利用导数研究函数的零点

1利用导数研究函数的零点（求导求出极值，画出函数的草图分析）1.已知曲线 C： ，直线3211yxx:lya（1）若直线 与曲线 C 有唯一一个交点，求 的取值范围；（ 或 ）l 7316a（2）若直线 与曲线 C 有两个不同的交点，求 的取值范围；（ 或 ）（3）若直线 与曲线 C 有三个不同的交点，求 的取值范围 .（ ）l a解：令 得 或2(1)2yxx01,x2当 时， ；当 或 时， .100y所以 在 为减函数，在 ， 为增函数. ()gx,2)(,)(,)当 时，取得极大值 ；当 时，max136y2取得极大值 ；min7y（1）当 或 时，直线 与曲线 C 有唯一一个交点；3al（2）当 或 时，直线 与曲线 C 有两个不同的交点；16（3）当 时，直线 与曲线 C 有三个不同的交点.7l2.已知函数 3()1,fxa（1）函数 的单调区间；y（2）若 在 处取得极值，直线 与 的图象有三个不同的交点，求 的取值范围.()fxym()fxm（-3,1）解: (1)f(x) 3x 23a3(x 2a)，当 a0，当 a0 时，由 f(x)0，解得 x .a a由 f(x )0 时，f (x)的单调增区间为a a(， )，( ，)，单调减区间为( ， )a a a a(2)f(x)在 x1 处取得极值，f ( 1)3( 1) 23a0，a 1.f(x)x 33x1，f(x) 3x 23，由 f(x )0，解得 x11，x 21.由(1)中 f(x)的单调 性可知，f( x)在 x1 处取得极大值f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3. 直线 ym与函数 yf(x) 的图象有三个不同的交点， 结合如图所示 f(x)的图象可知：实数 m 的取值范围是(3,1) 3.已知函数 .32()aRxy(2,-76)(-1,73)fx() =13 2x +12-12（1）当 时，求函数 的单调区间；3ayfx（2）若过点 可作函数 图像的三条不同切线，求实数 的取值范围.1(0,) a(2)a解：(1)当 a3 时，函数 f(x)- x3+ 2x，得 f(x)x 23x2( x1)(x2) 1所以当 1x2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x1 或 x2 时， f(x)0，函数 f(x)单调递减所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为( ，1)和(2 ， ) .(2)设点 P 是函数 yf (x)图象上的切点，则过点 P 的切线的斜率 kf(t)t 2at 2，32,tt所以过点 P 的切线方程为 y (t 2at2)(xt) ，321at因为点 在该切线上，所以 (t 2at2)(0t)，即 .1(0,)33 3210ta若过点 可作函数 yf (x)图象的三条不同切线， 则 函数 g(t) 有三个不同的零点 32即函数 yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令 g(t)2t 2at0，解得 t0 或 t .因为 g(0) 0， 所以必须 ，即 a2.1331()24a314a所以实数 a 的取值范围为(2，)4.(2012 江苏) 若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点，已知()yfx0 0x()yfx是实数，1 和-1 是函数 的两个极值点.,b32axb（1）求 和 的值；（ ）a,ab（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；（-2 是 1 不是）()gx()2gxf()gx（3）设 ，其中 ，求函数 的零点的个数.hfc,yh（当 时，函数 有 5 个零点；当 时，函数 有 9 个零点）c()yhxc()x解： (1)由题设知 f( x)3x 22axb，且 f(1) 32ab0，f(1)32ab0，解得 a0，b3.(2)由(1)知 f(x)x 33x. 因为 f(x)2( x1) 2(x2)，所以 g(x) 0 的根为 x1x 21，x 32，于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或2.当 x0，故2 是 g(x)的极值点当21 时，g(x)0，故 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极值点为2.(3)令 f(x)t，则 h(x)f(t) c.先讨论关于 x 的方程 f(x)d 根的情况，d 2,2 当|d |2 时，由(2)可知，f(x ) 2 的两个不同的根为 1 和2，注意到 f(x)是奇函数，所以 f(x)2 的两个不同的根为1 和 2.当|d |0，f (1)df (2) d2d0，于是 f(x)是单调增函数，从而 f(x)f(2)2，此时 f(x)d 无实根同理，f(x) d 在(，2)上无实根当 x(1,2)时，f(x)0，于是 f(x)是单调增函数又 f(1)d0， yf (x)d 的图象不间断，所以 f(x)d 在(1,2) 内有唯一实 根同理，f (x)d 在(2， 1)内有唯一实根3当 x(1,1)时，f(x )0，f(1)d0.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x (，1) 1 (1 ，a) a (a，)f(x) 0 0 f(x) A极大值 A极小值 A故函数 f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知 f(x)在区间(2， 1)内单调递增，在区 间( 1,0)内单调递减，从而函数 f(x)在区间(2,0) 内恰有两个零点. 