恒等变形，解三角形9立体几何-线面关系20立体几何面面垂直的证明，线 面角，点到面的距离10排列组合，概率21圆锥曲线求轨迹方程，过定点的曲线系方程11 新定义题、图形判别 22 数列的通项与不等式表四：2009 年江西卷文、理科考点分值分布文 科 理 科类选择 填空 解答 合计 选择 填空 解答 合计代数 35 4 18 57 35 4 20 59三角 5 / 10 15 5 / 12 17立体几何 5 4 12 21 5 4 12 21解析几何 5 4 14 23 5 4 12 21平面向量 / 4 2 6 / 4 / 4概率 5 / 12 17 5 / 12 17导数 5 / 6 11 5 / 6 11合计 60 16 74 150 60 74 150从表二、表三、表四中我们看出到，文理试卷的知识点覆盖还是很全面的，同时又注意到了主干知识重点考查，做到了 “全面考查数学基础知识，主干知识内容构成了试卷的主体”。下面我们来具体分析其主要的几个特点：1、送分到位，注重基础知识和基本方法的考查2009 年江西省高考数学的选择题和填空题前几道是考查最基本的数学知识和方法，做到了送分送到位。如文科卷1下列命题是真命题的为A若 ,则 B若 ,则 C若 ,则 D若xy21xxyy,则 2分析： 由 得 ，马上可作出判断。 为了保险起见再看看后几具选项：由 得1x 21x，由 ， 不一定有意义，而 得不到 ，故选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m xy, xy2xy科分值课 程分支2函数 的定 义域为234xyA B C D4,1,0)(,14,0)(,1分析： 这是求定义域的常见形式，分母不为零，二次根号下非负，由 得2034x或 ,故选 D. w.w.w.k.s.5.u.cx350 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一 项活动的学生人数为A50 B45 C40 D35分析： 画一个 Venn 草图，简单计算即可，仅参加了一项活动的学生人数为 50-(30+25-50)=45, 故选 B.4函数 的最小正周期为()13tan)cosfxxA B C D 222分析： 用同角间三角函数基本关系，化 为 形式即可。由sin()yAx可得最小正周期为 ,()13tan)cos3i6fxxx2故选 A.13已知向量 ， ， ，若 则 = (,)(1,)b(,2)ck()acbk分析： 向量垂直的等价条件，因为 所以 .31,a0又如理科卷：1若复数 为纯虚数， 则实数 的值为2(1)(zxixA B C D 或011分析：考查复数的概念， 由 故选 A w.w.w.k.2xx2函数 的定 义域为2ln(1)34yxA B C D(4,)(,)(1,)(1,分析： 同文科第 2 题一样是求定义域的常见形式，由 .故选 C210413xxx3已知全集 中有 m 个元素， 中有 n 个元素若 非空，则UAB()UABABI的元素个数为IA B C D mnnm分析： 画一个 Venn 草图即可， 因为 ，所以 共有()UU个元素,故选 D4若函数 ， ，则 的最大值为()13tan)cosfxx02x()fxA1 B C D213分析： 因为 = =()ta)csfxxsinxcos()3x当 时，函数取得最大值为 2. 故选 B3x13已知向量 ， ， ，若 ，则 = (,1)a(,3)b(,7)ck()acbk分析：向量平行的等价条件，由 65这些题难度较低，考查的是基本的知 识和方法，基本属于 课 本中的练习题或习题，应该说它对中学数学教学有很好的导向作用。2、突出主干，注重高中数学内容的全面考查文理两份试题均以高中主干知识为重点考查对象。文 科 理 科选择题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题函 数 、不 等 式 和导 数2、5、11、12 172、5、12 17、22数 列 8 21 8 22三 角 函 数 4 16 19、21 4、8 19解 析 几 何 7 15、16 22 6 15、16 21立 体 几 何 9 14 20 9 14 20概 率 10 18 10 18另外，文理两份试题还兼顾了 对其它知识的考查，如文科第 1 题命题、第 3 题集合的运算、第 6 题二项式定理、第 13 题平面向量；理科第 1 题复数的概念、第 3 题集合的运算、第科 类题号主干7 题二项式定理、第 13 题平面向量等。因此，从中我们可以看出，高中教材每章内容都有试题涉及，所考查的知识点较为 全面。3、公平公证，背景公平、载体熟悉、贴近生活2009 年江西省高考数学卷遵循考试大纲的要求， 结合我省中学数学教学 实际和学生的阅读、做题习惯来命题，背景和载体都是考生所熟悉的，加上试题的原创性，保证了公平公证，也实现了比较理想的信度和效度。