经济数学基础-概率统计课后习题答案

1习 题 一1.写出下列事件的样本空间：(1) 把一枚硬币抛掷一次；(2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量( 假定最大容量为 M).解 (1) =正面，反面 正，反(2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0 x m2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A“偶数点”，B“ 奇数点 ”，C“点数小于 5”，D “小于 5 的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 .4,2,31,642,53,21 CBAA 与 B 为对立事件，即 B ；B 与 D 互不相容；A D， C D.3. 事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i 1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 及 BC 的含义，并且用 Ai(i1，2，3)表示出来.解 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.3121ABC 表示三个车间都完成生产任务 321321321321A321321321AA 321ACB4. 如图 11，事件 A、B、C 都相容， 即 ABC，把事件AB，ABC，ACB，CAB 用一些互不相容事件的和表示 出来.解 A BCCA 5. 两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件，C 与 D 是互不相容事件.6. 三个事件 A、 B、 C 的积是不可能事件，即 ABC ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解 不一定. A、 B、 C 三个事件互不相容 是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图 12，事件 ABC ，但是 A 与 B 相容.7. 事件 A 与 B 相容，记 C AB， D A+B， F AB. 说明事件A、 C、 D、 F 的关系.解 由于 AB A A+B， A B A A+B， AB 与A B 互不相容，且 A AB(A B). 因此有AC+F ，C 与 F 互不相容，D A F， A C.8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解 记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件 A 的样本点数目A .而组成试验的135C样本点总数为 ，由古典概率公式有235图 11图 122P(A) #281535C(其中A ， 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解 设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 的样本点数为 .B25CB149)(1)(285CP10. 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 连 续 3 次 ， 求 既 有 正 面 又 有 反 面 出 现 的 概 率 .解 设事件 A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛A掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即 8，因此4821#)()( P11. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解 设事件 A 表示“门锁能被打开”. 则事件 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.A151)()( 207C从 9 题11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解 设事件 A 表示“四张花色各异” ；B 表示“四张中只有两种花色”.1313452#CC 21B（ 05)(42.P36873#)(452.CB13. 口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚，求总值超过壹角的概率.解 设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. )(253128510 ， 6)(.P14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A“三次都是红球” “全红” ，B“全白” ，C“全黑” ，D“无红” ，E“无白” ，F“无黑” ，G“三次颜色全相同 ”，H“颜色全不相同” ，I“颜色不全相同”.解 3 3 27，ABC 1，DEF2 38，GABC3，H3！6，I G 243271)()(CPBA8FED98274)(,9276)(,91273)( IHG15. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率.解 设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”.12 6，A 216C073.8#)(P16. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P .)(BA解 由于 A 与 B 互不相容，有 AB，P(AB)0.1)()( 17. 设事件 B A， 求证 P(B)P(A）.证 B AP(B -A)P( B) - P(A)P(B -A)0P(B )P(A )18. 已知 P(A)a，P(B) b，ab0 ( b0.3a)，P(AB )0.7a，求 P(B+A)，P(B-A) ，P( ).解 由于 AB 与 AB 互不相容，且 A(A-B)AB，因此有P(AB)P( A)-P(A-B)0.3aP(AB )P( A)P(B) P(AB)0.7abP(B-A)P( B)-P(AB)b-0.3aP( )1-P(AB )1-0.3a19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解 设事件 A 表示“取到废品” ，则 表示没有取到废品，有利于事件 的样本点数目为 ，因AAA346C此P(A)1-P( )1- 35046C0.225520. 已 知 事 件 B A， P(A) lnb 0， P(B) lna， 求 a 的 取 值 范 围 .解 因 B A，故 P(B)P(A )，即 lnalnb, ab，又因 P(A)0，P(B) 1，可得 b1，ae，综上分析 a 的取值范围是：1ba e21. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)，P(A+B)，P (A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解 由于对任何事件 A，B，均有AB A A+B且 P(A+B)P(A )P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有P(AB)P (A)P(A+B)P( A)P(B)22. 一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以 365 天计算).解 设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目为A364 100，而样本空间中样本点总数为365 100，所求概率为4 103654#1)(APA= 0.239923. 从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解 设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 表示“四只手套中任何两只均不能配成A一副”. 2108#)(41025CP6.)(24. 某单位有 92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有 85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊；(2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解 设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” ，B 表示“订阅杂志” ，依题意 P(A)0.92，P(B)0.93，P(B )0.85P(AB)P (A)P( B) P(A)P( )P(B )A0.920.080.850.988P(A )P(A B)-P(B)0.988 0.930.05825. 分 析 学 生 们 的 数 学 与 外 语 两 科 考 试 成 绩 ， 抽 查 一 名 学 生 ， 记 事 件 A 表 示 数 学 成 绩 优 秀 ， B 表 示 外 语 成 绩优 秀 ， 若 P(A) P(B) 0.4， P(AB) 0.28， 求 P(A B)， P(B A)， P(A B).解 P(A B) 7.28P(BA) )(P(AB )P( A)P(B) -P(AB)0.5226. 设 A、 B 是 两个随机事件. 0P(A)1，0P( B)1，P(AB )P( )1. 求证 P(AB)P(A)P( B).证 P ( A )P ( )1 且 P ( AB ) P( )1P ( AB )P (A ) (P(AB)1-P( B)P( B) P( A)-P( AB)整理可得P(AB)P( A) P( B)27. 设 A 与 B 独立，P ( A)0.4，P( AB)0.7，求概率 P (B).解 P( AB )P(A )P( B)P( A)P( ) P( B) 0.70.40.6P( B ) P( B )0.528. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为什么?解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故 A 与 B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率.解 设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” ，i1，2，3，显然 A1，A 2，A 3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一个” ，则AA 1A2A3 A2A3A 1 A3A 1A2 ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且 P(A1)P( A2)3P(A 3)0.85P( A) )(3)(1211AP0.8 330.8 20.20.