当且仅当 解得 00，并由 x0，x x x解得 x1.令 h(x)0，解得 00 且 x1 时，h(x)0，h(x) 0 在(0，)上只有一个解即当 x0 时，方程 f(x)g(x) 2 有唯一解7. 已知函数 ，aR()2lnx（1）讨论函数 的单调性；()Fxf（2）若方程 在区间 上有两个不等的实数解，求实数 的取值范围.fg,ealn21()ae解: (1)F( x)ax 22ln x，其定 义域为(0， )，F(x) 2ax (x0)2x 2ax2 1x当 a0 时，由 ax210 ，得 x .由 ax210 时，F(x) 的递增区间为 ，递减区间为 .(1a， ) (0，1a)当 a0 时，F(x )0)恒成立故当 a0 时，F(x)在(0，)上单调递减(2) a-12(0,(ff-)0()0ga11n)0hxx+ 在 为增函数， 即 选（D）()l2=-(,)1()x=-21()fx-法二消去超越式，化为代数函数式： ，函数 的两个极值点满足： . 1()lnl20f aa-()f 120xa1，(x) (x 1)2x 1 x 3x 1由 g(x)0，得 x3；由 g(x)0， 在 1,0上单调递增；当 时, )(f0, )(f在(1,2) 上单调递减。又,321()(ff 58(f当 时 f的值域是 320；方法二：当 时 )=0；当 2,(x时 )(x8,321341xx当且仅当 1,即x时 )(f的值域是 32,0；（2）设函数 )(g在 ,0的值域是 A，对任意 2,01，总存在 ,2x，使 0)(21xgf。 3,0,A对函数 求导， axg)(2，当 )(ax时，函数 在 ,0上单调递减，,28,g当 时，不满足 32,0A；当 0时， x)()(ax，令 )(xg得 a即x（舍去） ，（i）当 ,， a时，列表0 , )2,a2)(g 0 x0 a23238a ,)(,)0(a又 2,A， ,28)(ag解得 .1(ii）当 2x时, 0)(xg,函数 x在 ,0上单调递减， ,0)(g038)(g,当 2时，不满足 32A.综上,实数 的取值范围是 3.14已知函数 xaxfln1)(2)(R，（）若函数 在 ,为增函数，求 a的取值范围；（）讨论方程 0)(xf解的个数，并说明理由.解：（1）若函数 在 ,1上恒成立。则 0)(xf在 ),1(上恒成立，即： 2a在 )(上恒成立。所以有 1a（2）当 0时， xf在定义域 ,0(上恒大于 ，此时方程无解；当 时， )f在 )上恒成立，所以 )(xf在定义域 ),0(上为增函数。21)(f， 12(1aae，所以方程有惟一解。当 0a时， xaxxf )() 因为当 ,(时， 0)(f， )(f在 ,内为减函数；当 )x时， 在 ,a内为增函数。所以当 a时，有极小值即为最小值 )ln1(2ln21)( aaf 。当 ),0(e时， 0ln1(2)(f ，此方程无解；9当 ea时， .0)ln1(2)(aaf 此方程有惟一解 ax。当 ,时， 因为 01)(f且 ，所以方程 )(xf在区间 ),0(上有惟一解，因为当 x时， )ln(x，所以 1ln所以 aaf22l,l ，因为 1a，所以 02)(1)axf ，所以方程 0)(在区间 ),(上有惟一解。所以方程 0)(xf在区间 ,e上有惟两解。综上所述：当 ,ea时，方程无解；当 e或0时，方程有惟一解；当 e时方程有两解15、已知函数 2,1,1,4)(23 在 区 间单 调 递 增在 区 间axxf 单调递减，（I）求 a 的值；（II）是否存在实数 b，使得函数 )()(2xfbg的 图 象 与 函 数的图象恰有 3 个交点，若存在，请求出实数 b 的值；若不存在，试说明理由。解：（I）由函数 2,1,1,04)(23 在 区 间单 调 递 增在 区 间axxf 单调递减。知 0)1(,1fx取 得 极 大 值时 axxf24)(3404a（II）函数 )(2bxg的 图 象 与 函 数的图象恰好有 3 个交点，等价于方程 .34234 个 不 等 实 根恰 有0)4(1242234 xbxxx是其中一个根，004)(16bb且有 两 个 非 零 不 等 实 根方 程故存在实数： 4且 12 分16已知 3x是函数 2ln10fxax的一个极值点。（）求 a；（）求函数 f的单调区间；（）若直线 yb与函数 yfx的图象有 3 个交点，求 b的取值范围。解析：（）因为 210afx . 所以 6104af.因此 16a（）由（）知， 26ln,fxx, 2 43xf当 1,3,x时， 0f当 1,3时， 0f10所以 fx的单调增区间是 1,3fx的单调减区间是 1,3（）由（）知， fx在 内单调增加，在 ,内单调减少，在 ,上单调增加，且当1x或 3时， 0.所以 fx的极大值为 6ln29f，极小值为 32ln1f因此 2616ln291f. 231e所以在 x的三个单调区间 ,3,直线 yb与 fx的图象各有一个交点，当且仅当 3fbf17f(x)xln(xa) 在 x1 处取得极值.(1)求实数 a 的值；(2) 若关于 x 的方程 f(x)2xx 2b 在 ，2上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取12值范围；(3)证明： (nN，n2).参考数据：ln20.6931.n k 2 1k f(k) 3n2 n 2n(n 1)解：(1)f (x)1 ，由题意，得 f (1)0 a0 21x a(2)由(1)知 f(x)x lnx . f(x)2xx 2b xlnx2xx 2b x23xlnxb0设 g(x)x 23 xlnxb( x0). 则 g(x)2x 3 41x 2x2 3x 1x (2x 1)(x 1)x当 x 变化时，g( x)，g(x) 的变化情况如下表x (0， )12 12( ，1)121 (1，2) 2g(x)