如文理第 18 题以“大学生自主创业”为背景命题， 贴近生活。引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身 边的数学问题。理 18某公司拟资助三位大学生自主 创业， 现聘请两位专 家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为 “支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给12予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”， 则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 表示该公司的资 助总额(1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E分析：考生虽为中学生，但前段 时间金融危机背景下大学生自主 创业是个热点问题，而试题所阐述的数学问题也中学生所熟悉的。（1） 的所有取值为0,51,2,30()64P()P15()64P5()16P232（2） .3151550030564E又如文理第 20 题立体几何兼顾了 A 版和 B 版教材， 题目的 设置也实现了两种解法难度一致。4、通性通法，注重数学思想和方法的灵活运用的考查思想方法是数学之精髓，通性通法是数学之根本。文理两套试题十分重视数学思想方法的灵活运用，强调数学的通性通法，淡化特殊技巧，通过对通性通法的熟练运用来检验学生对基本知识的掌握情况。转化与化归的思想贯穿始终；函数与方程思想有：文科第 5、12、15、17、22 题，理科第5、12、15、17、22 题等；分 类 讨 论 思 想 有 ：文科第 10、18、21 题，理科第 10、17、18 题等；数形结合思 想 有 ：文科第 3、7、12、15、16 题，理科第 3、6、12、15、16 题等。另外还有如相关点法有：理科第 21 题；割补法有：理科第 9、11 题；构造法的运用有：理科第 22 题；错位相减法有：文科第 21 题等。下面就几道典型试题进行具体分析：（1）数形结合思想的运用理 15若不等式 的解集为区29()2xk间 ,且 ,则 ab 分析：此题是不等式的形式，但最好用数形 结合的方法，直线 是一条经过定点(2)ykx的直线,在半圆 之下， 则必须(2,)29yx，则直线 过点（ ），31ba()k1,故直线的斜率 22()（2）割 补 法 的 运 用理 9如图，正四面体 的顶点 ， ， 分别在两两ABCDBC垂直的三条射线 ， ， 上，则在下列命题中，错误的Oxyz为 A 是正三棱锥BB直线 平面 ACDC直线 与 所成的角是O45D二面角 为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：首先要由正方形的中相关知识得出正四面体的顶点 ， ， 在三条射线 ， ， 上ABBCOxyz是固定不动的，从而正三棱锥 是正方形的一部A分，将原图补为正方体（ ）不难得出 B 为错误，1D故选 B。自从江西省实行自主命题以来，割 补法就一直是数学高考关注的对象，如 06 年江西理科 20 题、 07 年江西理 20 题度均可采用割补法来求解. （3）相关点法的运用理 21 已知点 为双曲线 （ 为10(,)Pxy218xyb正常数）上任一点, 为双曲线的右焦点,过 作右准2F1P线的垂线,垂足为 ,连接 并延长交 轴于 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m Ay2 2F1OyxA2P1 3-3 - 2-23oyxyxzOABCDDD1A1B1BAzyCxO(1) 求线段 的中点 的轨迹 的方程;1P2E(2) 设轨迹 与 轴交于 两点,在 上任取一点 ,直线 分ExBD、 1,(0)Qxy（ ） QBD，别交 轴于 两点.求证:以 为直径的圆过两定点.yMN，分析： (1) 点是随着 点在双曲线上运动而运动的， ， 就是相关点，P1 P1由已知得 ,则直线 的方程为: ,20830FbAy（ ， ） ， （ ， ） 2FA03()yxb令 得 ,即 ,x9y2()设 ,则 ,即 代入 得: ,P（ ， ） 00 52xyy25xy2018xyb24185xyb即 的轨迹 的方程为 .E21xb求轨迹的一般方法，如定 义法、相关点法、参数法、交轨法等是解析几何的重点与难点，也是高考的热点，学生须熟练 地掌握，灵活运用。（4）切割化弦，转化与化归的运用理 19 中， 所对的边分别为 ， ,ABC, ,abcsintocABC.sin()cos（1）求 ；,（2）若 ,求 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3ABCSac分析：(1) 要从三角函数的关系转