函数连续性的应用研究

1函数连续性的性质及其应用研究摘要函数连续性的定义对分析函数的性质，以及讨论由实际问题所建立起的函数的性质、并通过这些性质解决实际问题具有重要理论与实际意义。对函数连续性的研究一直受到人们的重视，经过多年不懈地研究，很多学者都取得了不少的研究成果，但对函数连续性的应用研究进行总结，以及将函数的连续性应用于新的领域是非常有意义的。本文围绕函数连续性的应用展开讨论，首先讨论了函数连续性的定义，其次讨论了函数连续性的性质，最后重点介绍了函数连续性的应用。关键词：函数 连续性 应用2Application of the Continuity of FunctionAbstractFunction definition of the continuity of the nature of the analysis functions, and to discuss practical issues established by the nature of the function, and solve practical problems through these properties have important theoretical and practical significance. Continuity of the function has been much attention, after years of tireless research, many scholars have made a lot of research results, but the application of the continuity of the function to sum up, as well as the continuity of the function applied to the new area is very significant. This paper focuses on the application of the continuity of the function to discuss, first discuss the definition of continuity of function, followed by discussion of the nature of the function continuity, and finally focuses on the application of the continuity function.Keywords:funcation;continuity;application3一、 前言（一）相关的背景和意义高等数学是工科学生一门十分重要的基础课，也是高职工科院校各专业学生一门必修的重要基础理论课。通过这门课程的学习，使学生受到必要的数学理论和数学方法训练，它为许多包括专业课在内的后续课程做下铺垫。由于它的理论性强，概念抽象而且深刻，令许多学生畏惧叫苦。而函数的连续性问题是函数理论中最基本最重要的问题之一，连续性是自然界中广泛存在的一种性质，它是描述变量之间最基本的连续关系的概念。学习函数连续性的重要性在于：高等数学中的函数连续性与间断点等内容具有承上启下的作用，对于函数连续性的掌握、函数极限的运算、零点定理、介值定理以及一致连续性等方面的学习都具有重要的意义，因此，研究函数理论及应用具有理论和应用的双重意义。（二）相关的文献综述关于函数连续性的问题，很多学者都做了研究，主要有：李敏，刘戍军（2002）在试论利用函数连续性求极限中,对两个重要极限的应用作了进一步讨论，并给出其规律性。对于处理“0/0”,“1”未定型的极限起到了重要的作用。李静，李义成（2004）在介值定理及其应用中讨论了连通域上连通函数的性质及封闭凸曲线及空间凸体的外切正方形，得到了一些有用的结果。金友良（2007）在关于一元函数连续性的几个问题中阐述了一元函数在某点连续的论证、函数的间断点、复合函数的连续性、初等函数的连续性及最值点问题，更加深刻地理解一元函数连续性这一重要概念。潘闻天、杨兴东（1999）讨论了函数连续性在求极值、函数有界性、压缩映射及其不动点等的应用。虽然这些研究已经很深入，但笔者认为对函数连续性的应用还可以做进一步的研究。二、函数连续性的定义（一）函数在一点的连续性定义 11 设函数 f 在某 内有定义，若 ，则称 f 在点 连续。0U()x00lim()xfx0x（二）一致连续性定义 21 设 f 为定义域在区间 I 上的函数，若对任何的 0, 存在 =( )0,使得对任何,只要 ，就有|f( )-f( )| f(b) ）,则至少存在一点 (a,b),使得 f( )=.0x0x（三）反函数的连续性定理 7 若函数 f 在a,b上严格单调并连续，则反函数 在其定义域f(a),f(b)或f(b),f(a)上1f连续。定理 8（一致连续性定理）若函数 f 在区间a,b上连续，则 f 在a,b上一致连续。（四）初等函数的连续性定理 9 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。定理 10 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。四、函数连续性的应用（一）连续性在求函数极限中的应用通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题，形式上说，它表明了连续5函数的记号 f 与极限的记号 的可交换性。所以当我们知道某个函数是连续函数时，求0limx极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题，特别是以上的定理 9 和定理 10，在理论上说明了连续函数的广泛程度，而实际上提供了一个求初等函数极限的简便方法。总结出一个求初等函数极限一般的方法：先判断所给的极限函数是不是初等函数，若所给的极限函数 f(x)是初等函数，并且自变量是趋向于它们定义域中某一点 ，那么，只0x须将 代人 f(x)，即可计算出 f(x)在 的函数值，就立刻得到想要求的 的值了。0x0x 0lim()xf例 1 求 0ln()imcosx解： 是初等函数，点 x=0 是它定义域中的点，所以0l(1)ln(10)icscosxf例 2 求 102lim()3xx分析：所给函数是否初等函数，从目前的函数关系表示尚看不出来，是一种所谓的“幂指函数” ，但若采用“先对数，后指数”的方法，将它改写成12 21 1log()log332()3xx xx 即可将它看成是初等函数 与基本初等函数 复合一次的结2l13xu2uy果，故是一个初等函数，而 x=0 是它的定义域中的点，所以很容易可以求出结果。解 2221110logloglog333002lim()lim3xxxx例 3 求 .0lixe分析：x=0 不是初等函数 定义域中的点，不能直接运用我们的一般方法求解，1xe但利用对数运算性质，令 t= ,则有 x=ln(1+t)，函数变为x61ln()xet解 00001limlil()(1)imlin()xt t tt1100llin()l(i)xxt t et注；本题的结果可以作为重要极限的结果，在求其他极限时直接运用。它常对某些包括指数、对数运算及幂运算的所谓“ ”不定式的极限求法有很大帮助。例 4 求 214limx分析 因为点 x=2 不在初等函数 的定义域中，所以不能直接用一般方法142x求解，但是，注意到分子在 x=2 时也是零，所以我们用消去零因子的方法，先将分子、分母分别均乘上它们各自的共轭因式 与 ，使零因子 x-2 分离出来，然14xx后消去，得到一个新的初等函数，对于这个函数，点 x=2 在其定义域内，再进行求解。解222141442limli 1()li lim4182xxx xx（二）介值定理的应用1、判定方程 f(x)=0 在区间a,b内是否有根若 f(x)在区间 a,b上连续，且 f(a)*f(b)07故对于介于 f(0)与 f(1)之间的介值 c=0，根据介值定理可知，必存在 （0,1） ，使 f() =0即 ，这说明 x= 是方程 的根。3210321x2、求方程的根达到的指定精确度的近似值例如 求 中根 的一个近似值。32()1fx解 先取0,1的中点 0.5，因 f(x)= -11 时，f(x)= 连续；当 x0,当lixxM（Ma）时，有 |f(x)-B|0,使任意 xa,M,有|f(x)|0，存在 N= 4。 10l()nk使得：nN 10|xk所以对任何自然数 p,| |np所以数列 收敛。x设 ，因为 a,b,所以 a,b5。 *limnn*x=f( )两边求极限，因为 f(x)连续，x1所以 =f( ),可见 是 f(x)的不动点。*x用不动点原理求方程 F(x)=0 的根的近似值6。方法：若已判断 F(x)=0 在a,b 存在根，可将 F(x)=0 恒等变形为 x=f(x),并使 f(x)是a,b上的压缩映