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解 设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格.P(A)(10.3)(10.2)(1 0.2)0.44831. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率( m 为任何正整数).解 设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” ，i 1，2，m，则P(A1)(10.4)(10.3)0.42P(A2)0.58 0.420.2436P(Am)0.58 m1 0.4232. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解 设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜” ，i1,2,3,4. P ( Ai ) ，设事件 B 表示“每个人都没有拿到自己的41眼镜”. 显然 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且 A 1A 2A 3A 4.BP( )P (A1A 2A 3A 4) 41441 4321)()(i ji kji kjiiip P(AiAj) P(Ai)P(AjA i)= 23jP(AiAjAk)=P(Ai)P(AjA i)P(AkA iAj)= （1 i j k4）4141P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4A 1A2A3)= 854)(3424CB8)(1P33. 在 1， 2，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am“该数可以被 m 整除”，m2，3，求概率P(A2A3)，P( A2A 3)，P(A 2A 3).解 依题意 P(A2) ，P(A 3) 1P(A2A3)P( A6)P(A2A 3)P(A 2)P(A 3)P (A2A3) 1P(A2A 3)P(A 2)P(A 2A3) 1634. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：6(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3)最少有一人投中.解 设事件 A、B、C 分别表示“甲投中” 、 “乙投中” 、 “丙投中” ，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” ，i0,1,2,3,依题意， )() ()0 CPP0.20.30.4 0.024P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.80.70.6 0.336P(A2)=P(AB )P(A C)P( BC)=0.80.70.40.80.30.60.20.70.6 0.452(1) P(A1)1P (A0)P( A2)P(A 3)10.0240.4520.3360.188(2) P(A0A 1) P(A0)P (A1)0.0240.1880.212(3) P(AB C)P( )1P (A 0)0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解 设事件 A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然 A1，B 2，A 3，B 4，相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”. )()()( 5433211 ABPP 0.60.45.604273.计算得知 P(A)0.5，P( ) 0.5，因此甲先投中的概率较大 .36. 某 高 校 新 生 中 ， 北 京 考 生 占 30 ， 京 外 其 他 各 地 考 生 占 70 ， 已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80，而京外学生以英语为第一外语的占 95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解 设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” ，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P(A)0.3，P( )0.7，P (BA) 0.8，P(B )0.95. 由全概率公式有AP(B)P(A )P(BA) P( )P(B )0.30.80.70.950.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为 4，2，5，求 A 地的甲种疾病的发病率.解 设事件 A1，A 2，A 3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见 A1，A 2，A 3 两两互不相容，其和为 . 设事件 B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病 ”，依题意：P(A1)0.45，P(A 2)0.35，P(A 3)0.2，P(BA 1)0.004，P(B A 2)0.002，P(BA 3)0.005 3|i ii 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.0050.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机的概率.解 设事件 A 表示“机床加工零件 A”，则 表示“机床加工零件 B”，设事件 B 表示“机床停工”.)|()|()( BPP37.024.31.039. 有编号为、的 3 个口袋，其中号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号球与 1 个 3 号球，号袋7内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解 设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” ，B i 表示第二次取到 i 号球，i1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3 构成一个完全事件组. 41)(,21)(32APP)|,| 111B4|()|(,2)|( 232A6)|,|,| 331 APP应用全概率公式 可以依次计算出 . 因此第二次1|()(i ijij BB 481)(,4813)(,2)( 321 BPBP取到 1 号球的概率最大.40. 接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解 设 事 件 A 表 示 “受 检 人 患 有 甲 种 疾 病 ”， B 表 示 “受 检 人 被 查 有 甲 种 疾 病 ”， 由 37 题 计 算 可 知 P(A) 0.0035， 应 用 贝 叶 斯 公 式 )|()|(|)|( APBP01.965.035.241. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94，90，95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解 设事件 A1，A 2，A 3 分别表示“受检零件为甲机床加工” ， “乙机床加工” ， “丙机床加工” ，B 表示“废品” ，应用贝叶斯公式有 3111 )|()|(i iiBPP7305206.5.74)|()|(11A42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具，其概率分别为 5，15，30，50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100，70，60与 90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解 设事件 A1，A 2，A 3，A 4 分别表示外出人“乘坐飞机” ， “乘坐火车” ， “乘坐轮船” ， “乘坐汽车” ，B 表示“外出人如期到达”. 41222 )|()|(i iiBPP1.054.30.50.18=0.20943. 接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自号袋的概率.解 39 题计算知 P(B1) ，应用贝叶斯公式221)(|)|(11 AA44. 一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解 设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i 0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无次品” ，先计算 P ( B )20 1098)(31)|()(i ii CBP7.)(3|45. 设一条昆虫生产 n 个卵的概率为n=0, 1, 2, e!pn其中 0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0p1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少?解 设事件 An“一个虫产下几个卵” ，n0，1，2.B R“该虫下一代有 k 条虫” ，k0，1，.依题意 e!)(pPnnkqCABknnk 0| 其中 q=1p. 应用全概率公式有 knnknkk ABPP)|()|()(0l qp!e!knp)()(由于 ，所以有qknqe!)(0 ,210)(ekppBPqk9习 题 二1. 已知随机变量 X 服从 01 分布，并且 PX00.2，求 X 的概率分布.解 X 只取 0 与 1 两个值，PX0 P X0P X00.2，PX1 1PX 0 0.8.2. 一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数 X的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2 三个值. 由古典概型公式可知)2,10(015mC依次计算得 X 的概率分布如下表所示：X 0 1 2P 3821385383. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布.解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到